Копытин Стат Физ 1
.pdfМинистерство образования Российской федерации
Воронежский государственный университет
Учебно методическое пособие по курсу ¾Термодинамика и статистическая физика¿
Часть I.
Теория вероятностей, термодинамика, классическая статистическая физика
Рекомендовано Учебно-Методическим Объединением университетов Российской Федерации в качестве учебного пособия
Воронеж 2003
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 13 февраля 2003 г.
Составители: Копытин И.В., Алмалиев А.Н., Чуракова Т.А.
Пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов специальностей 010400 (физика), 013800 (радиофизика и электроника), 014100 (микроэлектроника и полупроводниковые приборы) 4 курса дневной формы обучения
3
Оглавление
1.Основные сведения из теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.Термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.Механическое и статистическое описание макросистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.Микроканоническое распределение . . . . . . . . . . . . . . 35
5.Каноническое распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . 40
6.Большое каноническое распределение . . . . . . . . . . . . . 50 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4
Предисловие
Раздел "Термодинамика и статистическая физика"в общем курсе "Теоретическая физика", читаемом на физическом факультете университетов, является завершающим и традиционно считается одним из самых трудных. И то, и другое не случайно: термодинамика и статистическая физика не имеют четко ограниченной области изучаемых явлений, как это имеет место в классической или квантовой механике, электродинамике, оптике и др. Это есть методы изучения любых систем, как равновесных, так и неравновесных, но обязательно макроскопических, с большим числом частиц. Явления же в них при этом могут рассматриваться самые разноообразные, относящиеся к различным разделам физики как классической, так и квантовой. Поэтому и задачи методами термодинамики и статистической физики приходится решать разные: и по механике, и по электродинамике, и по оптике. Естественно, все это требует хорошего знания физики и умения применять те или иные физические законы к конкретным задачам.
Данные методические указания к решению задач по курсу "Термодинамика и статистическая физика"относятся к его первой части, посвященной изучению свойств классических равновесных систем и процессов в них. Каждый раздел указаний предваряется введением, в котором приводятся основные теоретические положения и даются ключевые формулы, необходимые при решении задач. Кроме того, некоторые полезные формулы, часто использующиеся в различных разделах, вынесены в приложение. Поскольку, в первую очередь, эти указания предназначе- ны для самостоятельной работы, в каждой теме проводится подробный разбор нескольких типовых задач. Остальные задачи предназначены для решения самостоятельно или под контролем преподавателя в аудитории. Большинство предлагаемых заданий иллюстрируют теоретические методы термодинамики и статистической физики, но некоторые могут представлять и самостоятельный интерес.
Авторы надеются, что студенты, полностью проработавшие даное по-
5
собие, будут обладать необходимым минимумом знаний методов класси- ческой статистической физики и термодинамики.
Ниже приведены некоторые физические постоянные, знание которых полезно при решении задач.
В системе единиц СИ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
масса электрона |
|
|
|
m = 9; 11 |
¢ |
10¡31 êã, |
||||
масса протона |
|
|
|
|
e |
|
|
|
êã, |
|
|
|
|
mp = 1; 67 ¢ 10¡27 |
|
||||||
постоянная Планка |
|
|
|
~ |
= h=2¼ = 1; 055 |
10¡34 Äæ ñ, |
||||
число Авогадро |
|
|
|
|
|
|
23 молекул/моль,¢ ¢ |
|||
|
|
|
N0 = 6; 02 ¢ 10 |
Äæ/ãðàä, |
||||||
постоянная Больцмана |
|
|
|
k = 1; 38 ¢ 10¡23 |
|
|
||||
универсальная газовая постоянная |
R = kN0 = 8; 31 Äæ/(ìîëü¢ãðàä). |
|||||||||
Во внесистемных единицах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
масса электрона |
me = 0; 511 ÌýÂ, |
|
|
|
|
|||||
масса протона |
mp = 938 ÌýÂ, |
|
|
|
|
|
||||
постоянная Планка |
~ |
= 6; 58 |
¢ |
10¡22 |
ÌýÂ ñ, |
|
|
|
||
постоянная Больцмана |
|
|
|
ÌýÂ/ãðàä.¢ |
|
|
||||
k = 8; 62 ¢ 10¡11 |
|
|
|
|
|
1.Основные сведения из теории вероятностей
Определение вероятности
Если какое-то событие происходит n раз из полного числа испытаний N, то вероятность определяется как предел отношения числа благоприятных событий n к полному числу событий (некоторой однородной
группы испытаний) N при условии, что число испытаний в этой группе стремится к бесконечности, то есть
W = lim |
n |
: |
(1.1) |
|
|||
N!1 N |
|
|
В физике случайная величина часто изменяется с течением време- |
||
ни. Тогда, например, вероятность некоторого состояния системы можно |
||
записать в виде: |
t; |
|
W = lim |
(1.2) |
|
T !1 |
T |
|
6
ãäå t время пребывания системы в данном состоянии, а T полное время наблюдения. Если случайная величина x меняется непрерывно, то вероятность dW(x) того, что случайная величина может принимать значения от x äî x+dx; зависит, во-первых, от самого значения x, то есть является некоторой функцией f(x), а, во-вторых, пропорциональна ширине интервала значений dx, òî åñòü
dW(x) = f(x)dx: |
(1.3) |
Совокупность всех значений вероятностей данной случайной величи- ны образует распределение этой случайной величины, которое определяется функцией f(x). Эта функция представляет собой плотность вероят-
ности и часто также называется функцией распределения вероятности. Из определения вероятности следует, что
0 6 W 6 1: |
(1.4) |
Событие, вероятность которого равна единице, называется достоверным.
Очень часто приходится по вероятностям отдельных событий определять вероятности более сложных событий. Для этого существуют две общие теоремы теории вероятностей теорема сложения и теорема умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Пусть сложное событие заключается в наступлении либо события A,
либо события B, которые, в свою очередь, являются несовместимыми
событиями. Тогда вероятность сложного события выразится как сумма вероятностей отдельных событий:
W(A ëèáî B) = W (A) + W (B): |
(1.5) |
В случае непрерывной функции распределения, ет вероятность того, что случайная величина будет интервале [x1; x1+dx1]; либо в интервале [x2; x2 + dx2
если нас интересунаходиться либо в ]; будем иметь:
dW(x1; ëèáî x2) = dW (x1) + dW (x2) = f(x1)dx1 + f(x2)dx2: (1.6)
Эта теорема, очевидно, может быть обобщена на любое число несовместимых событий.
7
Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает одно из значений в интервале от x1 äî x2, по теореме сложения вероят-
ностей определяется как
W (x1; x2) = Zx2 dW (x) = |
Zx2 f(x)dx: |
(1.7) |
x1 |
x1 |
|
Очевидно, что вероятность найти случайную величину во всем интер- |
|
вале е¼ возможных значений представляет достоверное событие. Поэтому |
|
Z dW (x) = Z f(x)dx = 1: |
(1.8) |
Интегрирование ведется по всей области изменения переменной x.
Это равенство называется условием нормировки функции распределения.
Оно и используется для нахождения произвольной константы, входящей в функцию распределения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей
Иногда некоторое событие может произойти только при условии, что |
|
произойдет другое событие. Вероятность такого сложного события в этом |
|
случае называется условной вероятностью. Условная вероятность собы- |
|
òèÿ A при условии выпадения события B определяется по формуле |
|
W(A при условии B) = W (A) ¢ W (B): |
(1.9) |
Точно так же вероятность сложного события, заключающегося в том, что одновременно имеют место два независимых события A è B, опреде-
ляется через произведение вероятностей W (A) è W (B) отдельных независимых событий A è B по формуле
W(A è B) = W (A) ¢ W (B): |
(1.10) |
В случае непрерывных независимых величин x è y вероятность сложного события, заключающегося в том, что случайная величина x принимает значение в интервале от x äî x+dx и одновременно случайная вели-
÷èíà y значение в интервале от y äî y+dy, определяется призведением вероятностей
dW(x; y) = dW (x)dW (y) = f(x)f(y)dxdy: |
(1.11) |
8
Среднее значение некоторой функции F (x) от дискретной случайной величины xi определяется следующим образом:
X
|
|
|
|
|
(1.12) |
||
|
|
|
F =< F >= F (xi)Wi; |
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
для непрерывной случайной величины x: |
|
|
|||||
|
|
=< F >= XZ |
F (x)dW (x) = XZ |
|
(1.13) |
||
|
F |
F (x)f(x)dx: |
Для оценки масштаба возможного отличия случайной величины от своего среднего значения используется так называемое среднее квадратичное отклонение , или средний квадрат отклонения (дисперсия слу- чайной величины). Дисперсия оределяется по формулам:
X
x2 = (xi ¡ x)2Wi (для дискретной случайной величины), (1.14)
i
Z
x2 = (x ¡ x)2f(x)dx (для непрерывной случайной величины).
(1.15) Таким образом, зная закон распределения случайной величины, можно определить все интересующие нас е¼ характеристики. Поэтому одной из основных задач статистической физики является отыскание законов и функций распределения тех или иных физических случайных
величин в различных физических системах.
Пример 1
Идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в сосуде с объемом V . Определить вероятность того, что в заданном объеме v (v << V ) будет содержаться в данный момент точно n молекул. Рассмотреть пре-
дельные случаи:
a) n << N; N ! 1;
á) n >> 1; n = n ¡ n << n:
Решение:
Вероятность того, что в объеме v находится одна молекула, равна
P1(v) = v=V: Вероятность найти n молекул в объеме v одновременно будет Pn(v) = (v=V )n: Необходимо учесть также, что остальные N ¡ n ìîëå-
кул будут вне указанного объема. Тогда Pn(v) » (v=V )n(1 ¡ v=V )N¡n. Учитывая, что в объеме v могут быть обнаружены любые из N молекул, необходимо Pn(v) увеличить в CNn = N!=(n!(N ¡ n)!) раз, равному числу
9
способов, которыми можно выбрать n произвольных молекул из общего числа N. Окончательно получаем:
Pn(v) = CNn |
³V |
´ |
|
³1 ¡ V ´ |
|
¡ |
: |
||
|
|
v |
|
n |
|
v |
N |
|
n |
Рассмотрим теперь предельные случаи.
а) Введем n¯ = N(v=V ). Тогда величину Pn(v) можно записать в виде:
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
³ |
n¯ |
´ |
n |
³1 ¡ |
n¯ |
´ |
N |
¡ |
n |
|
|
|
|
||||||||
|
P (n) = |
! |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
n!(N ¡ n)! |
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
N |
N |
¡ 1) |
: : : |
N |
¡ |
n |
|
|
|
³ |
n¯ |
´ |
n |
³1 ¡ |
n¯ |
´ |
N |
¡ |
n |
||||||||||
= |
( |
|
( |
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
Принимая во внимание малость n по сравнению с N и переходя к пределу N ! 1; получим:
|
N!1 n! |
³N ´ |
|
³1 ¡ N ´ |
= |
|||||||||
P (n) = lim |
Nn |
|
n¯ |
n |
|
|
|
n¯ |
N¡n |
|||||
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
||||
= n! |
N!1 ³1 ¡ N |
= n! |
|
|||||||||||
|
(¯n)n |
lim |
|
|
n¯ |
|
N |
|
(¯n)n |
e¡n¯: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это распределение Пуассона .
б) Учитывая n >> 1 и принимая во внимание формулу Стирлинга: ln n! ¼ n ln n ¡ n, получим:
ln P (n) = n ln n¯ ¡ n¯ ¡ ln n! = n ln n¯ ¡ n¯ + n ¡ n ln n =
= ¡n ln n¯ + n = ¡(Δn + n¯) ln µ1 + |
n¯ ¶ |
+ n: |
|
|
n |
n |
|
Так как по условию задачи n=n¯ << 1, то логарифм можно разложить в ряд, что приведет к следующему результату:
ln P (n) = ¡(Δn + n¯) |
µ n¯ ¡ |
2¯n2 |
¶ + n = ¡ 2¯n : |
||
|
|
n |
(Δn)2 |
|
n2 |
Отсюда: |
µ¡ |
2¯n |
¶ |
|
|||
|
P (n) = C exp |
(n ¡ n¯)2 |
: |
|
|
10
Теперь, нормируя эту вероятность условием:
Z1
P (n)dn = 1;
¡1
находим, что
1 |
|
1 |
e¡ |
(n¡n)2 |
||||
C = |
p |
|
è |
P (n) = |
p |
|
2n : |
|
2¼n |
2¼n |
Полученное выражение называется распределением Гаусса.
Задачи для самостоятельного решения
1-1. Рассмотреть следующие распределения: а) равномерное распределение:
C; |
a 6 x 6 b; |
W (x) = (0; |
x < a; x > b: |
б) экспоненциальное распределение:
W (x) = Ce¡®x; x > 0;
в) распределение Гаусса:
W (x) = Ce¡®x2 ; ¡1 < x < 1:
Найти нормировочную константу C и вычислить x; |
x2 |
: |
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + b)=2; x2 = (a2 + ab + b2)=3; |
|
|||||||
à) C = 1=(b ¡ a); x = |
|
|||||||||
|
2 |
|
||||||||
á) C = ®; |
x = 1=®; |
x2 = 2=® ; |
|
|||||||
â) C = |
|
|
|
|
|
|||||
®=¼; x = 0; |
|
x2 = 1=2®: |
|
|||||||
1-2. Система характеризуется распределением вероятности |
|
|||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw(x; y) = |
C x y dx dy, ãäå 0 6 x 6 a è 0 6 y 6 b. Нормировать распределение,
найти вероятность того, что x лежит в интервале от x äî x + dx è âû- |
|||||
числить y: |
|
|
|
|
|
Ответ: |
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
C = a2b2 |
; |
dw(x) = x2 xdx; |
y = |
3b: |
1-3. Система характеризуется распределением:
dw(x; y) = Ce¡®(x2+y2) dx dy; ® > 0: