4. Достаточные признаки сходимости рядов

С положительными членами

Первый признак сравнения

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

, (6.2)

b_n  0 . (6.3)

и для всех n выполняется условие a_n  b_n. Тогда из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.3); а из расходимости ряда (6.3)  расходимость ряда (6.2).

Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенства a_n  b_n выполняются, начиная с некоторого номера n = N.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Проверим сначала, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда

.

Необходимый признак выполняется и, следовательно, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для дальнейшего исследования сходимости ряда воспользуемся достаточным признаком – первым признаком сравнения.

Для сравнения выберем ряд , члены которого больше соответствующих членов исследуемого ряда, т.е.. Рядсоставлен из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии q =  1) и, следовательно, сходится. Тогда согласно первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Второй признак сравнения

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов рядов и(а_n  0, b_n  0) при n, стремящемся к бесконечности, т. е. (S = const), то оба ряда в смысле сходимости ведут себя одинаково.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся вторым признаком сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим рядом, общий член которого.

.

Таким образом, согласно второму признаку сравнения, из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда .

Замечание. В качестве рядов для сравнения необходимо выбирать ряды, сходимость или расходимость которых известна.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел.

Тогда:

1) если   1, то ряд сходится;

2) если   1, то ряд расходится;

3) если  = 1, то признак не определяет поведение ряда, необходимо использовать другие достаточные признаки сходимости.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем ,

1.

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Радикальный признак Коши Пусть дан ряд (аn0) и существует предел.

Тогда:

1) если   1, то ряд сходится;

2) если   1, то ряд расходится;

3) если  = 1, то признак не определяет поведения ряда, необходимо использовать другие признаки.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь удобно воспользоваться радикальным признаком Коши, так как и предел этой дроби приn   легко вычисляется:

1.

Следовательно, данный ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд иf(x) – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция такая, что f(n) = a_n, где n  [m; +). Тогда данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Пример 6. Исследовать сходимость ряда (  0).

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого положим ,m = 1. Тогда

=

Как следует из данного примера, данный обобщенный гармонический ряд сходится при 1 и расходится при1 (= 1 соответствует расходящемуся гармоническому ряду).

Исследовать на сходимость ряды при помощи

признаков сравнения

19. ; 20.; 21.;

22. ; 23.; 24.;

25. ;26. ; 27. .

Исследовать на сходимость ряды при помощи

признака Даламбера

28. ; 29.; 30.;

31. ; 32.; 33.;

34. ; 35.; 36..

Исследовать на сходимость ряды при помощи

радикального признака Коши

37. ; 38.;

39. ; 40..

Исследовать на сходимость ряды при помощи

интегрального признака Коши

41. ; 42.; 43.;

44. ; 45.; 46..

Исследовать ряды на сходимость

47. ; 48.; 49.;

50. ; 51.; 52.;

53. ; 54.; 55.;

56. ; 57.; 58.;

59. ; 60.; 61..