Это означает, что на 84,6% приращения прибыли предприятий можно объяснить вложениями в основной капитал и только на 15,4% дополнительными вложениями в оборотный капитал.

6.3. Модель тренда (кривой роста)

Пример. Имеются статистические данные об объемах выпуска продукции Y (млн. руб.) в некоторой отрасли за несколько лет (табл. 9). Проверить, имеется ли тенденция в изменении выпуска продукции. Выбрать тип модели кривой роста и рассчитать ее параметры.

Проверить качество построенной модели на основе исследования ряда остатков. Выбрать и построить модель тренда и сделать прогноз на один шаг вперед.

Таблица 9

Введем начало отсчета временного ряда с 2000 года и поставим ему в соответствие переменную t=1, остальные года пронумеруем по порядку.

1. Для выявления тенденции используем метод Фостера – Стьюарта.

Определим величины Ut и Vt (см. табл.9). Величина

соответствующий уровень временного ряда больше всех предшествующих уровней. Vt =1, если соответствующий уровень временного ряда меньше всех

предшествующих уровней.

табличного значения t , то с вероятностью 95% можем утверждать, что временной ряд имеет тенденцию как в среднем (т.е. имеется тренд), так и в дисперсии.

2. Построение модели.

По расположению точек на диаграмме рассеяния (рис.6) можно предположить, что кривую роста можно представить в виде линейной функции

61

(прямая линия). Тогда уравнение модели запишем: Yˆ a b t .

Рис. 6. Диаграмма рассеяния уровней временного ряда Найдем параметры этого уравнения по методу наименьших квадратов,

для чего составим систему нормальных уравнений

Промежуточные расчеты отразим в таблице 10.

Таблица 10

Таблица для расчета параметров и характеристик модели.

Уравнение кривой роста: ˆ

Y 8,17 2,17 t

3. Проверка качества модели.

Проверку качества трендовой модели можно провести также как для модели парной регрессии, проверяя статистическую значимость параметров и общее качество с помощью коэффициента детерминации R2 .

a). Рассчитаем R2 TSSESS 281,67290 0,97 .

Проверим его статистическую значимость на основе F–критерия Фишера.

62

вероятностью 95% отличается от нуля, что подтверждает наличие зависимости показателя Y от времени.

c). Точность модели.

Для оценки точности модели рассчитаем среднюю относительную

точности построенной модели (табл.10)

4. Проведем оценку качества модели кривой роста на основе исследования ряда остатков

табл.10). Для того, чтобы считать построенную модель адекватной и

надежной проверим выполнение требований случайности и независимости элементов ряда остатков.

a). Проверку случайности ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

Внашем примере имеем 7 поворотных точек: p=7 (табл. 10). Рассчитаем теоретическое значение поворотных точек для 0,05

Так как P>P1, ряд остатков является случайным с вероятностью 95%

b). Проверку независимости элементов ряда остатков осуществим на основе критерия Дарбина –Уотсона.

Рассчитаем d * 4 d =1,974. Критические значения статистики d при 5%

уровне значимости: d1 =0,824 и d2 =1,32. Расчетное значение статистики d *

63

попадает в интервал: d2 d* 2 , что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в ряду остатков

c). Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения на основе RS–критерия.

При соответствии ряда остатков нормальному закону распределения для

в зависимости от доверительной вероятности и количества уровней ряда остатков (таблица 16).

Рассчитаем статистику RS: RS (Emax Emin ) / S =(1,67 -(-1,5)/1,02=3,1

Значения нижней и верхней границ интервала для статистикиRS , при доверительной вероятности 0.95:: 2,59; 3,399

Следовательно, элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, и мы можем, с помощью построенной трендовой модели, дать не только точечный, но и доверительный интервальный для Y(t).

Вывод: исследование ряда остатков свидетельствует об адекватности и надежности построенной модели.

5. .Построим точечный и интервальный прогноз на один шаг вперед

Выберем t 10 и подставим в уравнение тренда:

Y(10)=8,17 +2,17 10=29,8. Получили точечный прогноз (точечную оценку). Так как элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, можно построить доверительные интервалы для математического ожидания среднего значения зависимой переменной.

Верхняя граница интервального прогноза: Y(t0)+tSyx. Нижняя граница интервального прогноза: Y(t0)–tSYX.

Здесь t – теоретическое значение статистики Стьюдента с выбранной доверительной вероятностью и n-2 степенями свободы: t(7;0,05) 2,365

27,959 M (Y (t 10) 31,708.

64