заться не совсем представительным, что приведет к ис- кажению оценки VaR;

Метод исторического моделирования также может недооценить риск портфеля, поскольку придает всем значениям цен активов, которые не наблюдались в ба- зовом периоде, нулевую вероятность.

12.6. МЕТОД ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)

Метод Монте-Карло или метод стохастического моделирования (Monte Carlo simulation) основан на моделировании случайных процессов с заданными ха- рактеристиками, относится к группе методов полного

оценивания и является непараметрическим. Метод Монте-Карло (или метод статистических испытаний) можно определить как метод моделирования случай- ной величины с целью вычисления характеристик их распределений. Суть состоит в том, что результат ис- пытаний зависит от некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому резуль- тат каждого отдельного испытания носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают выбор- ку. Полученные статистические данные обрабатывают- ся и представляются в виде численных оценок, интере- сующих исследователя величин (характеристик системы).

Испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, и результаты всех опы- тов усредняются. Это значит, что число испытаний должно быть достаточно велико, поэтому метод суще- ственно опирается на возможности компьютера. Тео- ретической основой метода Монте-Карло являются предельные теоремы теории вероятностей. Они гаран- тируют высокое качество статистических оценок при весьма большом количестве испытаний. Метод стати-

437

стических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем.

В отличие от метода исторического моделирова- ния, в методе Монте-Карло изменения цен активов ге- нерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например, математическим ожиданием и волатильностью. Ими- тируемое распределение может быть, в принципе, лю- бым, а количество сценариев – весьма большим (до не- скольких десятков тысяч). В остальном метод аналогичен методу исторического моделирования.

В основе этого метода лежит многократная (дохо- дящая при достаточности компьютерных ресурсов до десятков тысяч вариантов) имитация условий генери- рования факторов риска и их отражении на изменении стоимости отдельных финансовых инструментов или их совокупного портфеля. Такая имитация носит слу- чайный характер, но в пределах заданных параметров. Такое искусственное моделирование факторов риска позволяет избирать любой вид распределения их веро- ятностей и позволяет достичь наибольшей тонкости расчетов стоимости под риском VaR. Кроме того, в от- личие от метода исторического моделирования этот метод не связан с выбором конкретной ретроспективы.

Среди других методов оценки стоимости под рис- ком VaR, используемых в последние годы в практике финансового риск-менеджмента, следует выделить так- же метод анализа сценариев, метод дерева вероятностей и другие.

12.6.1. Метод Монте-Карло для одного фактора

риска

Траектория цен – это последовательность цен, смо- делированных псевдослучайным образом, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором ко-

438

нечном шаге, например, на тысячном или десятиты- сячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.

Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге, ис- ходя из текущей цены. Затем осуществляется полная переоценка портфеля по цене последнего шага и про- изводится расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR происходит по распределению изменений стоимости портфеля.

Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная мо- дель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цен

S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих временной период T :

dSt St dt dzt ,

где dS – винеровский случайный процесс.

Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг t 1/ n , а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению 0, 1. Существуют и иные моде-

ли эволюции цен, например, экспоненциальная и др. Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло

состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распреде- ленных на интервале между 0 и 1. Затем, используя как аргументы, полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых случайных распре- делений.

Однако следует помнить, что генераторы случай- ных чисел работают на детерминированных алгорит- мах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные

439

числа». Поскольку с некоторого момента последова- тельности этих псевдослучайных чисел начинают по- вторяться, они перестают быть независимыми. В про- стейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных – через миллиарды операций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, метод Монте- Карло перестает моделировать случайные независимые сценарии, и оценка VaR начинает отражать ограни- ченность генератора, а не свойства портфеля. Опти- мальное количество шагов в процессе зависит от объе- ма выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.

Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных выше методов расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современным ком- пьютерам, несмотря на их высокое быстродействие, все еще очень далеко до обработки информации в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций.

Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать

непосредственно исторические данные. Подобно методу ис-

торического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последова- тельность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением, то есть возмущение из ис- торических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Эта «за- грузка» [bootstrap] историческими данными позволяет

440

учесть эффект «толстых хвостов» и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это – не- сомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рас- смотреть не какую-либо одну траекторию цен (сцена- рий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками «загрузки» является низкая точность при малых объемах выборки и ис- пользование предположения о независимости доход- ностей во времени.

12.6.2.Метод Монте-Карло для портфеля

активов

Рассмотрим существо метода Монте-Карло для портфеля из двух бумаг. Для портфеля, включающего большее количество активов, подход останется анало- гичным.

Распределение стоимости портфеля зависит от сте- пени коррелированности доходностей входящих в него активов. Наиболее просто получить распределение стоимости портфеля, когда доходности акций изменя- ются независимо друг от друга или когда между ними наблюдается корреляция +1.

Изменение стоимости акций в портфеле можно представить равенствами:

S1,1 1S1,0 t 1S1,0 1,1 t

S2,1 2 S2,0 t 2 S2,0 2,1 t ,

где: S1,1 ; S1,2 – изменения курса первой и второй ак- ций в первом периоде;

S1,0 ; S2,0 – цены первой и второй акций в началь-

ный момент времени;1 , 2 – ожидаемые доходности первой и второй

акций;

441

1 , 2 – стандартные отклонения доходностей пер- вой и второй акций;

1,1 ; 2,1 – реализации стандартной нормально рас-

пределенной случайной величины в первом периоде. Расчеты применительно к портфелю ценных бумаг

удобно осуществлять в матричной форме. Поэтому

S – это изменение стоимости акции. Его можно записать, как

S St St 1 ,

где: St – курс акции в момент t ,

St 1 – курс акции в момент t 1.

Учитывая сказанное, цены акций в предыдущем вы- ражении можно представить как:

где S1,1 ; S2,1 – цены акций в конце первого периода ис-

пытания.

Стоимость портфеля в конце первого периода можно узнать, умножив предыдущее выражение на век- тор количества акций в портфеле:

442

где PP – стоимость портфеля;

n1 , n2 – количество единиц первой и второй акций

в портфеле.

Представленная формула позволяет определить стоимость портфеля, когда корреляция доходностей бумаг равна нулю.

Если корреляция доходностей активов в портфеле равна +1 или -1, то представленное выражение прини- мает вид:

Обычно корреляция доходностей акций в портфеле отлична от ±1. Этот факт необходимо учесть при оп- ределении его стоимости. Результаты испытаний зада-

Они должны отражать структуру корреляций доходно- стей активов. Требуемое условие можно смоделиро- вать, воспользовавшись разложением Холецкого. Это разложение представляет собой симметрическую мат- рицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц. Поэтому корреляционная матрица портфеля

(Q) представима как:

Q AAT ,

где A– нижняя треугольная матрица.

Запишем выражение Q AAT для портфеля из двух бумаг:

где – корреляция доходностей активов. Произведение матриц AAT дает результат:

443

Зададим значения вектора как:

A ,

где – вектор независимых стандартных случайных переменных. Тогда:

и

1,1 1

2,1 1 1 2 2

и получаем стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы.

Для того чтобы можно было использовать разложе- ние Холецкого, при расчетах необходимо правильно выбрать количество множителей, чтобы получилась

положительно определенная матрица A . Точность оценки VaR зависит от количества проведенных ис-

444

пытаний. Возможная ошибка обратно пропорцио- нальна корню квадратному из их количества.

В заключение данного параграфа остановимся еще раз на использовании формулы

S S t S t ,

где: S – цена спот акции;

– непрерывно начисляемая ожидаемая доход-

ность;– мгновенное стандартное отклонение;

– стандартная нормально распределенная вели- чина;

t – период времени, за который рассматривается изменение стоимости акции.

для моделирования курсовой стоимости акции. Формула включает элемент S t . Он определяет тренд

или скорость тенденции движения цены акции. За ко- роткий период времени тренд фактически не опреде- лим, и изменение цены акции задается в основном стандартным отклонением. Поэтому, если курс акции моделируется для небольшого периода времени, то данное слагаемое можно опустить. Тогда представлен-

ная формула примет вид: S S t .

Таким образом, для моделирования курса акции для малых периодов времени можно воспользоваться вме-

S S t . Разница в результатах тем меньше, чем

меньше период времени берется для каждого испыта- ния. При моделировании стоимости акций в портфеле

с учетом их корреляций в формуле S S t зна- чения необходимо учитывать в соответствии с выра-

445

Достоинства метода Монте-Карло:

Высокая точность расчетов; Высокая точность применительно к инструментам с

нелинейными ценовыми характеристиками; Возможность моделирования любых исторических

и гипотетических распределений, учет эффекта «тол- стых хвостов» и скачков цен (вега-риска).

Недостатки метода Монте-Карло:

Высокая сложность моделей и соответственно вы- сокий риск неадекватности моделей;

Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.

В табл. 10 представлена сравнительная характери- стика описанных выше методов оценки VaR.

Таблица 10

Сравнительная характеристика методов оценки VaR

446

12.7. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕДЕЛЬНОГО VAR, VAR ПРИРАЩЕНИЯ

И ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ VAR

Предельный VaR (marginal VaR) показывает, на ка- кую величину изменится риск портфеля при малых изменениях размера позиции по данному активу или фактору риска.

447

Пусть xi – сумма денежных средств, вложенных в i-й вид актива, тогда предельный VaR определяется как:

Marginal VaRi VaR П

xi

Таким образом, предельный VaR – это показатель, характеризующий чувствительность VaR

VaR портфеля к изменению его структуры и яв- ляющийся просто частной производной VaR портфе- ля по размеру позиции.

Предельный VaR используется в случае, когда пол- ная ликвидация данной позиции или нескольких пози- ций нецелесообразна, а управление совокупным рис- ком портфеля осуществляется посредством балансирования позиций, то есть частичной покупки или продажи актива.

Зная величину предельного VaR для каждого акти- ва, входящего в портфель, размер позиции по i-ому ак-

тиву в портфеле xi и его процентное изменение i ,

Например, имея в портфеле актив A стоимостью 1000 долл. США с предельным VaR (A) = 100 долл., мы хотим дополнительно вложить 10 долл. в актив A, тогда VaR портфеля изменится следующим образом:

VaR П =(1010/1000 ‒ 1)×100 = 1 долл.

Важной характеристикой величины предельного VaR (и его отличием от VaR приращения) является свойство аддитивности:

VaR( П) xi Marginal VaRi

i

где VaR П – VaR портфеля

448

Таким образом, суммируя значения предельных VaR, умноженных на величины позиций по всем инст- рументам, можно получить VaR портфеля. На практи- ке значение предельного VaR удобно использовать, например, при установлении лимитов, когда важно, чтобы сумма частных рисков была равна риску целого. В частности, с помощью данного показателя можно провести декомпозицию VaR портфеля по входящим в него инструментам (позициям) или факторам риска. Воспользовавшись предыдущей формулой, получим следующее выражение для оценки вклада позиции в общий риск портфеля:

Для портфеля

Приведенное разложение риска портфеля по позици- ям следует интерпретировать в предельном смысле, то есть оно показывает процентные вклады инструментов в изменение VaR портфеля в результате изменения размера всех позиций на одну и ту же (малую) относи- тельную величину.

Показатель VaR приращения (incremental VaR –

IVaR ) данной позиции в портфеле отражает величину риска, добавляемого данной позицией к совокупному риску порт- феля.

Показатель VaR приращения, как и предельный VaR, отражает влияние изменения структуры портфеля на величину его риска. Однако от риска портфеля он отличается тем, что изменение размера позиции может быть большим, и тогда VaR портфеля будет изменять- ся нелинейно.

При помощи данного показателя можно опреде- лить, как изменится VaR портфеля при (значительном) изменении размера или ликвидации какой-либо пози- ции.

449

В общем случае VaR приращения определяется как разность между VaR первоначального портфеля и VaR портфеля без данной позиции:

IVaR VaR П VaR П n

где: VaR П VaR первоначального портфеля (со все- ми позициями);

VaR П n − VaR портфеля без данной позиции.

Показатель VaR приращения учитывает корреляци- онные связи данной позиции с остальными позициями в портфеле. Например, для параметрического метода приращения позиции можно рассчитать, как

VaR П VaR П n VaR2 П n VaR2 n 2 VaR П n VaR n VaR П n

VaR n 1 2 2 1 1

где ρ ‒ корреляция позиции n со всей остальной ча- стью портфеля П n ,

VaR(n) VaR(П n)

Важно отметить, что если VaR позиции мал по сравнению с VaR портфеля, то VaR приращения будет приблизительно равен VaR позиции, умноженной на коэффициент корреляции ρ: IVaR(n) VaR(n) при

значении 0 .

Рассмотрим три предельных случая:

Если 1, то позиция ведет себя так же, как и ос-

тальной портфель, при этом вклад позиции в общий риск портфеля в точности равен VaR данной позиции;

Если 1, то позиция уменьшает риск портфеля

на величину VaR позиции;

При ρ = 0, то вклад позиции в риск портфеля по- ложителен и равен

VaR(n) 1 2 1 /

450