§ 148. Уравнение линии второго порядка, отнесённой к двум её сопряжённым диаметрам; уравнение линии второго порядка, отнесённой к касательной и сопряжённому к ней диаметру.

Теорема 3. Пусть относительно ОДСК линия вто-рого порядка задана общим уравнением (1). Для того, чтобы одна из осей имела направление, сопряженного хордам, параллельным другой оси, необходимо и достаточно, чтобы , т.е. чтобы уравнение (1) имело вид:

Доказательство. Пусть, например, ось не имеет асимптотического направления. Тогда координаты вектора, параллельного диаметру, сопряжённому хордам, параллельным оси , будут ; (поскольку, как известно: ; ). Но вектор коллинеарен оси тогда и только тогда, когда . ЧТД.

Теорема 4. Пусть относительно ОДСК линия вто-рого порядка задана общим уравнением (1) и пусть она имеет единственный центр. Тогда, если оси координат являются сопряжёнными диаметрам этой линии, а начало координат – её центром, то уравнение линии имеет вид: где

и . Обратно, если уравнение линии, имеющей единственный центр, имеет относительно ОДСК уравнение где и , то начало координат является центром линии, а оси координат её сопряжёнными диаметрами.

Доказательство. Если оси координат являются сопряженными диаметрами линии (1), то (теорема 3 этого параграфа). А так как начало координат является центром линии, то в её уравнении должны отсутствовать слагаемые с и в первых степенях.

Обратно, если уравнение линии второго порядка, заданное относительно ОДСК, имеет вид: то начало координат являет-ся центром линии (что известно из теоремы 1, § 144).

Далее, линия имеет единственный центр, значит откуда и ;

Наконец, так как в уравнении

коэффициент при равен нулю, то оси координат являются сопряжёнными диаметрами этой линии (теорема 3 настоящей лекции, достаточность). ЧТД.

Теорема 5(1). Если ОДСК по отношению к эллипсу расположена так, что:

А) Оси координат являются сопряжёнными диаметрами эллипса;

Б) Единичной точкой оси является любая точка пересечения одного из диаметров с эллипсом;

В) Единичной точкой оси является любая точка пересечения другого диаметра с эллипсом, то уравнение эллипса будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК дано уравнение , то это уравнение эллипса, а система координат по отношению к нему обладает свойствами А), Б), В).

Теорема 5(2). Если ОДСК по отношению к гипер-боле расположена так, что:

Г) Оси координат являются сопряжёнными диаметрами гиперболы;

Д) Единичной точкой Е системы координат является точка пересечения любой из асимптот гиперболы с касательной в любой из точек пересечения одного из этих диаметров с гиперболой, то уравнение гиперболы будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК задано уравнение , то это уравнение гиперболы, а система координат по отношению к ней обладает свойствами Г), Д).

Теорема 5(3). Если ОДСК по отношению к пара-боле расположена так, что:

Е) Осью является касательная к параболе в любой точке , лежащей на этой параболе;

Ж) Осью является диаметром параболы, проходящий через точку ;

З) Единичная точка Е системы координат лежит на параболе, то уравнение параболы будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК задано уравнение , то это уравнение параболы, а система координат по отношению к ней обладает свойствами Е), Ж),З).

Доказательство 5(1). Так как оси координат являются сопряжёнными диаметрами эллипса, то его уравнение имеет вид (теорема 1 сегодняшней лекции). Так как точки и принадлежат эллипсу, то, подставляя их координаты в уравнение , получим выражения: , и последнее уравнение примет вид: или .

Обратно, линия имеет единственный центр (т.к. ). Далее, на основании теоремы 4 для линии, заданной уравнением оси координат являются сопряжёнными диаметрами линии (т.к. нет слагаемого с ) и оси координат пересекают линию в 4 точках: , . Но этим свойством по отношению к сопряжённым диаметрам обладает только эллипс. Утверждение 5(1) доказано.

Доказательство 5(2). Так как оси координат являются сопряжёнными диаметрами гиперболы, то её уравнение имеет вид: . Точка должна лежать на этой гиперболе, а точка на одной из её асимптот . Значит ; и уравнение гиперболы принимает вид: , или .

Обратно, линия имеет единственный центр, а на основании теоремы 4, оси координат являются её сопряжёнными диаметрами. Один из этих диаметров (ось ) пересекает линию в двух точках , а другой (ось ) её не пересекает. Этим свойством по отношению к сопряжённым диаметрам обладает только гипербола. Далее, точка лежит на гиперболе , а точка - на её асимптоте . Утверждение 5(2) доказано.

Доказательство 5(3). Диаметр параболы имеет направление, сопряжённое по отношению касательной к параболе в той точке, в которой он пересекает эту параболу, поэтому в общем уравнении параболы должно быть . Так как, кроме того, начало координат лежит на параболе, то . Значит, уравнение параболы имеет вид: .

Уравнение касательной к этой параболе согласно формулы: имеет вид: (Это потому, что начало координат , а, т.к. касательная в начале координат является осью , то это уравнение эквивалентно уравнению , значит , ; и последнее уравнение принимает вид:. , где . Здесь, также , так как в противном случае уравнение определяло бы две прямые: и . Если бы ещё было , то линия имела бы центр (притом единственный), а парабола центра не имеет. Значит и уравнение параболы принимает вид: . Далее, так как единичная точка лежит на этой параболе, то . Отсюда и последнее уравнение принимает вид: , или .

Обратно. Все диаметры линии параллельны оси . В самом деле, координаты векторов, имеющих асимптотическое относительно линии , определяются из уравнения , т.е. ось имеет асимптотическое направление.

Пусть , - любой вектор, не имеющий асимптотического направления относительно линии . Уравнение диаметра ему сопряжённого (согласно формуле для диаметра линии второго порядка , а в нашем случае , , , , , ), примет вид: , или , т.е. все диаметры линии оказались

параллельными между собой, а этим свойством обладает только парабола. Далее, уравнение касательной к линии в точке имеет вид - это ось .

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам, параллельным вектору , имеет вид - это ось . Наконец, единичная точка , очевидно, лежит на линии . Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Если неособую точку линии второго порядка принять за начало координат, за ось - диаметр, проходящий через эту точку, а за ось - касательную к линии второго порядка в этой точке, то уравнение линии примет вид: , где ; . И обратно, всякое такое уравнение в случае , является уравнением линии второго порядка, по отношению к которой система координат обладает сформулированными выше свойствами.

Доказательство. Так как касательная к линии второго порядка в её неособой точке имеет направление, которому сопряжён диаметр, проходящий через эту точку, то в общем уравнении линии коэффициент при будет равен нулю. Далее, т.к. линия проходит через начало координат, то .

Затем, поскольку уравнение линии имеет вид: , то уравнение касательной к этой линии в начале координат будет выглядеть следующим образом: и, так как оно должно быть эквивалентно уравнению оси , то , , и последнее уравнение примет вид: .

Обратно, если , то начало координат - неособая точка линии. Уравнение касательной к этой линии в точке имеет вид: - ось . Диаметр, сопряжённый хордам, параллельным вектору (не имеющему асимптотического направления в силу ), имеет уравнение - ось . ЧТД

Теперь, давайте вместо одной линии второго порядка, заданной общим уравнением (1)

то есть уравнением (где через обозначена левая часть уравнения (1)), рассмотрим семейство линий , где - принимает все действительные значения.

Если уравнение есть уравнение или действительного эллипса, или мнимого эллипса, или уравнение двух мнимых пересекающихся прямых, то в семейство включаются все эллипсы с общим центром (т.к. координаты центра определяются из системы: т.е. из системы уравнений не содержащих свободного члена уравнения линии второго порядка (1)) и гомотетичные друг другу, причём центром гомотетии является их общий центр. В самом деле, после переноса начала координат в центр линии получим вместо уравнения уравнение: , а вместо уравнения - получим уравнение: . Теперь, если и , то одно из этих уравнений переходит в другое заменой и на и (при подходящем выборе . На рис. 219 изображено семейство действительных эллипсов, входящих в семейство линий второго порядка эллиптического типа.

Рис. 219.

Если линия гиперболического типа, то семейство будет состоять из всех соасимптотических гипербол, при этом гиперболы, лежащие в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их общими асимптотами, гомотетичны друг другу относительно центра (См. рис. 220)

Если линия - уравнение параболы, то есть уравнения парабол, полученных параллельным переносом (См. рис. 221)

19