Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть точки А(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃) принадлежат плоскости α.

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х,у,z)α

=p

Так как = (х,у,z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0

– нормальное равнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Обозначим через d расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости α, заданной общим уравнением вида ().

Тогда

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть плоскости α₁ и α₂ заданы уравнениями:

α₁: А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

α₂: А₂х + В₂y + С₂z + D₂ = 0.

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α₁ и α₂:

1) совпадают, когда А₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂, D₁=λD₂;

2) параллельны и различны, когда

A₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁=λС₂, D₁λD₂;

3)пересекаются, когда коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂

Пучок и связка плоскостей

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α₁ и α₂ .

Тогда уравнение пучка имеет вид

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0, где λ R.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S₀ (x₀,y₀,z₀) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S₀ имеет вид

А(х-x₀) + В(у-y₀) + С(z­­-z₀) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

Угол между двумя плоскостями

Пусть даны плоскости α₁ и α₂ своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α₁ и α₂ понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=(^,), либо φ= (-^,), гдеи- нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ соответственно. В любом случае

В частности, если φ = π/2, то

А₁A₂ + В₁B₂ + С₁C₂ = 0

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α₁ и α₂. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

(1)

- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М₀(х₀,у₀,z₀), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z)l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x₀ = tm, y - y₀ = tn, z - z₀ = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀ y₀,z₀) параллельно вектору =(m,m,р).

Последнее уравнение равносильно

- общее уравнение прямой.

Пусть M₁{x₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Беря произвольную точку М₀(х₀,у₀,z₀) прямой получаем

- каноническое уравнение прямой.