- •Тема5 . Введение в математический анализ Множество действительных чисел. Последовательности
- •Функция, её график и свойства.
- •Основные свойства функций
- •Обратная функция
- •Предел функции
- •Бесконечно большие функции (б.Б.Ф) Бесконечно малые функции (б.М.Ф)
- •Основные теоремы о пределах
- •Признаки существования пределов
- •Первый и второй замечательные пределы
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Замечание. Аналогично формулируются правила сравнения б.М.Ф.При
- •Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •Вычисление пределов
- •Приближённые вычисления
- •1.4 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке
- •Классификация точек разрыва
- •Основные теоремы о непрерывных функциях Непрерывность элементарных функций
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Асимптоты графика функции
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 5.21 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображённая на рисунке 29 функция непрерывна на отрезке , принимает своё наибольшее значение M в точке , а наименьшее m — в точке . Для любого имеет место неравенство .
Следствие 6 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 5.22 (Больцано–Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения междуΑ и Β.
Геометрически теорема очевидна (рисунок 30).
Для любого числа С, заключённого между Α и Β, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что Прямаяпересечёт график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 7 Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль:
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (рисунок 31).
Следствие 7 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения .
Утверждения теорем 3.21 и 3.22, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какиелибо из её условий: функция непрерывная не на отрезке ,а в интервале , либо функция на отрезке имеет разрыв.
Рисунок 32 показывает, что график разрывной функции не пересекает ось Ох.
ПримерОпределить с точностью докорень уравнения, принадлежащий отрезку, применив метод половинного деления.
Решение. Обозначим левую часть уравнения через .
Шаг 1. Вычисляем
Шаг 2. Вычисляем
Шаг 3. Вычисляем . Если , тох — корень уравнения.
Шаг 4. При еслито полагаеминаче полагаем
Шаг 5. Если то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ε) принимается величинаИначе процесс деления отрезка пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.
В результате произведённых действий получим: х = 0,29589.
Асимптоты графика функции
Понятие асимптоты уже рассматривалось при изучении формы гиперболы.
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рисунок 33).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или, или.
Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 33 видно, что расстояние точки кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.
Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (рисунок 34) , так как
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде
. (4)
где и (5)
Итак, если существует наклонная асимптота , то k и b находятся по формулам (5) .
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (5) то прямая (4) является наклонной асимптотой.
Если хотя бы один из пределов (5) не существует или равен бесконечности. То кривая наклонной асимптоты не имеет.
В частности, если то Поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.
Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (5) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .
Пример Найти асимптоты графика функции .
Решение. Так как то график функции при наклонной асимптоты не имеет.
При справедливы соотношения
Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту
…