![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Безверхняя и. С.
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов
- •§4. Координаты вектора
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •§6. Направляющие косинусы вектора
- •§7. Векторное произведение векторов.
- •§8. Смешанное произведение векторов.
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •§1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§3. Декартова прямоугольная система координат
- •§ 4. Ориентация плоскости
- •§5. Полярные координаты
- •§6. Алгебраическая линия
- •§7. Прямая линия на плоскости
- •7.1.Различные уравнения прямой
- •7.3. Взаимное расположение двух прямых
- •7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
- •§8. Формулы преобразования координат
- •§ 9. Линии 2-го порядка
- •9.1. Эллипс
- •9.2. Гипербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Кривые 2-го порядка как конические сечения
- •§10. Общее уравнение линии 2-го порядка
- •Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.
- •Часть 2. Исследуем уравнение (17):
- •Раздел 3. Система координат в пространстве
- •§1. Плоскость
- •§2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§3.Плоскость в дпск. Основные задачи.
- •§4. Прямая в пространстве.
- •§5. Поверхности 2-го порядка
- •5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
- •5.2. Цилиндрические поверхности.
- •5.3. Конические поверхности
- •5.4. Эллипсоид
- •5.5 Однополостный гиперболоид
- •5.6. Двуполостный гиперболоид
- •5.7. Эллиптический параболоид
- •5.8. Гиперболический параболоид
- •Вариант индивидуального задания.
- •Литература
§5. Поверхности 2-го порядка
5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
Уравнением поверхности в некоторой системе координат в пространстве называется уравнение
,
(23)
которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты посторонних точек.
Примеры.
Все поверхности
делятся на 2 класса: алгебраические и
неалгебраические (траснсцендентные).
Алгебраические задаются уравнением
(23), если
многочлен
от 3-х переменных. Степень этого многочлена
называетсяпорядком
алгебраической
поверхности. Свойство поверхности быть
алгебраической и её порядок не зависят
от выбора аффинной системы координат.
Примерами алгебраических поверхностей
являются плоскость, сфера. Пример
неалгебраической поверхности: цилиндр
Опр. Поверхностью 2-го порядка называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению:
(24)
Здесь
действительные
числа.
5.2. Цилиндрические поверхности.
Зададим в пространстве некоторую линию
(25)
Опр.
Поверхность, образованная прямыми
пространства, пересекающими некоторую
линию
и параллельными одной и той же прямой
,
пространства,
называется цилиндрической
поверхностью
с направляющей
и
образующими,
параллельными
Пусть в дпск задана направляющая цилиндрической поверхности:
и
направляющий вектор образующих
Образующие
цилиндрической поверхности параллельны
оси
Составим
уравнение цилиндрической поверхности.
Пусть
её произвольная точка, прямая
её образующая, причем
Тогда выполняется равенство
И это справедливо для любой точки данной
цилиндрической поверхности. Значит,
уравнение этой поверхности
Аналогично
получаются уравнения цилиндрических
поверхностей с образующими, параллельными
осям
и
Вид цилиндрической поверхности определяется типом направляющей кривой.
Рассмотрим
канонические
уравнения цилиндрических
поверхностей.
1)
эллиптический цилиндр;
]2)
гиперболический
цилиндр;
3)
параболический цилиндр;
4)
цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся
по оси
плоскостей;
5)
пара мнимых пересекающихся по
действительной оси
плоскостей;
6)
пара параллельных плоскостей;
7)
две совпавшие плоскости;
8)
мнимый
эллиптический цилиндр.
5.3. Конические поверхности
Зададим в пространстве линию
и точку
Опр.
Поверхность, образованная прямыми,
проходящими через одну точку
и
пересекающими направляющую линию
называетсяконической.
вершина
конуса
Получим уравнение
конической поверхности в дпск с вершиной
и направляющей
Пусть
произвольная
точка конической поверхности, прямая
пересекает
напрвляющую в точке
Векторы
и
коллинеарны:
Подставим
координаты точки
в
уравнение направляющей:
(26)
5.4. Эллипсоид
Опр. Поверхность, определяемая в дпск уравнением:
(27)
называет эллипсоидом.
Из уравнения следует, что поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, начало координат – её центр симметрии.
Исследуем эту поверхность методом сечений.
1)
это
эллипс с осями
2)
это эллипс с полуосями
3)
Если
то полуоси уменьшаются и уменьшаются
эллипсы в сечениях;
4)
При
плоскость
поверхность не пересекает.
Аналогично
проводится исследование с помощью
плоскостей
и
параллельных
и
Эллипсоид есть
овальная поверхность с тремя плоскостями
симметрии;
полуоси
эллипсоида. Если
,
то эллипсоид трехосный. Эллипсоид –
ограниченная поверхность, заключенная
в параллелепипеде
Если
то в сечениях плоскостями
получаются окружности.
Этот
эллипсоид получается вращением эллипса
вокруг оси
мнимый
эллипсоид. При
имеем сферу.