Задача 5.1

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (табл. 5.4)

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний, необходимо выровнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев

согласия: Пирсона (χ2 ), Романовского и Колмогорова (λ).

Решение:

Для нахождения теоретических частот используем формулу

основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начинаем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты: x = 161,4; σ = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

1)находим отклонения отдельных вариантов от средней (гр. 4

табл. 5.4);

2)делим каждое отклонение на σ, т.е. находим нормированные отклонения:

t = x σ− x (гр. 5);

63

3)зная t (прил. 1), находим ϕ(t) (гр. 6);

4)рассчитываем постоянный множитель const = 2001310 =154;

5)умножая последовательно 154 на ϕ(t) и округляя результаты

до целых чисел, находим теоретические частоты (гр. 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты ( f ′) близки к эмпирическим ( f ) , хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

Расчет этого критерия рассмотрен в табл. 5.5.

Таблица 5.5

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости α = 0,05 и обратимся к таблице прил. 2.

По таблице значений χ2 (критерия Пирсона) для степеней свободы k = 5 и уровня значимости α = 0,05 определяем, что χ2 табл = 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение χ2 факт = 0,71, т.е.

меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, т.е. выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

2. Применим критерий Романовского:

64

χ2 −k = 0,71−5 =1,4 .

2k 10

Поскольку 1,4 < 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

3. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия

эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними (табл. 5.6).

= 0,2.

По таблицам P(λ) (прил. 8) находим, что для λ = 0,2 P = 1,000. Следовательно, вполне можно полагать, что расхождения между f и f ′ носят случайный характер и распределение является нормальным.

Задача 5.2

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановку станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Требуется: 1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона; 2) оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

65

Решение:

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5, получимвероятностичисланеисправностейот0 до5.

4.Умножив последние на 50 (общее число единиц наблюдения),

получим теоретические частоты числа неисправностей, т.е. f ′ = NPx.

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова:

а) критерий Пирсона: χ2 = ∑(f −f ′f ′)2 .

Все расчеты показаны в табл. 5.8.

66

0,89 < 9,49, то имеем все основания считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными, а следовательно, не опровергнутой гипотезу о том, что распределение числа неисправностей подчиняется закону Пуассона;

б) применим критерий Романовского: χ2 2−kk = 1−84 < 3.

Следовательно, расхождения случайны;

в) и наконец, по критерию Колмогорова, λ = DN . Данные пока-

заны в табл. 5.9.

Таблица 5.9

По таблице (прил. 8) находим P(λ ≈ 0,3) ≈1. Следует вывод о

случайности расхождений.

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.

Задача 5.3

Распределение населения РФ по размеру среднемесячного душевого денежного дохода в апреле 1993 г. характеризовалось данными, приведенными в табл. 5.10.

67

Определить: 1) общий среднемесячный душевой доход; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) исходя из гипотезы о нормальном распределении, рассчитать теоретические частоты в данном ряду;

4) с помощью критериев Пирсона (χ2 ) , Романовского и Колмогорова (λ) проверить, согласуется ли эмпирическое распределение с нор-

мальным распределением.

Ответ: 1) x = 13,465 тыс. р.; 2) σ = 5,74 тыс. р.; 3) f теор = (8,4; 30,2; 51,1; 40,6; 15,1; 2,6); 4) χ2 = 8,41; K Ром = 2,2; λ = 0,64.

Задача 5.4

Для контроля качества продукции у 200 рабочих, изготовляющих однотипную продукцию, проверено по 50 изделий у каждого

(табл. 5.11).

Таблица 5.11

Определить: 1) среднее количество бракованных изделий на одного рабочего; 2) теоретические частоты, исходя из гипотезы о распределении Пуассона; 3) случайны или нет расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, используя для этого критерии Пирсона, Романовского, Колмогорова.

Ответ: x = 0,635; e−0,635 = 0,5326; f теор = (106; 67; 21; 5; 1).

Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты. На практике обычно нельзя выполнить сплошное обследование всех объектов, когда, например, совокупность может содержать очень большое число объектов или обследование всей совокупности связано с их разрушением. В таком случае из всей совокупности случайным образом отбирают ограниченное число объектов для изучения.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой производится выборка. Выборочной совокупностью (вы-

68

боркой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Объемом совокупности называется число объектов в совокупности.

Например, если из 1000 деталей отобрано 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Повторная и бесповторная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после обследования объект можно возвращать или не возвращать в генеральную совокупность. Выборка называется повторной, если отобранный объект возвращается в генеральную совокупность и бесповторной, если не возвращается. Если объем генеральной совокупности велик, а выборка составляет лишь небольшую ее долю, то различие между повторной и бесповторной выборками становится незначительным.

Для того чтобы по выборке можно было с достаточной уверенностью судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, надо, чтобы объекты выборки правильно его представляли.

Это требование называется представительностью или репрезентативностью выборки.

Выборка будет представительной, если объекты отбираются случайным образом, так, что все они имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Способы отбора

Способы отбора объектов в выборку бывают двух видов:

1)отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, он называется простым случайным отбором. При этом объекты извлекаются из всей совокупности по одному. Простой случайный отбор может быть повторным и бесповторным;

2)отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части.

Разбиение на части можно выполнить несколькими методами: - при типическом отборе генеральная совокупность разбивает-

ся на типические части, и объекты отбираются не из всей совокупности, а из каждой ее типической части. Типический отбор используется, когда обследуемый признак заметно отличается в разных частях генеральной совокупности. Например, если детали изготавливаются на нескольких станках, то генеральная совокупность деталей разби-

69

вается на типические части, соответствующие разным станкам. Разновидностью типического отбора является районированная выборка, при которой отбор объектов производится из групп, представленных административно-территориальными образованиями;

-при механическом отборе генеральная совокупность разбивается на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы произвольно отбирается один объект;

-при серийном отборе объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному обследованию. Такой способ отбора широко применяется при определении качества продукции, когда для проведения контроля вскрывается упаковка, содержащая определенное количество изделий, и все они проверяются;

-при использовании нескольких типов отбора одновременно имеем комбинированный отбор.

В целом ряде случаев средние и относительные величины ка- кой-либо совокупности рассчитываются на основе данных выборочного наблюдения. Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные характеристики (средние или относительные показатели). Затем результаты выборочного обследования распространяются на всю генеральную совокупность. Основной задачей при этом является определение ошибок выборки. Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки (μ) характеризует среднюю величину

возможных расхождений выборочной и генеральной средней (или доли).

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

μ = σn2 ,

где σ2 – дисперсия изучаемого показателя в генеральной совокупности, а n – численность (объем) выборки.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

где w – выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком, а w(1 − w) – дисперсия доли (альтернативного признака).

70

При бесповторном отборе в формулах под знаком радикала по-

вокупности.

Предельная ошибка выборки, обозначаемая через , рассчитывается по формуле

= tμ,

где μ – средняя ошибка выборки, t – коэффициент доверия (показа-

тель, определяющий размер ошибки в зависимости от того, с какой вероятностью она находится).

Значения t и P (вероятность допуска той или иной ошибки) даны в специальных таблицах (прил. 3), где P рассматривается как функция t и рассчитывается по формуле

Формулы предельной ошибки несколько конкретизируются и в зависимости от применяемого вида выборки. Например, указанные выше формулы применимы для собственно случайной и механической выборок. Для типической (районированной) выборки, т.е. когда генеральная совокупность делится на группы по какому-либо существенному признаку, а затем из каждой группы производится случайный отбор и общая средняя величина признака (или доля) определяется по групповым выборочным показателям, в формуле предельной ошиб-

ки выборки учитывается средняя изгрупповых дисперсий ( σ2 ), т.е.

71

В этом случае ошибка выборки зависит от внутригрупповой вариации.

При серийной (гнездовой) выборке, когда из генеральной совокупности, разбитой на определенные равновеликие серии (гнезда), случайно отбираются серии, внутри которых проводится сплошное наблюдение, величина ошибки выборки зависит не от числа обследованных единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины

новном проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет следующий вид:

=t δs2 1− Ss ,

где δ2 – межсерийная дисперсия; s – число отобранных серий;

S – число серий в генеральной совокупности.

Все рассмотренные выше формулы используются при так называемой большой выборке. Если n < 20, то выборка именуется малой и при расчете ошибок выборки необходимо учитывать следующие моменты. Во-первых, в формуле средней ошибки в знаменателе применяется n – 1, т.е.

И во-вторых, при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки либо определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности пользуются таблицами вероятности Стьюдента, где P = S (t, n) определяется в зависимости от объема выборки и t (прил. 4).

В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. И на основании сравнения двух выборочных средних (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождений. Для этого абсолютная разность показателей ~x1 − ~x2

сопоставляется со средней ошибкой разности μразн = μ12 +μ22 = t.

Если при n > 20 результаты этого вычисления t < 3, то делается вывод о случайности расхождений. Если же объем выборки мал, т.е. n ≤ 20, то полученное значение t (фактическое) сравнивают с табличным, определяемым по таблицам t-распределения Стьюдента при

72

заданном числе степеней свободы и уровне значимости (число степеней свободы при этом определяется как n1 + n2 −2).

Интервальное оценивание

Пусть в результате наблюдений получена выборочная совокупность x1, x2 ,..., xn. Затем по этим данным рассчитывается ~θn – харак-

теристика выборочной совокупности. Требования к ~θn :

1) несмещенность – ~n =

;

Q

MQ

2)состоятельность – lim P( Qn −Q < ε при n → ∞) = 1;

3)эффективность – минимальная дисперсия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Доверительным интервалом называют интер-

~(1) ~(2) , который с вероятностью γ накрывает значение θ, вал (Qn ,Qn )

при этом γ называется доверительной вероятностью.

Довольно часто интервал делают симметричным (θ − ,θ + ) ,

где – наибольшее по модулю отклонение соответствующей характеристики выборочной совокупности от характеристики генеральной совокупности.

Существует два способа задания доверительных интервалов:

1)n – достаточно велико. В этом случае используется теорема из теории вероятности, называемая законом больших чисел;

2)n – мало. В этом случае определяются точные законы распределения.

ТЕОРЕМА. Для достаточно большой выборки (n > 30) для генерального среднего и генеральной доли справедливы выражения:

ные величины с одинаковым законом распределения, конечным математическим ожиданием и дисперсией.

73

Воспользуемся центральной предельной теоремой (теоремой Ляпунова). Обозначим Y = xn1 + xn2 +... + xnn .

При n →∞ Y → нормальному распределению.

ности объем бесповторной выборки меньше объема повторной.

Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке

(n ≤ 30) и невозможно использовать центральную предельную теорему Ляпунова.

ТЕОРЕМА. Если X – случайная нормально распределенная величина с параметрами N (x0 , σ2 ) , то

n

∑ xi

X В = i=1 , n

где x1, x2 ,..., xn – выборка из генеральной совокупности для конечного

n имеет нормальное распределение с характеристиками N (x0 , σ2 ) . n

Доказательство. В теории вероятности рассматривали случайную величину z = x + y. Если x и y имеют нормальное распределение, то z также имеет нормальное распределение.

74

имеет t-распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы.

75

Для t-распределения справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА МАЛОЙ ВЫБОРКИ (без доказательства)

n −1 ≤ tγ,n−1) = γ = θ(t, n −1) ,

≤ tγ, n − 1 S ) = γ ,

n −1

≤ Mв) = γ = θ(γ, n −1) ,

,n−1 S .

n −1

Пример 1. Для определения срока службы большой партии ламп было отобрано 17 ламп. В среднем они горели 980 часов ( X ), S = 18. Определить вероятность того, что средний срок службы ламп во всей совокупности отличается от среднего значения выборки по абсолютной величине не более, чем на 8 часов.

Решение:

Абсолютная ошибка Mв = 8.

= 16 – число степеней свободы.

Тогда p( X в − X 0 ≤ 8) = 0,906 (прил. 4), т. е. можно утверждать с

вероятностью, равной 0,906, что средний срок годности ламп по всей совокупности равен 980 часам.

Знание предшествующих формул позволяет строить довери-

γ = 0,906 X 0 (972, 988).

Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 находится ге-

вероятностью γ = 0,95.

Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии

Пусть x1, x2 , ..., xN – генеральная совокупность. Проведем повторную выборку, результатом которой будут значения x1, x2 ,..., xn .

76

Она имеет нормальное распределение. Найдем ее математическое ожидание: