неопределенности прогнозируемого процесса с ростом периода упреждения проявляется в постоянном расширении доверительного интервала. Результаты прогноза должны быть проанализированы с содержательной точки зрения.

6. Примеры построения эконометрических моделей.

6.1. Модель парной регрессии

Пример. Построить эконометрическую модель зависимости объема выпуска продукции Y от изменений затрат основных фондов X. Статистические данные приведены в следующей таблице

1.Построение модели

Предположим, что между исследуемыми показателями существует линейная зависимость: Y X . Оценим параметры этой модели на

основе метода наименьших квадратов. Уравнение оцененной модели:

ˆ

Y a b X

Таблица 7.

Таблица для расчета параметров и характеристик модели.

55

Запишем систему нормальных уравнений и найдем ее решение.

a 20 0,7676 15 8,486

Получили следующее уравнение модели: Y 8,486+0,7676 X.

2. Проверка качества уравнения регрессионной модели

а). Проверка статистической значимости параметров модели.

Так как модель построена на основе выборочных данных, необходима проверка статистической значимости параметров модели.

Для параметра b:

Теоретическое значение статистики Стьюдента t =2,365 при =0,05 и числе степеней свободы n 2 9 2 7 9 (см. приложение - таблицу 12) .

Так как tрасч tb , и tрасч ta оба параметра уравнения модели признаются

статистически значимыми с вероятностью 95%.

Статистическая значимость параметра b подтверждает наличие связи между объемом выпуска и затратами основных фондов. Построим доверительный интервал для параметра b :

б). Проверка общего качества.

Для проверки общего качества рассчитывается коэффициент

детерминации R2 TSESSS = 385,33386 0,99826

Значение R2 свидетельствует о сильной связи между Y и X и при условии статистической значимости коэффициента корреляции R обеспечивает адекватность модели.

Проверим коэффициент корреляции R= R R2 на статистическую

56

значимость. Найдем расчетное значение статистики Стьюдента:

что больше табличного значения t=2,365 (для =0,05)

Следовательно, коэффициент корреляции является статистически значимым, а так как он характеризует сильную связь факторной переменной X и результативного показателя Y , модель можно считать адекватной.

в). Точность модели

Точность модели определяется на основе средней относительной ошибки

аппроксимации: 1 n ei =1,24%< 10%. n i 1 yi

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации менее 10%, точность модели признается хорошей.

Проведенный анализ качества модели свидетельствует о том, что построена адекватная, надежная и точная модель.

3.Прогнозирование на основе построенной модели

Выберем для исследования значение основных фондов X=20. Для нахождения точечного прогноза подставим X=20 в уравнение модели

Y(20)=8,49+0,77 20=23,89;

Найдем интервал разброса средних значений объема выпуска при выбранном объеме основных средств X=20.

Для этого сначала рассчитаем выборочную дисперсию Y в точке X=20.

Построим доверительный интервал (уровень доверия 95%) для среднего значения Y при X0=20:

Следовательно, ожидаемое значение объема выпуска при затратах основных фондов в 20 единиц с вероятностью 95% будет находиться в интервале: 23,1 M (YX (X0 20)) 24,67

6.2. Модель множественной регрессии

Пример. Имеются статистические данные о приращении прибыли (Y) по 7 предприятиям отрасли в зависимости от инвестиционных вложений в оборотные средства(X1) и основной капитал ( X 2 ). Проанализировать

зависимость приращения прибыли от этих показателей. Исходные данные приведены в таблице

57

1. Построение модели

Рассмотрим двухфакторную линейную модель:

Y 0 1 X1 2 X 2 . Оценим ее параметры на основе МНК.

Оцененное уравнение модели запишется: Yˆ a0 a1 X1 a2 X 2 .

Система нормальных уравнений для модели множественной регрессии:

1470

X T Y 21594025150

Запишем систему нормальных уравнений:

Уравнение модели: Y 61,36 0,25 X1 16,07 X2 .

58

2. Проверка качества модели.

а). Проверка статистической значимости параметров модели.

Теоретическое значение статистики Стьюдента t(n m 1 4; 0,05) 2,776 .

Для коэффициента a1 расчетное значение статистики меньше теоретического, поэтому нельзя отвергнуть гипотезу о его равенстве нулю и признать его статистически значимым. Коэффициент a2 является статистически значимым,

59

Табличное значение статистики Fтабл ( =0,05;2,4))=6,94.(таблица 13) Так как расчетное значение статистики F много больше критического значения F, то модель признается адекватной и надежной с вероятностью. 95%.

в). Точность модели

Для характеристики точности рассчитывается средняя относительная

не превосходит 10%, поэтому можно считать точность модели хорошей. 3. Анализ влияния факторных переменных на результативный

показатель.

1. Рассчитаем коэффициенты эластичности :

Это означает, что при увеличении вложений в оборотный капитал на 1% (фактор X1 ) и неизменной величине вложений в основной капитал прибыль

предприятий возрастет на 0,14%. При увеличении вложений в основной капитал (фактор X2 ) на 1% прибыль возрастет на 1,15%, те инвестиционные

вложения в основной капитал более значимы для предприятий.

Рассчитаем – коэффициенты. Для этого найдем среднеквадратичные отклонения для факторных переменных и результативного показателя.

60