Он үшінші лекция негізгі үлестірім заңдары

1. Биномдық үлестірім. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдауықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса

онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталады

X	0	1	2	....	n
				....

орындалған. Шынымен бұл қосынды Ньютон биномы бойынша:

Теорема. Биномдық үлестірім заңымен берілген X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі , ал дисперсиясытең

2. Пуассон үлестірімі. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдауықтималдығы Пуассон формуласымен анықталса

онда кездейсоқ шама Пуассон үлестірім заңымен берілген деп аталады.

X	0	1	2	....	k	....
				....		....

орындалған. Шынымен:

Теорема. Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең

3. Бірқалыпты үлестірім. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы аралығында тұрақты болып, одан тыс жерде 0-ге тең болса, онда кездейсоқ шамабірқалыпты үлестірілген деп аталады:

.

Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім қисығы (тығыздығы) 1-суреттегідей болады.

F(x)

f(x)

Теорема. Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы

Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы 2-суреттегідей болады.

Математикалық үмітін есептейік:

Сонымен, бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мынаған тең екен:

.

Дисперсиясы мынаған тең:

Дәлелдеуі қиын емес.

4. Көрсеткішті (экспоненциалды) үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы

арқылы берілсе, онда ол көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп аталады.

Үлестірім тығыздығы графигі 3-суреттегідей болады:

Теорема. Көрсеткішті үлестірілген кездейсоқ шааның үлестірім функциясы

Үлестірім функциясы графигі 4-суретте берілген.

Көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең:

5. Қалыпты үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы

арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестірім заңымен берілген дейді. Мұндағы -параметрлер деп аталады. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім қисығы 5-суретте көрсетілген, оны Гаусс қисығы деп те атайды. График х =а түзуіне қарағанда симметриялы орналасқан, максималды мәні мен иілу нүктелері көрсетілген. Бұл нүктелердің барлығын функцияны дифференциалдық есептеулер көмегімен зерттеп те табуға болады.

Теорема. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті , дисперсиясытең.

Шынында да:

интегралы Эйлер интегралы деп аталады.

Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы Лаплас формуласы арқылы өрнектеледі

Қасиеттері:

1. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың кесіндісіне түсу ықтималдығы мынаған тең:

мұндағы,

- Лаплас функциясы

2. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуышамадан артпауының ықтималдығы мынағын тең:

Осы формуладан ықтималдықты - ның әртүрлі мәндерінде есептейік

Осыдан «үш сигма ережесі» шығады: Егер кездейсоқ шама қалыпты үлестірілген болса, онда оның математикалық үміттен ауытқуының абсолют шамасы үш орта квадраттық ауытқудан () аспайды.