9.4. КРИВИЗНА ОБЛИГАЦИИ

Дюрация предполагает, что при изменении доход- ности до погашения облигации ее цена изменяется на постоянную величину, то есть она не учитывает нели- нейную зависимость между доходностью до погашения и ценой облигации. График зависимости цены облига- ции от доходности до погашения представляет собой выпуклую линию относительно начала координат. По- этому дюрация дает приемлемую оценку изменения цены облигации только при небольшом изменении доходности до погашения. При значительном измене- нии доходности до погашения оценка изменения цены облигации только на основе дюрации будет содержать погрешность. Чем больше изменение процентной ставки, тем больше данная погрешность.

Для более точной оценки изменения величины об- лигации следует учесть такой показатель, как кривизна (convexity) графика цены облигации, обозначим его че-

рез показатель conv . Кривизна показывает среднюю скорость изменения угла наклона дюрации. Можно сказать, что кривизна измеряет среднее изменение дюрации при изменении доходности до погашения на один базисный пункт.

Чтобы определить показатель кривизны, разложим изменение цены облигации с помощью ряда Тейлора. Для решения нашей задачи возьмем два первых слагае- мых ряда. Тогда изменение цены облигации можно представить следующим образом:

dP dPdr dr 12 ddr2 P2 dr 2 ,

где: dPdr – первая производная цены облигации по процентной ставке;

335

Полученное уравнение говорит о процентном из- менении цены облигации при изменении процентной ставки. В первом слагаемом в правой части равенства

величина P1 dPdr есть не что иное, как модифициро- ванная дюрация со знаком минус. Во втором слагаемом

Поэтому кривизну можно рассчитать по формуле:

336

Единицы измерения кривизны – это годы в квадрате. Если купон выплачивается несколько раз в год, то по- казатель кривизны получается в купонных периодах m . Пересчитать значение кривизны в годы в этом случае

ляет определить процентное изменение цены облига- ции с помощью показателей дюрации и кривизны. За- пишем ее с использованием обозначений дюрации и кривизны:

dPP Dm dr 12 conv dr 2

Пример

Модифицированная дюрация облигации равна 2.107, кри-

визна 6.597. Определить процентное изменение цены облигации при росте и падении доходности до погашения на 1%.

337

Решение.

При росте доходности на 1% цена облигации упа- дет на величину:

dPP 2,107 0,01 12 6,597 0,01 2 0,02074 ил

и 2,074%

При падении доходности она вырастет на величи-

ну:

dPP 2,107 0,01 12 6,597 0,01 2 0,0214

или 2,14%

Использование модифицированной дюрации и кривизны позволяет довольно точно определить про- центное изменение цены облигации при существенном

для определения изменения цены облигации при из- менении процентной ставки:

dP Dm drP 12 conv dr 2 P

Пример

Определить, на какую величину изменится цена облигации из предыдущего примера при росте доходности до погашения на

1%.

Решение Она упадет на величину:

dP 2,107 0,01 1000 12 6,597 0,01 2 1000 0,02074

или 20,74 руб.

Кривизна характеризуется следующими особенно- стями:

338