§3. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения.

Пусть и- произвольные элементы. Из элементовиможно образовать двухэлементное множество. Порядок указания элементов в этом множестве может быть любым. В целом множество остаётся тем же:. Определим упорядоченную пару, в которой- первая компонента, а – вторая. Если , то , т.к. для упорядоченной пары первая компонента –, а вторая – .

Определение 1: Прямым или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первая компонента принадлежит множеству , а вторая – множеству. Другими словами:

.

Например, пусть ,. Тогда. Упорядоченная пара может принадлежать или не принадлежать прямому произведению. Например, пара, а другая пара.

В общем случае, когда ,прямое произведение не коммутативно:

.

Число упорядоченных пар, входящих в прямое произведение, можно посчитать следующим образом. Если – конечное множество, содержащееэлементов, а– конечное множество, содержащее элементов, то их прямое произведение содержитэлементов.

Прямым произведением можно также перемножать три и более множеств. Пусть А, В, С - произвольные множества, тогда их прямое произведение – это множество упорядоченных троек:

.

Пусть - произвольные множества. Тогда их прямое произведение имеет вид:

.

В частном случае можно рассматривать прямое произведение , которое называетсядекартовым квадратом множества и обозначается. Например, каждая точка на плоскости имеет две действительные координаты, значит, множество точек плоскости можно обозначитьи рассматривать декартов квадрат:. По аналогии:- множество точек пространства.

Аналогично определяется -я декартова степень множества :

.

В частности – естьn-мерное пространство; – единичный кубn-мерного пространства. Если – окружность радиуса 1, то– поверхность цилиндра,– поверхность тора.

Пусть - произвольные множества,- их прямое произведение.

Определение 2: Всякое подмножество прямого произведения называется- местным (или- арным) отношением на множествах. Обозначают:.

Замечание: Если - это отношение, то по определению:.

При отношение называетсяунарным ().

При отношение называетсябинарным ().

При отношение называетсятернарным () и т. д.

Особый интерес представляют бинарные отношения, которые будут рассмотрены ниже более детально.

Определение 3: Бинарным отношением между элементами множеств иназывают всякое подмножество прямого произведения. Пишут:. При этом само множествоназываютуниверсальным бинарным отношением. Всякое бинарное отношение между элементами множеств иявляется подмножеством универсального множества.

Таким образом, бинарные отношения состоят из упорядоченных пар элементов некоторых множеств. Если некоторая пара принадлежит бинарному отношению, т. е. , то говорят, что элементнаходится в отношениис элементом. Можно встретить такое обозначение:(читается:находится в отношениис элементом).

Замечание: При задании бинарного отношения обязательным является указание множества, на котором это отношение рассматривается.

Например, рассмотрим некоторые бинарные отношения на множестве всех натуральных чисел . Пусть, тогда, где. На это множестве, как и на любом числовом множестве, можно рассматривать отношения: <, >, =.

На множестве всех прямых плоскости можно рассмотреть отношение параллельности.

Определение 4: Пусть - бинарное отношение на множествахи. Множествовсех, таких, что, называетсяобластью определения бинарного отношения (или первой проекцией бинарного отношения).

Согласно определению: - это множество всех первых элементов пар, принадлежащих.

Определение 5: Вторая проекция бинарного отношения (илимножество значений отношения ) – это множество, состоящее из вторых компонент упорядоченных пар, принадлежащих отношению. Обозначают:.

Из последних определений видно, что ,.

Для наглядности восприятия бинарных отношений их можно изображать на плоскости в виде графиков и в виде графов.

Определение 6: График бинарного отношения - это множество точек плоскоститаких, что.

Таким образом, графиком бинарного отношения является некоторая область в плоскости . Область определения отношения- это проекция на ось, а множество значений - проекция на ось.