![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Безверхняя и. С.
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов
- •§4. Координаты вектора
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •§6. Направляющие косинусы вектора
- •§7. Векторное произведение векторов.
- •§8. Смешанное произведение векторов.
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •§1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§3. Декартова прямоугольная система координат
- •§ 4. Ориентация плоскости
- •§5. Полярные координаты
- •§6. Алгебраическая линия
- •§7. Прямая линия на плоскости
- •7.1.Различные уравнения прямой
- •7.3. Взаимное расположение двух прямых
- •7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
- •§8. Формулы преобразования координат
- •§ 9. Линии 2-го порядка
- •9.1. Эллипс
- •9.2. Гипербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Кривые 2-го порядка как конические сечения
- •§10. Общее уравнение линии 2-го порядка
- •Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.
- •Часть 2. Исследуем уравнение (17):
- •Раздел 3. Система координат в пространстве
- •§1. Плоскость
- •§2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§3.Плоскость в дпск. Основные задачи.
- •§4. Прямая в пространстве.
- •§5. Поверхности 2-го порядка
- •5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
- •5.2. Цилиндрические поверхности.
- •5.3. Конические поверхности
- •5.4. Эллипсоид
- •5.5 Однополостный гиперболоид
- •5.6. Двуполостный гиперболоид
- •5.7. Эллиптический параболоид
- •5.8. Гиперболический параболоид
- •Вариант индивидуального задания.
- •Литература
7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
7.4.1. Нормальный вектор прямой.
Прямая
задана в системе
Опр. Нормальным вектором прямой называется
любой
ненулевой вектор
,
перпендикулярный
направляющему вектору.
В
аффинной системе координат, в частности
в дпск, общее уравнение прямой
направляющий
вектор.
Возьмем
вектор
как видно,
нормальный
вектор. Отсюда ясен геометрический
смысл коэффициентов
если прямая задана в дпск уравнением
Пусть прямая
проходит через точку
тогда
Вычитая из уравнения прямой, получим:
(11)
Это
уравнение прямой с нормальным вектором
и проходящей через точку
7.4.2. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом
где
или
7.4.3. Расстояние от точки до прямой
Пусть
в дпск заданы прямая
и точка
Найдем
расстояние
от точки до прямой.
Вычислим скалярное произведение
(12)
Задача.
Найдите
расстояние от точки
до прямой
Задача.
Найдите
расстояние между прямыми:
7.4.4. Угол между прямыми.
Опр. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.
Из определения следует, что углом между двумя прямыми является один из 4-х углов при их пересечении.
Опр. Угол называется направленным, если указан порядок его сторон.
Пусть
или
(13)
Условие
параллельности :
или
Условие
перпендикулярности:
.
Задача.
Найдите
проекцию точки
на прямую
7.4.5. Решение задач.
№1.
Составьте уравнения прямых, параллельных
прямой
и отстоящих от точки
на расстояние
№2.
Найдите точку
симметричную точке
относительно прямой
№3.
Точка
является вершиной правильного
треугольника, её противоположная
сторона:
Составьте уравнения двух других сторон.
№4.
Составьте уравнение биссектрисы того
угла между прямыми
внутри которого лежит точка
№5.
Центр симметрии квадрата есть точка
уравнение одной стороны
Составьте уравнения других сторон.
№6. Докажите, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой –прямой Эйлера.
№7. Составьте уравнение биссектрисы острого угла между прямыми
№8. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
уравнения биссектрисы
и медианы
проведенными из различных вершин.
№9.
Определите, лежит ли точка
внутри или вне треугольника со сторонами
Отв.Вне.
§8. Формулы преобразования координат
8.1. Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат:
(старая и новая
системы координат).
Пусть
точка
и
Задача преобразования координат состоит в
следующем: выразить старые координаты
точки через новые
Зададим
систему
относительно
(1)
По
правилу треугольника получим:
или
(используем
(1))
(2)
Формулы (2) называются
формулами
преобразования координат.
Заметим,
что матрица
перехода от базиса
к базису
в точности совпадает с матрицей из
коэффициентов при
в формулах (2).
Определитель этой матрицы
поэтому система (2) разрешима относительно
Интересны два частных случая.
(А) Перенос начала.
(В) Замена координатных векторов.
Пример. Написать формулы преобразования координат в аффинной системе, если
∆
▲
8.2. Рассмотрим преобразование прямоугольных координат. Дпск есть частный случай аффинной системы, поэтому можно использовать формулы (2). На коэффициенты матрицы перехода С накладываются определенные условия.
Возможны два случая.
С)
Системы
ориентированы одинаково (обе правые).
Формулы (2) запишутся так:
D)
Системы
ориентированы противоположно.
Формулы (2) запишутся так:
Объединим
Формулы
. (3)
(«+» для одинаково ориентированных систем).
Задача. Определите координаты новых векторов и нового начала, если формулы преобразования имеют вид:
отв.
Задача.
Напишите
формулы преобразования прямоугольных
декартовых координат, если
и системы
одинаково ориентированы.
Отв.