Khomitsky_Metodichka_AnGeometry

Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

4

− 2

4

10

2

12

.

1

2

2

Решение. Используя приведенную выше формулу для

раскрытия детерминанта

третьего порядка, с помощью непосредственного вычисления получаем

4

− 2

4

= 4 ×

2

12

- (-2) ×

10

12

+ 4 ×

10

2

=

10

2

12

1

2

2

2

2

1

2

1

2

= 4 × (-20) + 2 ×8 + 4 ×18 = -80 +16 + 72 = 8.

Пример 2. Упростить выражение

0

0

1

cosα

sin β

1

.

sinα

cos β

1

Решение. Раскрывая данный

определитель, получаем

одно не равное нулю

слагаемое

D = 1×

cosα

sin β

= cosα × cos β - sin β × sinα = cos(α + β ).

sinα

cos β

4x1 + x2

= 5

Пример 3. Решить систему уравнений

.

3x1 − 2x2

= 12

Решение. Определитель матрицы системы

D =

4

1

= -8 - 3 = -11 ¹ 0 ,

поэтому существует единственное решение

3

- 2

, где определители

x1,2

=

1,2

1

=

5

1

= −10 − 12 = −22 и

2

=

4

5

= 48 − 15 = 33, откуда

12

− 2

и

3

12

Обязательной

находим

x1 = − 22 (−11) = 2

x2

= 33 (−11) = −3.

проверкой убеждаемся,

что найденные значения неизвестных обращают

уравнения системы в тождества.

2x

+ 4x

+ x

= 4

1

2

3

Пример 4. Решить систему уравнений 3x + 6x

+ 2x

= 4 .

1

2

3

4x1 - x2 - 3x3 = 1

Решение. Определитель матрицы системы

2

4

1

= 2 × (6 × (-3) - 2 × (-1)) - 4 × (3 × (-3) - 2 × 4) +

3

6

2

,

4

-1

- 3

+1× (3 × (-1) - 6 × 4) = 2 × (-16) - 4 × (-17) +1× (-27) = 9 ¹ 0

т.е.

у системы имеется единственное решение.

Определяя его по формулам

Крамера x1,2,3 =

1,2,3

, находим

4

4

1

2 =

2

4

1

= 27 ,

3 =

2

4

4

= −36,

D =

4 6

2

= -18 ,

3 4 2

3 6 4

1

4 1 − 3

4 − 1 1

откуда

1 -1 - 3

x1

= −2 ,

x2 = 3,

x3 =

−4

. Проверкой убеждаемся,

что найденные

значения неизвестных обращают уравнения системы в тождества.

x − 3x

+ 2x = 0

1

2

3

Пример 5. Решить систему уравнений

x - x

+ x

= 0 .

1

2

3

2x1

+ x2

- 3x3 = 0

Решение. Вычисляем определитель данной системы:

1

− 3

2

= -7 ¹ 0 , поэтому из формул Крамера следует существование

D =

1

-1

1

2

1

- 3

единственного нулевого (тривиального) решения x1 = x2 = x3 = 0 .

2x − 3x + 4x = 0

Пример 6. Решить систему уравнений

1

2

3

.

3x1

+ x2

− 2x3

= 0

Решение. Данная система содержит большее число неизвестных, чем

уравнений.

Чтобы привести её к известному нам виду с квадратной матрицей,

перенесём слагаемые, например, с x3

в правую часть:

2x − 3x

= −4x

1

2

= 2x3

3 .

3x1 + x2

Получилась система известного вида,

где роль столбца свободных членов

играет

− 3

столбец

(− 4x3, 2x3 ).

Определитель

системы

D =

2

= 2 - (-9) = 11 ¹ 0 ,

поэтому

при

каждом значении

x3

3

1

существует

единственное решение.

Применяя к

этой

системе

формулы

Крамера,

находим

x =

1

− 4x3

− 3

=

1

× (- 4x ×1 - (-3) × 2x

)

=

2

x ,

D

1

2x3

1

11

3

3

11

3

x =

1

2 − 4x3

=

1

× (2 × 2x - (-4x ) × 3)

=

16

x

,

D

2

3 2x3

11

3

3

11 3

что и составляет

общее

решение системы. Обязательной проверкой

устанавливаем, что набор неизвестных

(2x3

11,

16x3

11,

x3 )

при

любом значении x3

обращает уравнения системы в тождества.

x + x

2

+ x

= 0

1

3

Пример 7. Решить систему уравнений 3x

- x

+ 2x

= 0 .

1

2

3

x1 - 3x2

= 0

свидетельствует о

Решение. Определитель данной системы

= 0 ,

что

зависимости

трёх уравнений друг от друга.

Рассмотрим первые два уравнения:

их, очевидно, нельзя свести друг к другу умножением на число, и они

независимы.

Мы получили новую систему, состоящую из этих двух уравнений:

x + x

+ x

= 0

1

2

3

.

3x1 - x2

+ 2x3 =

0

Она имеет вид системы, рассмотренной в предыдущем примере. Перенося

неизвестную

x3

и

в

правую

часть,

получаем

по формулам

Крамера

x1 = 3x3

(−4)

x2

= x3 (−4),

где

переменная

x3

принимает любые

значения.

Проверкой убеждаемся,

что найденные значения неизвестных

обращают все три уравнения исходной системы в тождества.

2

1

3

3

2

1

1

− 3 2

2

3

− 5

1)

5

3

2

; 2)

2

5

3

;

3)

1

− 1 1

;

4)

−1 4

1

;

1

4

3

3

4

2

2

1 − 3

6

− 2 − 7

3

− 38

4

1

cosα

cos β

5)

5

− 35

2

;

6)

cosα

1

cos(α + β )

.

2

− 49

3

cos β

cos(α + β )

1

2.2. Определить неизвестное x из уравнения:

x2

x

1

x

1

1

1)

1

− 1

1

= 0 ;

2)

1

x

1

= 0.

4

2

1

1

1

x

2.3. Решить систему линейных уравнений второго порядка:

2x + x = 10

3x + 5x = 2

1)

1

2

;

2)

1

2

.

x1 + x2 = 17

5x1

+ 9x2

= 4

2.4. Решить систему линейных уравнений третьего порядка:

2x1 + x2 − x3 = 2

x2 + 3x3 = −1

1)

+ x − 2x = 3;

2)

+ 3x

+ 5x = 3.

3x

2x

1

2

3

1

2

3

x1 + x3

= 3

3x1

+ 5x2

+ 7x3

= 6

2.5. Решить систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

x + 3x + 2x = 0

5x − 8x + 3x = 0

1)

1

2

3

; 2)

1

2

3

.

2x1 + 4x2 + 3x3 = 0

2x1 − 3x2 + x3 = 0

3. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение

Вектором называется направленный отрезок, соединяющий две точки в

пространстве, на плоскости, или на прямой. Вектор с началом

в точке A и

концом в точке B обозначается как

AB либо как одна буква полужирного

шрифта, например, a. Модулем вектора | a |º a называется длина отрезка AB

. Вектор,

начало и конец которого совпадают,

называется нулевым и

обозначается как 0.

Векторы a и

b называются коллинеарными, если

существует прямая, которой они параллельны, что обозначается как a || b , при

этом векторы могут быть одинаково либо противоположно направленными.

Два вектора равны, если они одинаково направлены и имеют одинаковые

длины. Заметим, что при таком определении равенства векторов их начальная

точка не имеет значения, и в нашем курсе, если не оговорено специально, все

векторы считаются отложенными от начала координат. Вектор,

идущий из

начала координат в некоторую точку

M , называется радиус-вектором точки

M .

Три

вектора,

параллельные

некоторой

плоскости,

называются

Рис.5. Правило треугольника для сложения векторов

Произведением вектора

a

на вещественное

число

α

называется

вектор

b = α a ,

длина

которого

равна

| α | × | a |,

а

направление

совпадает

с

направлением

a

при

α > 0

и противоположно

ему

при

α < 0.

Последовательное применение операций сложения и умножения на число

позволяет составлять линейные комбинации векторов.

Векторы a1 , a2

, …,

an

называются

линейно

независимыми,

если

их

линейная

комбинация

α1a1 + α2a2

+ K+ αnan

= 0 лишь тогда, когда все числа αi

равны нулю.

На прямой линейно независимым является только один ненулевой вектор,

на

плоскости

– любые два неколлинеарных вектора,

в пространстве – любые три

в данном пространстве называется размерностью этого пространства.

Следовательно, прямая является одномерным пространством,

плоскость –

двумерным, а пространство с декартовыми координатами (x, y, z) трехмерно.

Любые четыре и более вектора в трёхмерном пространстве, рассматриваемом в

курсе

аналитической

геометрии,

являются линейно зависимыми.

Рассмотренные примеры представляют собой частные случаи линейного

векторного пространства, подробно изучаемого в курсе линейной алгебры.

Если

вектор

x

представлен

как

линейная

комбинация

x = x1a1 + x2a2 + K+ xnan

, то

говорят,

что

x

разложен по системе

векторов

{a1,Kan

}.

Линейно независимая система векторов {e1,Ken}

данного пространства,

по которой любой вектор из этого пространства можно

разложить,

называется базисом данного линейного пространства,

а набор чисел

(x1,Kxn )

называется координатами вектора

x в данном базисе.

Примером

базиса является тройка

взаимно

перпендикулярных единичных

векторов

{i, j,k}

декартового базиса. Базис может быть выбран по-разному, поэтому

один и тот же вектор

x имеет разные столбцы координат в разных базисах.

При помощи столбцов координат все линейные операции с векторами могут

быть выполнены с их координатными столбцами в данном базисе,

например,

линейной комбинации

α a + β b

векторов

с координатами

(x1,Kxn ) и

(y1,Kyn )отвечает

вектор с

координатами

(α x1 + β y1,Kα xn + β yn ).

Для коллинеарных

векторов

a

и

b

справедливо равенство отношений

соответствующих

координат

a1

b1

= K= an

bn

= λ ,

где

λ

есть

фиксированное число.

При повороте координатных осей декартовой системы

координат на плоскости на угол ϕ

векторы нового базиса

{e1' ,e'2 }

связаны с

векторами старого базиса

{e1,e2}

соотношениями,

аналогичными формулам

для связи между старыми и новыми координатами,

рассмотренными в п.1

(рис.2):

e' = e cosϕ + e

sinϕ

.

1

1

2

e'2 = −e1 sin ϕ + e2 cosϕ

При переходе к новому базису меняются также компоненты векторов.

Например,

для одного

и того же вектора a

при замене базиса происходит

изменение его компонент:

(a1 , a2 ) → (a1' , a2' ) , причем замена происходит в

том же порядке, что и для координат точки, замена которых рассмотрена в п.1:

'

'

векторов

{e1

, e

2 }→ {e1' , e'2 }

с одной и той же матрицей поворота

противоположно направлению преобразования координат, или компонент

векторов

(a1

, a2 ) → (a1' , a2' ) .

Это свойство носит общий характер и

справедливо для любых линейных преобразований базиса; более подробное его

рассмотрение производится в курсе векторного и тензорного анализа.

Скалярным произведением

(a,b) векторов

a

и

b

называется число,

равное | a | × | b | ×cosϕ , где

ϕ есть угол между

a

и

b .

Длина, или модуль

вектора может быть выражена через скалярное произведение как

| a |2 = (a,a) .

Векторы,

для

которых

(a,b) = 0

,

называются

ортогональными,

а

базис

{e1,Ken}, для которого выполняются соотношения

(ei ,e j )= 0 при

i ¹ j и

при

этом

| ei |= 1,

называется

ортонормированным

базисом.

Примером

ортонормированного базиса может служить стандартный базис

{i, j,k} в

декартовой

системе

координат.

В

ортонормированном

базисе

скалярное

произведение

векторов

выражается

через

их

координаты

по

формуле

n

, а в случае любого базиса

n

n

(a,b) = ∑aibi

(a,b) = ∑∑aibj (ei ,e j ) . Из

i =1

i =1 j =1

этих соотношений следует, что в ортонормированном базисе координаты

вектора можно найти при помощи скалярного произведения как ai = (a,ei ).

Пример 1. На плоскости даны векторы e1

= (2, - 3) и e2 = (1,

2). Найти

разложение вектора a =

(9,

4) по векторам

{e1,e2}.

e1 и

являются

Решение.

Прежде всего, убеждаемся,

что

векторы

e2

неколлинеарными и,

следовательно,

могут быть выбраны в качестве базиса на

плоскости. Требуется найти числа

α1,2

в

разложении

a = α1 e1 + α2 e2 .

Координаты вектора в левой части этого равенства в исходном базисе есть

a = (9,

4),

а

координаты

вектора

в

правой

части

есть

(α1

× 2 + α2

×1,

α1 × (-3) +α2

× 2).

Приравнивая

соответствующие

координаты,

получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

2α1 + α2 = 9

.

− 3α1 + 2α2 = 4

что и составляет искомое

Решая эту систему, находим

α1 = 2

и

α2 = 5,

разложение.

Решение. Первая диагональ в векторном виде представляет собой сумму

векторов - сторон параллелограмма, а вторая диагональ – векторную разность

этих сторон, т.е.

d1 = a + b и

d2 = a − b. Следовательно, в базисе {e1,e2}

диагонали имеют координаты

d1 = (1, 6) и d2 = (3, − 2) . Длина каждой из

стороны

может

быть

выражена с помощью скалярного произведения:

| d1,2 |=

(d1,2 ,d1,2 ) .

Подставив сюда выражения для диагоналей, получаем

| d1 |2 = (e1 + 6e2 , e1 + 6e2 ) =| e1 |2 +36 | e2 |2 +12(e1,e2 ) и

| d |2 = (3e

− 2e , 3e

− 2e ) = 9 | e

|2 +4 | e

|2

−12(e ,e ).

Все входящие в данные выражения слагаемые известны из условия задачи, а

2

1

2

1

2

1

2

1

2

последнее

скалярное

произведение

вычисляем

по

определению

как

(e1,e2 ) =| e1

|| e2

| cosϕ .

В результате получаем

| d1

|= 5

2

и

| d2 |=

10

.

Угол α между сторонами параллелограмма можно определить с помощью

скалярного

произведения

как

cosα = (a,b) (| a || b |) ,

где

вновь

производится разложение векторов

a и

b по базису

{e1,e2} и вычисление

скалярного произведения, аналогичное расчёту для d1 и

d2 .

В результате

получаем,

что

α = π 4,

а

смежный угол

равен

соответственно

π − π 4 = 3π 4.

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Определить координаты точки M , если её радиус-вектор составляет с

координатными осями равные углы, а модуль радиус-вектора равен трём.

3.2. Определить,

при каких значениях α и

β векторы a(− 2,

3,

β ) и

b(α ,

− 6,

2) будут коллинеарными.

3.3.

Дано разложение вектора c по базису

{i, j,k}:

c = 16i − 15j + 12k .

Определить разложение по этому же

базису вектора d || c , если эти

векторы противоположно направлены и | d |= 75.

3.4.

Сторона параллелограмма ABCD образованы

векторами

a = AB и

b = AD. Найти в этом базисе разложения векторов BD , CO и

KD ,

где K

есть середина стороны BC , а O - точка пересечения диагоналей.

задают базис. Найти в этом базисе координаты векторов

BC ,

CD ,

DE

, EF ,

BD

,

CF и

CE .

3.6. Найти разложение вектора c по векторам a и b :

1) a = (4, − 2), b = (3, 5), c = (1, − 7);

2) a = (5,

4),

b = (− 3,

0),

c = (19,

8);

3) a = (− 6, 2), b = (4, 7), c = (9, − 3).