2.2. Линейный гармонический осциллятор

Колебательная система, представляющая собой частицу с массой m, совершающую движение по прямой линии под действием силы, F, пропорциональной смещению частицы, х, от положения равновесия, называется линейным гармоническим осциллятором.

Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы

, (2.14)

а потенциальную энергию гармонического осциллятора - в виде

, (2.15)

где  - частота собственных колебаний осциллятора, а х – смещение колеблющейся системы от положения равновесия.

Пусть

, (2.16)

. (2.17)

С учетом выражений 2.15-2.17 уравнение Шредингера приобретает вид

(2.18)

^{Легко заметить, что при имеет место} отношение пропорциональности

Пусть

, (2.19)

^{где – удовлетворяет уравнению}

(2.20)

Решение этого уравнения будет либо полиномом от х, либо ^{пропорционально exp(x2). Разложим в ряд}

(2.21)

Подставляя выражение 2.21 в уравнение 2.20 и приравнивая нулю суммы членов при одинаковых степенях х, получаем следующее рекуррентное соотношение:

При j   имеет место равенство

Такое рекуррентное соотношение справедливо для степенного разложения функции exp(x²). Но функция exp(x²) при x    становится неограниченно большой. Чтобы решение в виде 2.19 было ограниченным, необходимо предположить

.

Тогда

,

т.е.

.

Отсюда

(2.22)

при n = 0, 1, 2, …. Здесь n – колебательное квантовое число.

Можно показать, что волновая функция в этом случае имеет вид

(2.23)

Для иллюстрации выпишем несколько волновых функций

,

,

и т.д.

В формуле 2.23 H_n(x) – полином Чебышева-Эрмита.

Обсудим полученные решения:

1. Энергия гармонического осциллятора квантована и принимает ненулевое значение приn = 0. Таким образом, даже при абсолютном нуле энергия колебаний не равна нулю.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями равно , т.е. они эквидистантны.

2. На рис.2.2 приведено графическое изображение функций _n(x) для гармонического осциллятора с различными n:

Рис.2.2. Волновые функции гармонического осциллятора.

Из рис.2.2. видно, что волновая функция при n  1 имеет узлы, причем количество их равно n.

Кроме того, при увеличении энергии уровня, главные максимумы квадрата волновой функции (т.е. вероятность нахождения частицы) оказываются преимущественно на краях распределения, где при классическом рассмотрении находятся точки поворота.

Важность гармонического осциллятора как модели определяется тем, что наблюдаемые в природе колебания достаточно часто являются гармоническими. Чаще всего эту модель с успехом используют при описании колебаний атомов и молекул в твердых телах. Поэтому гармонический осциллятор используется при рассмотрении теплоемкости и многих других свойств твердых тел.

2.3. Движение в центральном поле. Квантово-механическая модель атома водорода.

Водородоподобные атомы можно представить как системы, состоящие из двух частиц, ядра массой М, имеющего положительный заряд Z e₀, и электрона с массой m₀ и отрицательным зарядом e₀, движущегося в поле ядра.

Предположим, что движется только электрон. Учет движения ядра приведет к тому, что в уравнении Шредингера массу электрона необходимо будет заменить на приведенную массу системы:

(2.24)

Водородоподобный атом описывается при помощи уравнения Шредингера

(2.25)

где r - расстояние от электрона до ядра.

(2.26)

Поскольку функция потенциальной энергии имеет сферическую симметрию, то эту задачу легче решить, если перейти от прямоугольных координат к сферическим. В сферических координатах

(2.27)

где

, (2.28)

и в уравнении Шредингера возможно разделение переменных. Для этого волновую функцию представим в виде произведения радиальной и угловой частей:

(2.29)

Легко показать, что константа разделения переменных равна , причем

(2.30)

где .

Уравнение 2.30 является разновидностью уравнения Лежандра.

Его решения - так называемые сферические гармоники.

(2.31)

После простых алгебраических преобразований легко получается уравнение для радиальных частей

(2.32)

Решением уравнения 2.32 являются следующие собственные значения

(2.33)

Уравнение 2.32 с собственными значениями 2.33 имеет в качестве собственных функций R_nl(r), общий вид которых

(2.42)

^{где - боровский радиус; n - целое число или} нуль; -присоединенный полином Лагерра.

Условие нормировки для радиальных функций имеет вид:

(2.35)

В общем случае сферические гармоники 2.31 являются комплексными функциями (при m 0). Для их наглядного изображения можно использовать следующие их действительные и ортогональные линейные комбинации. Используя формулы Эйлера, имеем

Для иллюстрации приведем явные выражения для собственных функций водородоподобных атомов. (Здесь ).

Приведенные формулы слишком сложны для использования в повседневной практике химика. Однако они несут весьма ценную информацию об особенностях пространственного распределения электронов. Поэтому химики чаще всего используют графические изображения волновых функций или их линейных комбинаций. Обычно строят распределение вероятности положения электрона на шаровой поверхности в зависимости от ее.