§ 114. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой е: .

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше 1.

Формулы теперь можно переписать так:

(1)

и (2)

Эти четыре формулы можно объединить: (3)

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстоянии , называются директрисами гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением ,

то уравнение директрис имеют вид

и .

Так как эксцентриситет гиперболы больше 1, то директрисы гиперболы отстоят от ее центра на расстоянии, меньшем действительной полуоси (рис. 169). Фокус и директриса гиперболы, расположенные по одну сторону от мнимой оси, называются соответствующими друг другу. Таким образом, фокусу соответствует директриса , а фокусу - директриса .

Рис. 169

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса гиперболы к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство необходимости. Рассмотрим, например, фокус и соответствующую ему директрису .

Расстояние от точки М(х, у) гиперболы до фокуса равно ,

а расстояние от той же точки М(х, у) до директрисы равно .

Отсюда .

Аналогично доказывается, что ,

где - есть расстояние от точки М(х, у) гиперболы до ее фокуса , а - расстояние от той же точки М до директрисы , соответствующей фокусу , а - расстояние от той же точки М до директрисы , соответствующей фокусу .

(Доказательство достаточности такое же, как и для эллипса).

Расстояние от фокуса до директрисы гиперболы равно ,

а эксцентриситет

отсюда

Если задана произвольная точка прямая не проходящая через точку и число , то существует, и притом только одна гипербола, эксцентриситет которой равен е, - фокус, а - соответствующая директриса.

Центр О этой гиперболы отстоит от точки на расстоянии

причем точки О и расположены по разные стороны от прямой (рис.170), а большая полуось этой гиперболы равна

Рис. 170

Доказанная теорема и последнее утверждение позволяют дать гиперболе другое определение, эквивалентное принятому выше: гипербола есть геометрическое место точек, для каждой из которых отношение расстояния от данной точки к расстоянию до данной прямой , не проходящей через точку , равно данному числу .

§ 115. Параметрические уравнения гиперболы

Перепишем уравнение гиперболы:

в виде

Отсюда видно, что

Положим

тогда и

следовательно, (1)

§ 116. Сопряженные гиперболы

Две гиперболы, заданные уравнениями

и

в одной и той же декартовой прямоугольной системе координат с одними и теми же значениями полуосей а и b, называются сопряженными (рис. 172).

Выше доказано, что всякая гипербола

может быть выражена параметрическими уравнениями ;

параметрические уравнения гиперболы, сопряженной с данной, будут

.

Рис. 172