Кездейсоқ шама моменттері.

Мода және медиана. Ықтималдықтар теориясында кездейсоқ шаманың математикалық үміт, дисперсия, орташа квадраттық ауытқуынан басқа да сандық сипаттамалар қолданылады.

Анықтама: Кездейсоқ шаманың ең ықтималды мәні мода деп аталады. белгілейді.

Мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы берілген.

X	1	2	3	4
p	0.1	0.5	0.15	0.35

Модасын табу керек.

Шешуі. Кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының ең көбі 0,5. Ол ықтималдықты Х=2 болғанда қабылдайды, ең ықтималды мән, яғни модасы .

Анықтама: Егер кездейсоқ шаманың белгілі бір х =мәнінде орындалса, онда кездейсоқ шаманың медианасы деп аталады

Геометриялық тұрғыдан қарағанда х=түзуі үлестірім қисығы астындағы ауданды тең екіге бөледі (6-сурет).

Мысал. X – үзіліссіз кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген: (7-сурет). Модасы мен медианасын табу керек.

Шешуі. Үлес тығыздығы ең үлкен мәнін болғанда қабылдайды, сондықтан .

= b медиананы мынадай шарттан табамыз:

Сонымен, = 0,79.

Анықтама. X кездейсоқ шамасының - ретті бастапқы моменті деп мынадай шаманы айтады

Анықтама. X кездейсоқ шамасының - ретті орталық моменті деп мынадай шаманы айтады

болғанда бастапқы момент кездейсоқ шаманың математикалық үмітін береді

,

яғни кездейсоқ шаманың орта мәнін береді.

болғанда орталық момент кездейсоқ шаманың дисперсиясын береді

яғни кездейсоқ шаманың математикалық үміттен қаншалықты шашыраңқы орналасқанын көрсетеді.

болғанда орталық момент үлестірімнің ассиметриялығын сипаттайды. Кездейсоқ шаманың өлшемімен бірдей болуы үшін оны-ке (- орташа квадраттық ауытқу) бөледі:

Бұл шама кездейсоқ шаманың ассиметрия коэффициенті деп аталады.

Егер үлестірім -ке қарағанда симметриялы болса, онда

9-сурет

8-суретте 1 – қисық оңжақтық ассиметрияны, ал 2 – қисықсолжақтық ассиметрияны көрсетеді.

болғанда орталық момент үлестірімнің сүйір не доғалданып келуін сипаттайды.

Кездейсоқ шаманың эксцессі деп мынадай шаманы айтады

Формулада 3 тұрған себебі, ең жиі кездесетін қалыпты үлестірімде . Қалыпты үлестіріммен салыстырғанда сүйірленіп келген үлестірімдердің эксцессі оңE > 0 (9-суретте 3-қисық) болады, ал қалыпты үлестіріммен салыстырғанда доғалданып келген үлестірімдердің эксцессі теріс E < 0 (9-суретте 1-қисық) болады.

Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама ассиметрия коэффициенті мен эксцессі нолге тең болады:

.

Үлкен сандар заңы

Кездейсоқ шамалар саны артқан сайын олардың орта мәні кездейсоқ болудан қалады.. Кездейсоқ факторлардың жиынтық әсері кездейсоқтықтан тәуелсіз нәтижелер алуға мүмкіндік беретін заңдар бар. Оларды үлкен сандар заңы дейді.

1. Чебышев теңсіздігі. Егер кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы белгілі болса, онда мына теңсіздіктер орындалады:

,

мұндағы >0.

Чебышев теңсіздігін кез келген кездейсоқ шамаларға қолдана беруге болады. Бірінші түрі кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуы -нен артық болу ықтималдығын жоғарыдан бағаласа, екінші түрімен ауытқудың-нен артық болмау ықтималдығын төменнен бағалайды.

Мысал. Фермада бір күнде жұмсалатын су мөлшері 1000 л, ал осы шаманың орта квадраттық ауытқуы 200 литрден артпайды. Чебышев теңсіздігімен фермада кездейсоқ бір күнде жұмсалған су мөлшері 2000 литрден артпау ықтималдығын бағалау керек.

Шешуі. Х – фермадағы жұмсалған су мөлшері (л). Шарт бойынша М(Х) =1000, дисперсия D(X)=. интервал шектері М(Х) =1000 математикалық үмітке қарағанда симметриялы болғандықтан ізделінді шаманың ықтималдығын бағалауға Чебышев теңсіздігін қолданамыз:

яғни, бір күнде жұмсалған су мөлшері 2000 литрден артпау ықтималдығы 0,96-дан кем емес екен.

Марков теңсіздігі. Математикалық үміті белгілі оң кездейсоқ шамалар үшін Марков теңсіздігі дұрыс болады:

мұндағы >0.

Чебышев теоремасы. Егер Х₁, Х₂, ..., Х_n қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы математикалық үміттері бар болып және дисперсиялары тұрақты С санымен шектелген болса, онда кез келген n саны үшін мынадай қатынас орындалады:

Бұл теореманы Чебышев теңсіздігін қолданып дәлелдегенде мынадай бағалау алынады:

.

Бернулли теоремасы. Егер әрбір тәуелсіз n сынақтарда А оқиғасы тұрақты р ықтималдықпен т рет пайда болса, онда кез келген п үшін мынадай қатынас орындалады:

Бұл теореманы Чебышев теңсіздігін қолданып дәлелдегенде мынадай бағалау алынады:

.

Мысал. Оқиға тәуелсіз сынақтарда тұрақты 0,2 ықтималдықпен пайда болады. Оқиғаның 900 сынақтарда пайда болу салыстырмалы жиілігінің осы оқиға ықтималдығынан ауытқуының абсолют шамасы 0,04-тен кем болатындығының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі. Есеп шарттары Бернулли теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Сондықтан n=900, p=0,2, q=0,8, =0,04 екенін ескеріп, іздеп отырған ықтималдықты Бернулли теоремасын қолданып бағалаймыз:

Ізделінді ықтималдық 0,89-дан кем болмайды екен.

Ляпуновтың орталық шекті теоремасы. Бұл теорема Х₁, Х₂, ..., Х_n қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың саны артқан сайын (кез келген үлестірім заңына бағынған), олардың қосындысының үлестірім заңы қалыпты үлестірімге шексіз жақындайтындығын білдіреді. Ляпуновтың орталық теоремасы Х₁, Х₂, ..., Х_n қос-қостан тәуелсіз және бірдей заңмен үлестірілген болған жағдайда былай айтылады:

Теорема. Егер Х₁, Х₂, ..., Х_n қос-қостан тәуелсіз, бірдей заңмен үлестірілген және математикалық үміті а дисперсиясы , үшінші абсолют орталық моменті барбар болса, онда т саны артқан сайын осы кездейсоқ шамалардыңқосындысының үлестірім заңы қалыпты үлестірімге шексіз жақындайды.

Практикада бірнеше кездейсоқ шамалардың қосындысының берілген интервалда жату ықтималдығын анықтау үшін орталық шекті теореманы қолданады.

Мысал. 24 кездейсоқ шамалар қосылған, олардың әрқайсысы (0; 1) интервалда бірқалыпты заңмен үлестірілген. Осы кездейсоқ шамалардың қосындысының үлестірім тығыздығын жуықтап сипаттайтын өрнек жазу керек. Осы қосынды 6 мен 8 арасында жататындығының ықтималдығын табу керек.

Шешуі. мұндағы Х_і - (0;1) интервалда бірқалыпты заңмен үлестірілген кездейсоқ шамалар. Ляпунов теоремасының шарттары сақталған, сондықтан Y кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығын сипаттайтын өрнек қалыпты үлестірімдікіндей болуы керек

.

Барлық Х _і - (0;1) интервалда бірқалыпты заңмен үлестірілген кездейсоқ шамалар болғандықтан, олардың математикалық үміті мен дисперсиялары өз ара тең болады:

, .

Олай болса математикалық үміт пен дисперсия қасиеті бойынша:

.

.

Табылған мәндерді тығыздық формуласына қойып Y кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығын сипаттайтын өрнек аламыз:

.

Енді осы қосынды 6 мен 8 арасында жататындығының ықтималдығын табу үшін қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығын есепейтін формуланы қолданамыз:

мұндағы,

- Лаплас функциясы.

Сандық мәндерін қойсақ:

- 0,4977 + 0,4999 = 0,0022.