11. Смешанное произведение векторов

Определение: Скалярное произведение векторного произведения векторов  и b на вектор c называют смешанным произведением векторов  , b и c .

( x b) *с =  * b *с

Пусть = (_x ,_y,_z ) b = (b_x ,b_y,b_z ) с = (с_x ,с_y,с_z )

i j k

x b = _x _y _z =

b_x b_y b_z

_y* _z _x _z _x _y

= b_x b_y * i - b_x b_z * j + b_x b_y * k

_y _z _x _z _x _y

( x b) * c = b_x b_y * c_x - b_x b_z * c_y + b_x b_y * c_z =

_x _y _z

= b_x b_y b_z =  * b * c (условное обозначе-

c_x c_y c_z ние смешанного произведения).

Получили формулу для нахождения смешанного произведения:

_x _y _z

 * b * c = b_x b_y b_z

c_x c_y c_z

Пример:

Даны 3 вектора.  = (1,2,1) , b = (3,4,0) , c = (0,1,1).

Найти смешанное произведение:

1 2 1

( x b) * c = 3 4 0 = 4 + 3 – 6 = 1

0 1 1

1. Свойства смешанного произведения

1)  * b * c = -  * c * b = - c * b * 

 * b * c = b * c *  = c *  * b

2)  * ( b₁ + b₂) * c =  * b₁ * c +  * b₂ * c

3) (* ) * b * c = * ( * b * c ) ,  - число.

12. Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Пусть даны векторы , b, c , которые не лежат в одной плоскости.

d Построим на них параллелепипед:

C

 c  = OA b = OB c = OC

O B

B d =  x b d = S_осн – площадь основания.



A V = Sосн * H объем тела. H – высота.

H = Пр_d c проекция вектора с на вектор d, который перпендикулярен плоскости основания.

ОбъемVn =  d  * Пр_d c = d * c = (  x b ) * c =  * b * c , если  острый.

Если  - тупой, то Vn =   * b * c  - модуль смешанного произведения.

Теорема (условие компланарности 3-х векторов) :

Три вектора  , b , c – компланарны  * b * c = 0

Доказательство:

1. Необходимость: Допустим, что  , b , c – компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости.

d =  x b

d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат  и b ,

тогда c  d , т.к. c лежит в той же плоскости, что и  и b

поэтому: (xb)*c= 0

2.Достаточность: Пусть  * b * c = 0 - исходное условие.

Пусть , b , c - некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости.

Однако объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости.

Откуда  , b , c - компланарны , что и требовалось доказать.

13. N-мерные векторы

Определение: n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел.

 = (₁, ₂, ….., _n)

b = (b₁, b₂, …...., b_n)

Для n –мерных векторов существует N-мерное пространство.

Для n –мерных векторов вводят операции сложения векторов и умножения вектора на число:

 + b = (₁+ b₁, ₂+ b₂,….., _n + b_n )

 * = ( *₁,  *₂, …..,  *_n)

Определение:N-мерным векторным пространством называют множество всех n –мерных векторов относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число:

Rⁿ - n - мерное пространство.

R² – двумерное пространство векторов  = (₁, ₂)

Пусть дана система n-мерных векторов: ₁, ₂, ….., _n (1)

Определение: Векторbназывается линейной комбинацией системы, если существуют такие числа₁, ₂, ….._n, , для которых выполняется следующее равенство:

b = ₁*₁ + ₂* ₂ +….. + _n*_n