![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Копытин Стат Физ 1
.pdf![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP11x1.jpg)
11
Ñчитая, что областями изменения x è y являются [¡1; 1]; определить
x2:
Ответ: x2 = 1=2 ®:
1-4. Получить выражение для вероятности найти гармонически колеблющуюся точку в определенном интервале dx на линии колебания между
крайними значениями A è ¡A.
1-5. Доказать, что для случайной величины x вероятность события, при котором x > a, удовлетворяет неравенству:
w(x > a) 6 x2 : a2
Рекомендуемая литература: [3, гл.1,Ÿ2], [7, ч.3,гл.1,Ÿ2], [6, гл.2,ŸŸ1 6].
2. Термодинамика
Термодинамика является наукой феноменологической, то есть исходящей из опыта, при этом она позволяет установить многие из свойств макроскопических тел, не прибегая к представлениям об их атомно молекулярном строении. Поэтому выводы термодинамики будут универсальны и справедливы для произвольных систем. Основанные на практическом опыте представления об особенностях термодинами- ческого равновесия систем принимаются в термодинамике в качестве постулатов, опираясь на которые изучают как свойства равновесных систем, так и закономерности их приближения к состоянию равновесия.
Постулаты термодинамики
1. Постулат существования состояния термодинамического равновесия
Изолированная макроскопическая система с течением времени приходит в состояние термодинамического равновесия и никогда самостоятельно выйти из него не может.
Основанием для принятия этого постулата является тот факт, что самопроизвольные отклонения макроскопической системы от состояния равновесия тем меньше, чем больше частиц в системе. Так как число ча- стиц в макросистемах велико, такими отклонениями (их называют флуктуациями ) в термодинамике пренебрегают.
2. Постулат существования температуры
12
Все равновесные внутренние параметры являются функциями внешних параметров и температуры. Температура, таким образом, является термодинамически равновесным параметром, так как существует только у термодинамически равновесных систем, притом у таких, части которых не взаимодействуют друг с другом (то есть энергия взаимодействия частей много меньше их внутренней энергии). Последнее позволяет счи- тать энергию термодинамических систем аддитивной величиной.
3. Первое начало термодинамики
В н¼м отражен закон сохранения энергии в тепловых процессах :
±Q = dU + ±W; |
(2.1) |
ãäå ±Q количество тепла, сообщенное системе, dU изменение внутренней энергии системы, ±W работа, совершенная системой.
Первое начало термодинамики устанавливает, что внутренняя энергия системы является однозначной функцией е¼ состояния и изменяется только под влиянием внешних воздействий.
В отличие от U, величины W è Q не являются функциями состоя-
ния системы (их дифференциалы не полные), а характеризуют процесс, |
||
происходящий в системе. |
|
|
В общем случае при изменении n внешних параметров работа системы |
||
равна: |
n |
|
|
|
|
|
Xi |
(2.2) |
±W = |
Aidai; |
|
|
=1 |
|
ãäå Ai сопряженная внешнему параметру ai обобщенная сила, явля- ющаяся при равновесии функцией внешних параметров ai и температу- ðû T .
Поскольку состояние системы определяется внешними параметрами |
||||||
ai и температурой T , то (2.1) с учетом (2.2) можно представить в виде: |
||||||
±Q = µ@T ¶a dT + |
i |
·µ@ai ¶T |
+ Ai¸dai: |
(2.3) |
||
|
@U |
X |
|
@U |
|
|
Как следует из (2.1), уравнение первого начала термодинамики позволяет определить внутренюю энергию U только с точностью до аддитивной
постоянной, зависящей от выбора начального состояния. 4. Второе начало термодинамики
Оно устанавливает существование у всякой равновесной системы другой однозначной функции состояния энтропии (S), которая, одна-
ко, в отличие от внутренней энергии не изменяется у изолированной
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP13x1.jpg)
13
системы при равновесных процессах и всегда возрастает при неравно- |
|
весных процессах. Второе начало определяет энтропию следующим об- |
|
разом: |
|
dS = ±Q: |
(2.4) |
T |
|
Это соотношение представляет собой математическую формулировку второго начала термодинамики для равновесных процессов. Интегральным уравнением для равновесных круговых процессов является равен-
ство Клаузиуса: |
I |
T = 0: |
(2.5) |
|
|
||||
|
|
±Q |
|
|
Для незамкнутых систем, произвольным образом обменивающихся энергией с окружающей средой, имеет место нервенство:
dS > |
±Q |
: |
(2.6) |
|
T |
||||
|
|
|
Комбинируя (2.6) и (2.1), можно написать для общего случая произ- |
||
вольных процессов в незамкнутых системах основное термодинамическое |
||
неравенство: |
T dS > dU + ±W; |
(2.7) |
|
где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенствак необратимым.
5. Третье начало термодинамики (постулат Нернста)
Оно устанавливает поведение энтропии при низких (T ! 0) темпе-
ратурах и гласит: по мере приближения температуры к 0 K энтропия
всякой равновесной системы при изотермических процессах перестает зависеть от каких-либо термодинамических параметров состояния и в пределе T = 0 принимает одну и ту же для всех систем универ-
сальную постоянную величину. Важным следствием из третьего начала является недостижимость нулевой температуры. По своему содержанию это положение эквивалентно третьему началу.
Методы термодинамики
Начала термодинамики являются основой для исследования физических явлений в макроскопических телах. Их применение осуществляется двумя способами: методом круговых процессов (циклов) и методом термодинамических потенциалов.
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP14x1.jpg)
14
1. Метод циклов
Метод циклов заключается в том, что для установления закономерно- |
|||
стей протекания того или иного процесса рассматривается подходящим |
|||
образом подобранный обратимый цикл и к этому циклу применяются |
|||
первое и второе начала термодинамики: |
T = 0: |
(2.8) |
|
I ±Q = W; |
I |
||
|
|
±Q |
|
С помощью этих уравнений удается найти искомую закономерность, если выбранный цикл позволяет вычислить необходимые величины, входящие в эти уравнения для всех элементов цикла. В большинстве случаев исследуемую систему мысленно заставляют совершать цикл Карно, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов. При этом используют первую теорему Карно о независимости коэффициента полезного действия ( КПД ) цикла от природы рабочего вещества. Поэтому полу- ченное с помощью уравнений (2.8) выражение для к.п.д. цикла в данной конкретной задаче приравнивают отношению (T1 ¡ T2)=T1 и из получен-
ного равенства определяют необходимую зависимость.
Циклические процесcы
|
|
|
|
|
|
Название |
Óð å |
Работа в |
Тепло, сообщен |
Тепло |
|
|
процесса |
ïðîö-ñà |
процессе |
ное в процессе |
емкость |
|
Èçî |
V = |
W = 0 |
Q = CV ¢ |
CV |
|
хорный |
const |
|
(T2 ¡ T1) |
|
|
Èçî |
P = |
W = P ¢ |
Q = CP ¢ |
CP |
|
барный |
const |
(V2 ¡ V1) |
(T2 ¡ T1) |
|
|
|
|
W = P T ¢ |
|
CT = +1 |
|
Изотер |
T = |
Q = W |
ïðè dV > 0; |
|
|
мический |
const |
ln(P1=P2) |
|
CT = ¡1 |
|
|
|
|
|
ïðè dV < 0 |
|
Адиаба |
±Q = 0 |
W = (P1V1¡ |
Q = 0 |
CW = 0 |
|
тический |
|
P2V2)=(° ¡ 1) |
|
|
|
° отношение |
удельных теплоемкостей CP =CV : |
|
Пример 2
Найти методом циклов зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры.
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP15x1.jpg)
15
Решение:
Заставим жидкую пленку совершать цикл Карно. Изобразим цикл на плоскости S; ¾ (S поверхность пленки, ¾ коэффициент поверхностного
натяжения).
На рисунке: 1 ! 2 изотермиче-
ское растяжение, требующее подвода тепла Q1: При адиабатном растяжении
(2 ! 3) температура понижается на dT;
поверхностное натяжение при этом увеличивается на d¾. Затем пленка изо-
термически сжимается (3 ! 4); îòäà-
вая тепло Q2 и адиабатно сжимается
до состояния 1. Работа W; совершен-
Q1 ¡ Q2 и отрицательна, так как производится над пленкой: W = ¡(S1 ¡ S2)d¾. По определению, КПД цикла ´ = W=Q = ¡((S2 ¡ S1)=Q1)d¾; а, так как пленка совершает цикл Карно, то ´ = (T ¡ (T ¡ dT ))=T = dT=T: Приравнивая эти два выражения, получаем
( |
S |
S |
2) |
d¾ |
|
dT |
|
µ |
d¾ |
¶S |
|
|
Q |
1 |
|
||
|
1 ¡ |
|
= |
|
; откуда |
|
= ¡ |
|
|
1 |
|
|
: |
||||
|
|
T |
|
|
T |
dT |
S2 |
|
S1 |
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
Здесь Q1=(S2¡S1) = ¡r теплота изотермического образования единицы поверхности пленки, поэтомуµd¾ ¶
dT S
Пример 3
Определить КПД теплового двигателя, работающего по циклу Отто (см. рисунок). Рабочее тело идеальный газ.
(1 2) адиабатическое сжатие, (2 3) изохорное нагревание, (3 4) адиабатическое расширение,(4 1) изохорное охлаждение.
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP16x1.jpg)
16
Решение:
На первом этапе рассчитаем работу на участках адиабаты:
1
A1 = ° ¡ 1(V2P3 ¡ V1P4) работа, совершаемая газом на участке (3-4),
1
A2 = ° ¡ 1(V1P1¡V2P2) работа, совершаемая над газом на участке (1-3),
° = CP =CV :
Теперь определим количество тепоты Q1; полученное системой при изохорном нагревании:
Q = CV (T3 ¡ T2) = ° R¡ 1(PR3V2 ¡ PR2V2 ) = ° ¡1 1(P3 ¡ P2)V2:
КПД теплового двигателя равен отношению полезной работы A1 + A2 ê полученной от нагревателя теплоте Q1 :
´ = |
A1 + A2 |
= |
V2(P3 ¡ P2) + V1(P1 ¡ P4) |
= 1 + |
V1(P1 ¡ P4) |
: |
|
|
|
V2(P3 ¡ P2) |
|||||
|
Q1 |
(P3 ¡ P2)V2 |
|
||||
Òàê êàê P3V2° = P4V1° |
è P2V2° = P1V1°; òî (P3 ¡ P2)V2° = (P4 ¡ P1)V1°: |
||||||
Следовательно |
|
|
|
|
´ = 1 ¡ " ¢ "¡° = 1 ¡ "°1¡1 : (" = V1=V2):
Задачи для самостоятельного решения
2-1. Определить КПД теплового двигателя, рабатающего по циклу Дизеля (см. рисунок).
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP17x1.jpg)
17
(1 2) адиабатическое сжатие, (3 4) адиабатическое расширение.
|
" = |
V1 |
; |
½ = |
V3 |
: |
|
||
|
V2 |
V2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
´ = 1 |
|
|
|
½° ¡ 1 |
|
: |
||
|
|
|
|
1) |
|||||
|
|
¡ °"°¡1(½ |
¡ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2-2. Определить КПД теплового двигателя, работающего по следующему циклу:
T1 максимальная температура, T2 минимальная температура, (3 ¡ 1)изотермическое расширение.
2-3. Показать, что для квазистатического адиабатического процесса, совершаемого идеальным газом, справедливо соотношение P V ° = const
(уравнение Пуассона), и определить работу при переходе газа из состояния (P1V1) â (P2V2), считая удельную теплоемкость постоянной (° =
CP =CV ):
2-4. Доказать, что изотерма не может дважды пересекать адиабату. 2-5. Рассмотреть цикл Карно и показать, что КПД определяется температурами нагревателя и холодильника.
2. Метод термодинамических потенциалов
Метод термодинамических потенциалов, или метод характеристических |
||
функций, развитый В.Гиббсом, исходит из основного уравнения термо- |
||
динамики: |
T dS = dU + XAi dai: |
(2.9) |
Это уравнение позволяет для системы в различных условиях ввести соответствующие функции состояния, называемые термодинамическими потенциалами. Дифференциалы этих функций состояния по определению должны быть полными. Тем самым хорошо известные в математике соотоношения между частными производными в термодинамике приобретают вид физических законов, далеко не всегда очевидных с точки зрения экспериментальной физики. Рассмотрим вначале простые системы
18
( когда переход из одного состояния в другое вызван изменением одной обобщенной координаты. Для простоты будем считать a = V; A = P ):
Полученные результаты легко обобщаются на случай произвольного числа обобщенных координат. Соотношение (2.9) принимает вид:
T dS = dU + P dV: |
(2.10) |
Это уравнение связывает пять величин: S; T; U; P è V: Для опреде-
ления состояния простой системы достаточно двух параметров. Таким образом, чтобы из пяти перечисленных величин оставить независимыми только две, к уравнению (2.10) необходимо добавить еще два уравнениякалорическое и термическое: первое определяет взаимозависимость параметров P; V è T; второе зависимость внутренней энергии U îò ïàðà-
метров V è T: Таким образом,
f(P; V; T ) = 0; U = U(V; T ):
(2.11) Обычно в качестве независимых переменных при описании свойств систем в отсутствии внешних полей и с неизменным числом частиц выбирают две из четырех величин P; V; T; S : à) S; V ; á)T; V ; â) S; P ; ã) T; P:
(x1; x2)
'(x1; x2); дифференциал которой полный и может быть преобразован к виду, не содержащему производной @'=@xi: Это и есть термодинамиче-
ский потенциал системы (или характеристическая функция ).
Основные термодинамические потенциалы.
à) U = U(S; V ) энергия системы как функция переменных S; V :
dU = T dS ¡ P dV: |
(2.12) |
||||
б) Свободная энергия F = U ¡ T S в переменных V; T : |
|
||||
dF = ¡S dT ¡ P dV: |
(2.13) |
||||
в) Энтальпия (тепловая функция) в переменных S; P : |
|
||||
I = U + P V; |
dI = T dS + V dP: |
(2.14) |
|||
г) Термодинамический потенциал Гиббса в переменных P; T : |
|
||||
Φ = F + P V; |
dΦ = ¡S dT + V dP: |
(2.15) |
|||
Из этих соотношений и определения полного дифференциала |
|
||||
@' |
@' |
|
|
||
d'(x1; x2) = µ |
|
¶x2 dx1 + µ |
|
¶x1 dx2 |
|
@x1 |
@x2 |
|
19
следует связь производных @'=@xi с термодинамическими параметрами системы:
|
|
@U |
|
|
@U |
|
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
@F |
|
||||||||
T = µ |
|
|
¶V |
; P = µ |
|
|
|
¶S |
; S = ¡ |
|
µ |
|
|
¶V |
; P = ¡ µ |
|
|
¶T : |
|||||||||
@S |
@V |
|
@T |
@V |
|||||||||||||||||||||||
|
@I |
|
@I |
|
|
|
|
|
@Φ |
|
|
|
|
@Φ |
|
|
|
(2.16) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
T = µ |
|
¶P ; |
V = µ |
|
¶S ; |
T = ¡ µ |
|
|
|
¶P |
; |
V = µ |
|
¶T : |
(2.17) |
||||||||||||
@S |
@P |
@T |
@P |
||||||||||||||||||||||||
Из равенства смешанных производных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@2' |
= |
@2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x1@x2 |
@x2@x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и формул (2.16 2.17) вытекают так называемые соотношения Максвел-
ëà: |
µ@V |
¶S |
= ¡ |
µ@S ¶V ; |
|
µ@V ¶T = |
µ@T ¶V ; |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
@T |
|
|
|
|
@P |
|
|
|
@S |
|
|
@P |
|
|
|
µ@P ¶S |
= |
µ@S ¶P ; |
µ@P ¶T = ¡ |
µ@T ¶P : |
(2.18) |
||||||||||
|
|
@T |
|
|
|
@V |
|
@S |
|
@V |
|
Использование соотношений (2.12 2.18) для расчетов характеристик си- |
||||||||
стемы и составляет содержание метода термодинамических потенциалов. |
||||||||
Все термодинамические потенциалы являются, во-первых, аддитив- |
||||||||
ными и однозначными функциями состояния и, во-вторых, их убыль при |
||||||||
соответствующих условиях определяет работу системы против действу- |
||||||||
ющих на нее сил. Кроме того, термодинамические потенциалы позволя- |
||||||||
ют с помощью основного неравенства термодинамики установить общие |
||||||||
условия равновесия и устойчивости систем при определенных условиях. |
||||||||
Различные термодинамические потенциалы связаны между собой так, |
||||||||
что если известен один из них, то можно найти и другие. При этом внут- |
||||||||
ренняя энергия U связана со свободной энергией F соотношением: |
|
|||||||
U = F ¡ T µ@T ¶V |
(уравнение Гиббса Гельмгольца ): |
(2.19) |
||||||
@F |
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, что: |
|
|
U = ¡T 2 |
@T |
µT ¶V : |
(2.20) |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
@ |
|
F |
|
|
Подчеркнем, что приведенные соотношения устанавливают лишь связь между различными термодинамическими параметрами и их производными. Для применения к конкретной системе необходимо знание
![](/html/2706/468/html_60_oo7Za3U.pVzU/htmlconvd-W0sHwP20x1.jpg)
20
хотя бы одной из характеристических функций (в "своих"переменных) или других соотношений, связывающих параметры системы (например, уравнения состояния P = P (V; T )). Эти данные не могут быть получены
в рамках термодинамики и берутся из опыта или рассчитываются методами статистической физики.
Пример 4
Считая известным уравнение Ван дер Ваальса (для одного моля газа) (P + a=V 2)(V ¡ b) = RT; a è b постоянные, определить: а) энтропию S;
б) энергию U (калорическое уравнение), в) коэффициент теплового рас-
ширения ® = (1=V )(@V=@T )P ; г) разность теплоемкостей CP ¡ CV ; д) уравнение адиабаты, е) свободную энергию F и работу, совершаемую га-
зом при изотермическом расширении от объема V1 до объема V2. Ïðè расчетах считать, что теплоемкость газа CV
Решение:
Перепишем исходное уравнение в виде:
P = VRT¡ b ¡ Va2 :
Отсюда легко найти следующие производные, которые понадобятся да-
ëåå: |
µ@T |
¶V |
= V ¡ b; |
µ@V ¶T |
= ¡(V ¡ b)2 |
+ V 3 : |
(2.22) |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
@P |
|
|
R |
|
|
@P |
|
|
RT |
|
2a |
|
|
Идея дальнейшего решения состоит в использовании этих соотношений и равенства @CV =@T = 0 (данного в условии задачи) для расчета термо-
динамических параметров газа с учетом формул (2.9-2.20). |
è T : S = |
|||
а) Рассматриваем энтропию как функцию переменных V |
||||
S(V; T ): Тогда для dS имеем: |
¶T dT + µ@T ¶V dT: |
|
||
dS = µ@V |
(2.23) |
|||
|
@S |
|
@S |
|
Если бы мы знали явную зависимость производных @S=@V è @S=@T îò V è T , то могли бы рассматривать это как дифференциальное уравнение для S и, проинтегрировав его, найти S(V; T ). Для нахождения (@S=@V )T воспольуемся соотношением Максвелла (2.18), из которого при
учете (2.22) находим: |
µ@V |
¶T |
= |
µ@T ¶V |
= V ¡ b: |
(2.24) |
|||||
|
|||||||||||
|
|
@S |
|
|
|
@P |
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|