- •2. Алфавит Maple-языка и его синтаксис. Основные объекты (определение, ввод, действия с ними). Числа. Обыкновенные дроби.
- •3. Основные объекты (определение, ввод, действия с ними). Радикалы. Константы. Переменные, неизвестные и выражения.
- •4. Последовательности, списки, множества. Массивы. Вектора.
- •Создание массивов, векторов и матриц
- •5. Аналитические преобразования. Операции с формулами. Преобразование типов. Операции оценивания.
- •Оценивание выражений
- •6. Работа с последовательностями, списками, множествами. Последовательности с заданным числом членов
- •Основные функции для произведения членов последовательностей
- •7. Работа с массивами, таблицами. Создание Maple-таблиц и их применение
- •Создание массивов, векторов и матриц
- •8. Внутренняя структура объектов Maple. Подстановка и преобразование типов. Преобразования чисел с разным основанием
- •Контроль за типами объектов
- •9. Операции с полиномами. Определение полиномов
- •Выделение коэффициентов полиномов
- •Оценка коэффициентов полинома по степеням
- •Оценка степеней полинома
- •Контроль полинома на наличие несокращаемых множителей
- •Разложение полинома по степеням
- •Вычисление корней полинома
- •Основные операции с полиномами
- •Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями
- •10. Решение уравнений и неравенств.
- •11. Математический анализ. Пределы, суммы. Ряды. Пределы
- •Суммы и ряды
- •12. Математический анализ. Исследование функций. Разложение и приближение функций.
- •13. Математический анализ. Дифференцирование функций. Интегрирование. Производные
- •Интегралы
- •14. Обзор пакетов Maple 15. Пакет linalg. Элементарные операции с матрицами и векторами. Состав пакета linalg
- •15. Пакет LinearAlgebra. Элементарные операции с матрицами и векторами. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra
- •Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
- •Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra
- •16. Решение систем линейных уравнений. Пакет student. Функции пакета student
- •Функции интегрирования пакета student
- •Иллюстративная графика пакета student
- •17. Основы программирования в maple 15. Задание функций пользователя. Задание функции пользователя
- •10.1.2. Конструктор функций unapply
- •Визуализация функции пользователя
- •18. Основы программирования в maple 15.Условные выражения. Циклы. Операторы пропуска и прерывания. Условные выражения
- •Циклы for и while
- •10.2.5. Операторы пропуска и прерывания циклов
- •19. Процедуры функции. Процедуры. Средства отладки процедур, их сохранение и использование (подключение).
- •Графические процедуры
- •Просмотр кодов процедур
- •Оператор возврата значения return
- •Статус переменных в процедурах и циклах
- •Объявления переменных локальными с помощью оператора local
- •Объявления переменных глобальными с помощью слова global
- •Ключи в процедурах
- •Общая форма задания процедуры
- •20. Решение алгебраических уравнений и систем уравнений. Основная функция solve. Решение систем линейных уравнений
- •21. Одиночные нелинейные и тригонометрические уравнения. Решение одиночных нелинейных уравнений
- •Решение тригонометрических уравнений
- •22. Системы нелинейных и трансцендентных уравнений. Решение уравнений в численном виде. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений
- •Решение в численном виде — функция fsolve
- •23. Решение функциональных, рекуррентных и др. Уравнений. Функция RootOf. Функция RootOf
- •Решение функциональных уравнений
- •Решение рекуррентных уравнений — rsolve
- •24. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных Примеры аналитического решение оду первого порядка
- •Функция pdsolve
- •25. Двумерная графика в системе maple 15. Команда plot(). Функция plot для построения двумерных графиков
- •26. Двумерные команды пакета plots. Двумерные графические структуры Maple.
- •27. Двумерные команды пакета plottols. Анимация двумерных графиков.
- •28. Пространственная графика в Maple. Команда plot3d().
- •Параметры функции plot3d
- •29. Трёхмерные команды пакета plots. Трёхмерные графические структуры Maple.
- •30. Меню для работы с трёхмерной графикой. Трёхмерные команды пакета plottools.
- •31. Символьные преобразования выражений. Команда simplify, expand. Упрощение выражений — simplify
- •Расширение выражений — expand
- •32. Символьные преобразования выражений. Команда factor, collect. Разложение выражений (факторизация) — factor
- •Комплектование по степеням — collect
- •33. Решение тригонометрических уравнений.
- •34. Решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений
- •35. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений.
- •36. Поиск эсктремумов функции командой solve.
- •37. Поиск эсктремумов функции командой extrema.
- •38. Поиск минимумов и максимумов аналитической функции командами minimize, maximize.
- •39. Работа с функцией из отдельных кусков. Функция piecewise. Работа с функциями piecewise
- •40. Численное решение дифференциальных уравнений. Команда dsolve.
- •II. Вопросы по практике
11. Математический анализ. Пределы, суммы. Ряды. Пределы
Для нахождения пределов служит функция limit , которая может иметь два или три аргумента. Первый аргумент. - это функция (последовательность), предел которой надлежит искать. Второй указывает переменную и значение, к которому ее надо устремить.
Смысл третьего, необязательного параметра будет ясен из рассматриваемых ниже примеров.
> limit(sin(3*x)/x, x=0);
3
> limit((1+1/n)^n,n=infinity);
e
> limit((exp(x^2)+sin(x)^2)^(1/(x^2)),x=0);
e2
В следующем примере предел значений функции при стремлении аргумента к 0 не определен, поскольку односторонние пределы различны:
> a:= (exp(x^2)+sin(x))^(1/(x^2));
>
> limit(a, x=0); limit(a, x=0, left); limit(a, x=0, right);
undefined
0
В зависимости от того, где - в действительной или в комплексной области - ведутся вычисления, Maple по-разному интерпретирует константу infinity (бесконечность), различая понятия + и -в области вещественных чисел или оперируя понятием бесконечно-удаленной точки комплексной плоскости:
>limit(1/x,x=0, real);
undefined
>limit(1/x,x=0, complex);
infinity
Многие функции, в том числе большинство команд (функций) математического анализа, можно вызывать в так называемой инертной форме. Инертная форма функции (если она имеется) именуется так же, как и активная, с той разницей, что первая буква имени заменяется на соответствующую заглавную. (Заметим, что существуют функции, не имеющие инертной формы, имена которых начинаются, тем не менее, с заглавных букв.) В случае использования инертной формы вычисления откладываются. Этот эффект можно, в частности, использовать для оформления математических документов:
> Limit((n^3+3*n)/2^n, n=infinity) = limit((n^3+3*n)/2^n, n=infinity);
Суммы и ряды
Maple умеет находить конечные и бесконечные суммы, а также разлагать функции в степенной ряд в окрестности указанной точки и с указанной точностью. Рассмотрим примеры:
>sum(i^3, i=0..5);
225
Во избежание ошибок (связанных, например, с тем, что переменная по которой ведется суммирования уже имела какое-то значение) рекомендуется заключать общий член и переменную суммирования в одинарные кавычки.
> sum('a[k]*x^k','k'=0..n);
> sum('1/k!', 'k'=0..infinity);
e
> sum('1/k^2', 'k'=1..infinity);
Как и в случае с интегралами, если ответ не выражается в конечном числе элементарных функций, Maple использует специальные функции, а если и это не помогает просуммировать ряд, ограничивается переводом выражения в математический формат вывода.
> sum('(1/k!)^2', 'k'=0..infinity);
BesselI(0, 2)
> sum('1/k^3', 'k'=1..infinity);
> sum('1/(k^2)!', 'k'=0..infinity);
Для разложения функции в ряд Тейлора в Maple используется команда series. Она зависит от трех параметров: первый - разлагаемая функция; второй задает точку, в окрестности которой ведется разложение; третий определяет порядок бесконечно малых, с точностью до которых члены ряда будут вычисляться явно.
> f:=int(sin(x)/x, x); series(f, x=0,10);
f:= Si(x)
> h:=series(log(x), x=1, 5);
Часто бывает полезно преобразовать ряд в полином, отбросив остаточный член.
>convert(h,polynom);
Дополнительные возможности манипулирования с формальными степенными рядами (например, умножения рядов) можно получить, подгрузив специализтрованный пакет powerseries.