Задача 6.4

Средняя продолжительность горения, установленная путем испытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказалось равна 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч. С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выборочной и генеральной средней) не превысит 12 ч?

Задача 6.5

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена двадцатипроцентная бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в табл. 6.1.

С вероятностью 0,997 (т.е. t = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

Задача 6.6

Из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Среднемесячная заработная плата мужчин оказалась равна 830 р. при среднем квадратическом отклонении 20 р., а у женщин – 780 р. при среднем квадратическом отклонении 30 р. Определить, можно ли считать расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин случайным?

Задача 6.7

Из партии готовой продукции в порядке механической выборки проверено 50 лампочек на продолжительность горения, которая равна 840 ч при среднем квадратическом отклонении 60 ч.

Определить: 1) среднюю ошибку (μ) выборочной средней про-

должительности горения лампочки; 2) с вероятностью 0,95 доверительные пределы продолжительности горения лампочки в генеральной совокупности.

Ответ: 1) μ = 8,5 ч; 2) 823,3 ч ≤ x ≤856,7 ч.

80

Задача 6.8

На городской телефонной станции в порядке собственно случайной выборки проведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 мин при среднем квадратическом отклонении 5 мин.

Определить: 1) с вероятностью 0,997 доверительные пределы для генеральной средней; 2) можно ли считать данную выборку репрезентативной?

Ответ: 1) 8,5 мин. ≤ x ≤11,5 мин.; 2) нет, т. к. относительная ошибка выборки отн > 5 %.

Тема 7. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Основная цель статистического изучения динамики любой деятельности состоит в выявлении и измерении закономерностей ее развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики.

Вкаждом ряду динамики имеются два основных элемента: - показатель времени t;

- соответствующие им уровни развития изучаемого явления y.

Вкачестве показателей времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления.

Рядом динамики называется ряд числовых значений статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения, образующие ряд динамики, называются уровнями ряда. Ряд динамики представляется графически или в виде таблицы.

Трендом называется основная закономерность в изменении уровней ряда. Основной задачей анализа рядов динамики является выявление тренда.

Ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. Ряды динамики относительных величин могут характеризовать темпы роста определенного показателя, изменение удельного веса показателя в совокупности (например, удельного веса городского населения) и др. Примерами рядов динамики средних величин служат данные о средней заработной плате в отраслях, средней урожайности сельскохозяйственных культур и т.п.

81

В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим, ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени.

Пример 1. В качестве моментного ряда динамики рассмотрим информацию о списочной численности работников фирмы в 2006 г. (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть персонала фирмы, составляющая списочную численность на 1.01.2000 г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях предыдущих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.

Интервальные ряды динамики показывают результаты изменения (функционирования) изучаемых явлений за определенный период времени.

Пример 2. В качестве интервального ряда динамики могут служить следующие данные о розничном товарообороте магазина в

1995–1999 гг.:

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за первый квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.

Ряды динамики могут быть полными инеполными.

Полный ряд – ряд динамики, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.

82

Неполный ряд динамики – ряд, в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты или периоды времени.

Требования к динамическому ряду:

1)все уровни относятся к одной и той же территории;

2)в разные годы применяется одна и та же методика учета и вычисления показателей;

3)все данные относятся к одной и той же дате;

4)измерения проводятся в одних и тех же единицах;

5)продолжительность периодов, к которым относятся уровни, должна быть одинаковой.

Показатели изменения уровней ряда

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как изменяются уровни ряда.

Абсолютным приростом называется показатель, рассчитываемый как разность между двумя уровнями ряда. Вычитая из каждого уровня начальный, получим базисные приросты; вычитая из каждого следующего уровня предшествующий – цепные приросты.

Ускорение – разность между двумя соседними абсолютными цепными приростами.

Коэффициентом роста называется относительный показатель, вычисляемый как отношение двух уровней ряда.

Темп роста – коэффициент роста в процентах.

Темпы и коэффициенты роста называются цепными, если каждый уровень сопоставляется с предыдущим, и базисными, если все уровни сопоставляются с уровнем периода, принятого за базисный.

Темпом прироста называется относительный показатель, определяющий, на сколько процентов данный уровень больше другого, принимаемого за базу сравнения.

Темп прироста Тпр вычисляется:

1) путем вычитания 100 % из темпа роста

Тпр = Тр – 100 %; 2) как процентное отношение абсолютного прироста к тому

уровню, по сравнению с которым рассчитан абсолютный прирост. Средний абсолютный прирост определяется как среднее ариф-

метическое отдельных цепных приростов. Средний темп роста – среднее геометрическое темпов роста. Средний темп прироста рассчитывается путем вычитания из среднего темпа роста 100 %.

83

Пример 3. Проведем расчеты различных показателей по данным табл. 7.2.

Решение:

1. Коэффициент роста:

2. Темп роста: Тр = k p 100% . Получим Tpб3 = 800%.

3. Абсолютный прирост:

а) базисный ∆yi = yi –y0 ; i = 1,…, n;

б) цепной ∆yi = yi –yi-1 ; i = 1,…, n.

4. Абсолютное ускорение:

∆2yi = ∆yi – ∆yi-1 ; i = 1,…n.

5. Средние показатели: а) средние значения:

• ряд интервальный с равными интервалами

84

Выявление тренда в рядах динамики

Динамика ряда включает три компоненты:

-долговременное изменение (тренд);

-кратковременное систематическое изменение (например, сезонные колебания);

-несистематические случайные изменения.

Для выявления тренда надо освободить основную закономерность от действия случайных факторов.

Существуют три метода выделения тренда: 1) метод укрупнения интервалов; 2) метод скользящей средней; 3) аналитическое выравнивание.

Метод укрупненных интервалов

Чем меньше период, за который проводятся данные, тем больше влияние случайных факторов. В ряду с укрупненными интервалами времени закономерность изменения уровней будет наглядней.

Пример 4. Рассмотрим данные о выпуске продукции на предприятии по месяцам года (пронумерованным от 1 до 12):

Укрупним интервалы до трех месяцев и рассчитаем суммарный и среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 7.3).

Таблица 7.3

85

Новые данные более четко выражают тенденцию увеличения выпуска продукции в кварталах.

Метод скользящего среднего

По этому методу фактические уровни заменяются средними, рассчитанными для последовательных скользящих укрупненных интервалов, охватывающих m уровней (рис. 7.1).

x

Фактические уровни

Например, при m = 3 сначала вычисляется среднее значение для первых трех уровней, затем для второго, третьего и четвертого, потом для третьего, четвертого и пятого и т.д. Это обеспечивает взаимное погашение случайных колебаний уровней. Скользящее среднее относится к середине скользящего интервала.

Аналитическое выравнивание

Каждый фактический уровень y рассматривается как сумма y = y +ε,

где y – систематическая составляющая, отражающая тренд,

ε – случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания состоит:

-в определении на основе фактических данных вида функции y = f (t), наиболее точно отражающей тренд;

-нахождении параметров этой функции;

-расчете по найденному уравнению теоретических (выровненных) уровней.

Наиболее часто используются следующие функции:

квадратичная y) = a0 + a1t + a2t2 ,

86

ряд Фурье y) = a0 + ∑n (ak cos kt +bk sin kt).

k =1

Обычно для нахождения параметров аналитической функции y = f (t) используется метод наименьших квадратов. При этом обес-

печивается минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических.

Например, при выравнивании по прямой y) = a0 + a1t параметры a0 и a1 определяются путем решения системы нормальных уравнений:

где n – количество членов ряда;

ti – порядковый номер i-го члена ряда; yi – уровни эмпирического ряда.

В случае периодических колебаний уровней ряда используется выравнивание с помощью ряда Фурье. Оно дает хорошие результаты для рядов, содержащих сезонные колебания:

(n – число членов ряда).

Многие процессы хозяйственной деятельности, торговли, сельского хозяйства и других сфер человеческой деятельности подверже-

87

ны сезонным изменениям, например, продажа мороженого, сельхозпродукции, потребление электроэнергии, производство молока, сахара и др.

Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведенные в сопоставимый вид (за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам). Измерения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.

Индексы сезонности обычно вычисляются следующим методом:

1.По данным ряда лет рассчитывается среднее значение уровня yi для каждого месяца исредний месячный уровень за весь период y .

2.Вычисляется индекс сезонности для каждого месяца как процентное отношение среднего уровня данного месяца к среднему месячному уровню всего ряда

Iсез.i = yyi 100% .

3. Рассчитываются помесячные индексы сезонности для каждого года, а затем для индексов одноименных месяцев находится среднее арифметическое значение.

Аналитическое выравнивание временных рядов (замена системы координат)

Пример 5. Рассмотрим аналитическое выравнивание, используя данные табл. 7.4.

88

Решение:

1. Коэффициенты уравнения регрессии найдем путем перехода к новой системе отсчета времени. Центрируем переменную t (гр. 3 табл. 7.4). Середина отрезка времени – 0, остальные моменты времени симметричны относительно середины.

Уравнение регрессии ищем в виде y = b t + a ,

2. При прогнозировании указывается доверительный интервал. Считается число степеней свободы: m = n – 2 = 6. Задаемся уровнем значимости, например, α = 0,05, tтабл = 2,45.

Доверительный интервал (yпрогн – ∆; yпрогн + ∆):

= tтабл μ,

тельный интервал (10 −2,45 0,5; 10 + 2,45 0,5) .

Ответ: С вероятностью 95 % результат будет находиться в ин-

тервале (8,8; 11,2).

Приведение рядов динамики в сопоставимый вид

Ряды динамики, изучающие изменение статистического показателя, могут охватывать значительный период времени, на протяжении которого могут происходить события, нарушающие сопоставимость отдельных уровней ряда динамики (изменение методологии учета, изменение цен и т.д.).

89

Для того чтобы анализ ряда был объективен, необходимо учитывать события, приводящие к несопоставимости уровней ряда и использовать приемы обработки рядов для приведения их в сопоставимый вид.

Наиболее характерные случаи несопоставимости уровней ряда динамики:

-территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель (изменение границ городского района, пересмотр административного деления области и т.д.);

-разновеликие интервалы времени, к которым относится пока-

затель. Так, например, в феврале – 28 дней, в марте – 31 день. Анализируя изменения показателя по месяцам, необходимо учитывать разницу в количестве дней;

-изменение даты учета. Например, численность поголовья скота в разные годы могла определяться по состоянию на 1 января или на 1 октября, что в данном случае приводит к несопоставимости;

-изменение методологии учета или расчета показателя;

-изменение цен;

-изменение единиц измерения.

Пример 6. Динамика изменения численности населения района по состоянию на 1 января (тыс. чел.) представлена рядом динамики:

В 1984 г. произошло изменение административного деления области, и площадь района увеличилась, соответственно увеличилась и численность населения района:

Для приведения ряда в сопоставимый вид необходимо для 1984 г. знать численность населения в старых и новых границах района для определения коэффициента пересчета.

Все уровни ряда, предшествующие 1984 г., умножаются на коэффициент К и ряд принимает вид:

После этого преобразования ряда динамики возможен дальнейший анализ (определение темпов роста и др.).

90

Определение среднего уровня ряда динамики

В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики у. В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.

Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени)

Y = y0 + y1 +... + yn . n +1

Интервальный ряд абсолютных величин с неравными периодами (интервалами времени):

Y = y0t0 + y1t1 +... + yntn .

Моментный ряд с равными интервалами между датами:

Моментный ряд с неравными интервалами между датами:

Yхронол = ( y0 + y1)t1 + ( y1 + y2 )t2 +... + ( yn−1 + yn )tn . 2(t1 +... +tn )

Вопросы и задания

1.Каковы правила и принципы построения рядов динамики? Приведите примеры динамических рядов.

2.Какие показатели применяются для характеристики изменений уровней ряда динамики? Приведите примеры вычисления средних темпов роста и темпов прироста.

3.Назовите основные способы построения трендовых моделей. Каковы преимущества и роль аналитического выравнивания уровней ряда динамики?

Тема 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

Важное значение в статистических исследованиях результатов любой деятельности имеет индексный метод. Полученные на основе этого метода показатели используются для характеристики развития во времени, по территории, для изучения структуры и ее взаимосвязей, выявления роли факторов при изменении сложных явлений.

91

Индексы широко применяются в экономических разработках государственной и ведомственной статистики.

Статистический индекс – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и их отдельных единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение, – за базисный период.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина. Под индексируемой величиной понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара р. При изучении изменения физического объема товарной массы в качестве индексируемой величины выступают данные о количестве товаров в натуральных измерителях. Например, ассортимент продовольственных товаров состоит из товарных разновидностей, первичный учет которых на производстве и в оптовой торговле ведется в натуральных единицах измерения: молоко – в литрах, мясо – центнерах, яйцо –штуках, консервы – в условных банках и т.д.

Для определения общего объема производства и реализации продовольственных товаров суммировать данные учета разнородных товарных масс в натуральных измерителях нельзя. Не подлежат непосредственному суммированию и данные о количестве произведенных и реализованных различных видов непродовольственных товаров. Было бы, например, бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д. В этих сложных статистических совокупностях единицами наблюдения являются товары с различными потребительскими свойствами. Данные о натурально-веще- ственной форме реализации отдельных товарных разновидностей непосредственному суммированию не подлежат. Для получения в сложных статистических совокупностях обобщающих (суммарных) величин прибегают к индексному методу.

Основой индексного метода при определении изменений в производстве и обращении товаров является переход от натуральновещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (де-

92

нежным) измерителям. Именно посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется их несравнимость как потребительских стоимостей и достигается единство.

Индивидуальные и общие индексы

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элементарные) и общие.

Используются следующие основные обозначения: p – цена единицы продукции; q – количество продукции; Q – стоимость продукции; z – себестоимость единицы продукции; t – время, затрачиваемое на производство единицы продукции; T – общее время производства продукции.

Индивидуальные индексы принято обозначать i, а общие индексы – I.

Знак справа означает период: 0 – базисный, 1 – отчетный (текущий).

Индивидуальные индексы характеризуют относительное изменение отдельного элемента совокупности, например, изменение цены на молоко, изменение объема добычи нефти.

Например:

iq = q1 – индекс объема одного определенного товара; q0

ip = p1 – индекс цены определенного товара. p0

Индивидуальные индексы показывают, во сколько раз увеличилась (уменьшилась) индексируемая величина по сравнению с базовым периодом. Они не учитывают структуру процесса.

Общие индексы могут быть построены как агрегатные или как средние из индивидуальных. Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами.

Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредст-

вом индексного метода производится соединение (агрегирование) разнородных единиц статистической совокупности.

Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредст-

вом индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя.

93

Построение агрегатных индексов сводится к тому, что с помощью определенных соизмерителей выражаются итоговые величины сложной совокупности в отчетном и базисном периодах, а затем первая сопоставляется со второй.

Например, нужно показать измерение объема выпускаемой продукции на мебельной фабрике в 1998 г. (базисный период). Фабрика выпускает столы, шкафы, диваны. Ясно, что сложить эту различную несоизмеримую продукцию в физических единицах нельзя. Но если представить всю продукцию в стоимостном выражении (приняв цены в качестве соизмерителя), то тогда можно сравнивать стоимость продукции одного года со стоимостью продукции другого года. А чтобы изменение цен не влияло на величину стоимостного показателя, продукцию двух лет надо оценить в одних и тех же ценах.

Если выпуск продукции условно обозначить через q, а цены – через p, то формула агрегатного индекса физического объема выра-

зится следующим образом (индекс Ласпейреса):

Если количественный набор фиксируется на уровне текущего года, получаем агрегатный индекс цен Пааше:

где q1 и q0 – количество продукции соответственно в отчетном и базисном периодах;

p1 и p0 – цены соответственно отчетного и базисного периода.

Аналогично для построения агрегатного индекса цен определенный набор продуктов (q) оценивается в ценах двух периодов и сопоставляются стоимости набора в разных ценах. При этом количество этого набора (q) может приниматься на уровне базисного периода ( q0 ) или отчетного ( q1).

В первом случае индекс цен именуется индексом Ласпейреса (по имени немецкого ученого, предложившего этот метод) и записывается в виде формулы

94

Если же принимается продукция в объеме (количестве) отчетного периода ( q1), то индекс цен носит имя своего автора – индекс

Общий индекс может быть построен и как средний взвешенный из индивидуальных. При этом надо помнить, что веса для индивидуальных индексов должны быть подобраны так, чтобы было обеспечено тождество среднего арифметического или гармонического индекса агрегатному.

Так, для индекса физического объема средний арифметический индекс будет иметь вид

I= ∑iq0 p0 ,

∑q0 p0

где i = q1 – индивидуальные индексы объема; q0

q0 p0 – стоимость продукции базисного периода в базисных це-

нах.

Нетрудно заметить, что этот индекс тождественен агрегатному:

Поскольку агрегатные индексы цен могут быть построены по формуле Ласпейреса или Пааше, то и средние из индивидуальных строятся, соответственно, по-разному. Так, средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса, исчисляется по формуле

95

Средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатному индексу Пааше,

I ар.( П) = ∑iq1 p0 ,

∑q1 p0

т.е. веса здесь иные ( q1 p0 ) .

Соответственно, разную форму будут иметь и средние гармонические индексы цен. Тождественный индексу Ласпейреса

I гарм.( Л) = ∑q0 p1 ,

∑q1ip1

а тождественный индексу Пааше

I гарм.(П) = ∑q1 p1 .

∑q1ip1

На практике всегда оговаривается, по какой методике рассчитывается тот или иной индекс цен.

Надо иметь в виду, что для средних индексов в качестве весов могут приниматься не только абсолютные показатели стоимости продукции (например, q0 p0 или q1 p1 ), но и относительные величины

в виде долей или процентов отдельных групп товаров в структуре производства, потребления, товарооборота и пр.

Следует также обратить внимание на то, что если строится ряд индексов, то они могут быть построены или как цепные (ряд индексов, каждый из которых построен по отношению к предыдущему периоду), или как базисные (ряд индексов, построенных в сравнении с одной и той же базой). Произведение цепных индексов дает базисный индекс. Путем деления двух базисных индексов легко получить цепной.

Индексы качественных показателей

При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение во времени или в пространстве средней величины индексируемого показателя для определенной однородной совокупности.

Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина зависит как от значений показателя у индивидуальных единиц, из которых состоит совокупность, так и от соотношения весов отдельных групп совокупности, то есть от структуры совокупности.

96

Обозначим индексируемый показатель k-й группы через xk , а его вес – через fk . Динамика среднего значения показателя будет за-

висеть как от изменения обоих факторов x и f одновременно, так и от каждого фактора в отдельности. В результате получим три разных индекса: индекс переменного состава, индекс фиксированного состава и индекс структурных сдвигов. Особое место в статистике занимают так называемые индексы переменного и фиксированного состава, используемые при анализе динамики средних показателей.

Индексом переменного состава ( I ) называют отношения двух средних уровней. Если индексируемую величину обозначить через x, а веса через f, то в общем виде индекс переменного состава можно записать как

Очевидно, что средняя величина показателя ( х ) может меняться как за счет изменения значений осредняемого признака (x) у отдельных единиц, так и за счет изменения их весов (f ), т.е. за счет изменения состава (структуры) совокупности. Это и является основанием для названия данного отношения средних величин индексом переменного состава.

Если при расчете средних величин за два периода зафиксировать веса одного и того же периода, то при сравнении таких средних влияние изменения структурного фактора будет устранено, и этот индекс называют индексом фиксированного (постоянного) состава

( Iф.с ) . Веса при этом фиксируются, как правило, на уровне текущего периода ( f1 ) , т.е.

Нетрудно заметить, что при сокращении на ∑ f1 , этот индекс

можно записать как Iф.с. = ∑x1 f1 , т.е. в агрегатном виде.

∑x0 f1

Индекс фиксированного состава характеризует изменение только самого осредняемого признака при постоянстве структуры совокупности.

При сравнении средних показателей можно принять неизменным значение x, тогда на динамику средних будет оказывать влияние

97

только изменение весов, т.е. структуры совокупности. Этот индекс условно называют индексом структуры (индексом структурных сдвигов) ( Iстр. ) :

т.е. индекс структуры можно получить, разделив индекс переменного состава на индекс фиксированного состава.

Индекс структуры показывает, в какой степени изменение средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры (состава) совокупности.

Записанные выше в общем виде формулы индексов переменного и фиксированного состава, а также индекс структуры принимают тот или иной конкретный вид в зависимости от символики, используемой для отдельных показателей. Так, при изучении динамики средней урожайности зерновых, если обозначить урожайность отдельных культур через y, а посевную площадь под ними через П, индекс урожайности переменного состава будет иметь вид

При изучении различных взаимосвязанных показателей следует иметь в виду, что индексы этих показателей находятся точно в такой же зависимости, как и сами показатели (индивидуальные индексы всегда, общие – при определенном построении). Например, если валовой сбор какой-либо культуры можно представить в виде показателя, зависящего от посевной площади и урожайности (валовой сбор = урожайность × посевная площадь), то и индекс валового сбора можно представить в виде произведения индекса посевных площадей на индекс урожайности. На основе такого рода взаимосвязанных индексов, зная два из трех, легко рассчитать третий.

98

Применение индексов в экономических исследованиях

Индекс потребительских цен

Учет индекса потребительских цен ведется по трем группам то-

В России выбрано 1000 населенных пунктов (Nj = 1000). Индекс считается как средний взвешенный по численности на-

селения пункта Nj:

j=1

Индекс ценных бумаг

Различают следующие индексы: 1) интегральные; 2) индивидуальные. Они делятся на секторальные по отдельным видам акций, субсекторальные по нескольким видам акций.

Существует четыре способа расчета индексов:

1)по простой арифметической среднего значения цены;

2)взвешенной арифметической среднего значения цены;

3)среднему арифметическому приросту цены;

4)среднему геометрическому приросту цены.

Пример 1. Расчет индексов для фондового рынка (табл. 8.1).

Таблица 8.1

p1 = 67,3 =1,26 акции подорожали на 26 %; p0 53,3

99

322 30 150

4)Ip = 20 40 100 =1,07 цена выросла на 7 %.

Существует два способа расчета агрегатных индексов через индивидуальные:

1)по формуле среднего арифметического;

2)формуле среднего гармонического.

Вопросы и задания

1.Какова роль индексного метода анализа в экономических исследованиях?

2.Назовите принципы построения индивидуальных индексов.

3.Назовите принципы построения сезонных индексов.

4.Дайте определение цепных и базисных индексов.

5.Дайте определение индексов фиксированного и переменного состава, индекса структурных сдвигов.

6.В чем состоит различие агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше и какие факторы оказывают влияние на расхождение в величине этих индексов?

7.Какие бывают системы индексов?

8.Какая информация необходима для расчета индекса потребительских цен?

Задача 8.1

Имеются следующие данные о продаже и ценах на продукты на одном из рынков города (табл. 8.2).

100

Определить: 1) общее изменение физического объема продаж; 2) общее изменение цен на указанные продукты; 3) абсолютную экономию населения от снижения цен.

Решение:

1. Общее (в среднем) изменение объема продаж определим по

т.е. в отчетном периоде было продано продуктов на 23 % больше (123 – 100 = 23), чем в базисном периоде.

2. Общий индекс цен, характеризующий среднее изменение цен

т.е. цены на все продукты снизились в среднем на 18,44 % (81,56 – 100 = –18,44).

3. Для ответа на третий вопрос вычтем из числителя агрегатной формулы индекса цен знаменатель:

∑q1 p1 −∑q1 p0 = 261 −320 = −59 (тыс. р.),

т.е. абсолютная экономия населения от снижения цен составила

59 тыс. р.

Задача 8.2

Определить среднее снижение цен на швейные изделия в отчетном периоде по сравнению с базисным по данным табл. 8.3.

101

Задача 8.3

Имеются следующие данные о выпуске продукции мебельной фабрики (табл. 8.4). Рассчитать общий индекс объема продаж.

Задача 8.4

Имеются следующие данные о динамике потребительских цен в РФ за 1994 г. (табл. 8.5). Рассчитать сводный (общий) индекс потребительских цен.

Задача 8.5

Имеются следующие данные о производстве и себестоимости продукта А по двум фабрикам за два периода (табл. 8.6).

Определить: 1) изменение себестоимости продукта А по каждой фабрике; 2) изменение себестоимости в целом по обеим фабрикам с помощью индексов переменного и фиксированного составов; 3) индекс структурных сдвигов.

102

Задача 8.6

Имеются следующие данные по РФ об урожайности и посевных площадях озимых зерновых культур в 1991 и 1995 г. (табл. 8.7).

Определить: 1) общий индекс урожайности озимых зерновых культур (переменного состава, фиксированного состава); 2) индекс структурных сдвигов.

Задача 8.7

По данным задачи 8.6 определить абсолютное изменение валового сбора озимых культур в 1995 г. по сравнению с 1991 г. и разложить его по факторам, т.е. показать, какая часть этого прироста (убыли) получена за счет изменения: 1) размера посевных площадей; 2) урожайности отдельных культур; 3) структуры посевных площадей.

Задача 8.8

Определить изменение производительности труда на фабрике, если известно, что за отчетный период объем выпускаемой продукции увеличился в 1,2 раза, а численность работающих возросла на12 %.

Задача 8.9

Имеются следующие данные за два периода о ценах и объемах реализации трех видов товара по одному из торговых предприятий

(табл. 8.8).

103

Рассчитать:

1)индивидуальные индексы цен (по каждому виду товаров);

2)индивидуальные индексы физического объема реализации

товаров;

3)общий индекс цен: а) Ласпейреса, б) Пааше, в) Фишера;

4)общий индекс физического объема (по методу Ласпейреса);

5)индекс товарооборота (стоимость товаров).

Ответ: 1) А – 1,93, Б – 1,29, В – 1,17; 2) А – 0,68, Б – 2,77, В – 1,64; 3а) 179 %; 3б) 161 %; 3в) 169 %; 4) 105,9 %; 5) 170,4 %.

Тема 9. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Многообразие взаимосвязей, в которых находятся социальноэкономические явления, порождает необходимость их классификации. По видам различают функциональную и корреляционную зависимость.

Функциональной называют такую зависимость, при которой од-

ному значению факторного признака x соответствует одно строго определенное значение результативного признака y.

В отличие от функциональной зависимости, корреляционная выражает такую связь между социально-экономическими явлениями, при которой одному значению факторного признака x могут соответствовать несколько значений результативного признака y.

По направлению различают прямую и обратную зависимости. Прямой зависимостью называют такую, при которой значения

факторного признака x и результативного признака y изменяются в одном направлении, т. е. при увеличении значения x значение y в среднем увеличивается, а при уменьшении x – значение y уменьшается.

Обратная зависимость между факторным и результативным признаками наблюдается в том случае, если они изменяются в противоположных направлениях.

Связь между величинами x и y называется статистической связью, если при многократном повторении наблюдения одному и тому же значению x могут соответствовать разные значения y. Например, с одинаковых участков земли при равных количествах удобрений снимают разный урожай. Это объясняется влиянием таких случайных факторов, как количество осадков, температура воздуха и др.

104

Статистическая связь обнаруживается как статистическая закономерность только при массовом наблюдении. В частном случае статистическая закономерность проявляется в том, что при изменении одной величины изменяется среднее значение другой. Такой тип статистической зависимости называется корреляционной зависимостью.

Теория корреляции изучает зависимость признака от окружающих условий. Выделяют признаки-факторы и признаки-результаты. Случаи зависимости между ними приведены в табл. 9.1

При наличии корреляционной зависимости можно выявить тенденции, но нельзя точно установить значение результативного признака.

Если среднее значение результативного признака y зависит от одного факторного признака x, корреляция называется парной, а если от нескольких факторных признаков – множественной.

Изучение корреляционных связей сводится к решению следующих задач:

1.Выявление наличия или отсутствия корреляционной связи между изучаемыми признаками.

2.Измерение тесноты связи между признаками. Это исследова-

ние называется корреляционным анализом.

3.Определение уравнения регрессии, то есть функциональной зависимости среднего значения результативного признака от факторных признаков. Такое исследование называется регрессионным ана-

лизом.

Рассмотрим методы выявления корреляционной зависимости.

Метод группировки

Чтобы выявить наличие корреляционной зависимости между двумя признаками, проводится группировка единиц совокупности по факторному признаку x и для каждой группы вычисляется среднее значение результативного признака y . Если корреляционная связь

существует, то в изменении среднего значения y будет прослежи-

ваться закономерность.

Важное требование корреляционного анализа – достаточное число измерений.

105

Существуют различные статистические методы определения наличия корреляционной связи между двумя признаками.

Простейшим методом является сопоставление параллельных ря-

дов (ряда результативных и ряда факторных признаков).

Пример 1. Метод приведения параллельных данных рассмотрим по результатам деятельности 20 туристических фирм (табл. 9.2).

Исходные данные по признаку x располагаются в порядке возрастания или убывания, а по признаку y записываются соответствующие им показатели. Путем сопоставления значений x и y делается вывод о наличии и направлении зависимости. В случае двух рядов имеем, что x – признак-фактор, y – признак-результат.