![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
Пусть
в плоскости α задана афинная система
координат (0,
,
)
и прямаяl,
принадлежащая этой плоскости α. Составим
уравнение прямой l.
Заметим, что положение прямой l
однозначно определено, если известен
вектор, коллинеарный этой прямой и
называемый направляющим
вектором прямой,
и точка, через которую прямая проходит.
Очевидно, что в качестве направляющего
вектора прямой можно взять любой вектор,
коллинеарный данной прямой. Пусть
= (m1,n1)
и
=(m2,n2)
- какие-либо направляющие векторы прямой
l.
Тогда из необходимого и достаточного
условия коллинеарности двух векторов
следует, что
Если прямаяl
не параллельна оси OY, то
следовательно,
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.
В
частности, для прямоугольной системы
координат (0,)
k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению
x = a , Р(а,0)
-
уравнение
прямой, проходящей через точку параллельно
оси
ОУ.
Заметим, что в качестве направляющего
вектора такой прямой можно взять вектор
(0,р),
где р - произвольное отличное от нуля
число. В этом случае, как видим угловой
коэффициент прямой не существует.
Пусть
прямая l
проходит через точку A
(а,b)
и имеет угловой коэффициент k.
Возьмем произвольную точку М (х,у)
на прямой l.
Тогда
=(х-а,
у-b)
- направляющий вектор прямой l.
Следовательно,
Отсюда
y – b = k (x-а)
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где
А, В, С
R и А2
+
В2
0.
Обратно, любое уравнение вида (1) задает
прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С,
и
.
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
-уравнение в отрезках.
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда
Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.
Последнее
равенство означает, что вектор
=(А,В)
ортогонален вектору
=(x1-x2,у1-у2).
т.е.
Вектор
(А,В)
называетсянормальным
вектором прямой l.
Рассмотрим
вектор
=(-В,А).
Тогда
=А(-В)+ВА=0.
т.е.
.
Следовательно,
вектор
=(-В,А)
является направляющим вектором прянойl.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть
в афинной системе координат (0, X, Y) задана
прямая l,
ее направлящий вектор
=
(m,n) и точкаM0
(x0,y0)
принадлежащая l.
Тогда для произвольной точки M (x,у)
этой прямой имеем
и
так как
то
.
Если
обозначить
и
- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то
- уравнение прямой в векторной форме.
Так
как
=(х,у),
=(х0,у0),
то
x = x0 + mt,
y = y0 + nt
- параметрическое уравнение прямой.
Отсюда следует, что
- каноническое уравнение прямой.
Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х1,у1) и
M2(x2,у2),
то вектор
=(х2-х1,y2-у1)
является направляющим
вектором прямой l.
Тогда
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями
l1: А1х + В1у + С1 = 0, (1)
l2: А2х + В2у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A1=λA2, В1=λB2;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2,
В1=λВ2,
С1λС2.