- •Тема5 . Введение в математический анализ Множество действительных чисел. Последовательности
- •Функция, её график и свойства.
- •Основные свойства функций
- •Обратная функция
- •Предел функции
- •Бесконечно большие функции (б.Б.Ф) Бесконечно малые функции (б.М.Ф)
- •Основные теоремы о пределах
- •Признаки существования пределов
- •Первый и второй замечательные пределы
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Замечание. Аналогично формулируются правила сравнения б.М.Ф.При
- •Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •Вычисление пределов
- •Приближённые вычисления
- •1.4 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке
- •Классификация точек разрыва
- •Основные теоремы о непрерывных функциях Непрерывность элементарных функций
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Асимптоты графика функции
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда и , аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.
Теорема 5.8 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .
Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .
Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности,
Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Пример Вычислить
Решение.
Пример Вычислить
Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на :
Пример Вычислить
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределённость вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на :
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема 5.11 (о пределе промежуточной функции). Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если , , , то .
Теорему 3.11 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и , функция «следует за милиционерами».
Теорема 5.12 (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно её левый предел или её правый предел .
Следствие 5 Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
Первый и второй замечательные пределы
Определение.При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
,
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Пример Найти
Решение. Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и
Пример 3 Найти
Решение.
Определение. Равенства и называются вторым замечательным пределом.
Замечание. Известно, что предел числовой последовательности
имеет предел, равный е :. Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются Заметим, что
.
Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция
Если положить то из следует . Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение
Пример Найти
Решение. Обозначим очевидно, при Имеем