MOP

1. Приведемо матрицю до такого вигляду, щоб у кожному стовпці й кожному рядку знаходився хоча б один нуль. Для цього знайдемо в кожному рядку матриці мінімальний елемент і віднімемо його з усіх елементів відповідного рядка. Аналогічні перетворення виконаємо також з елементами стовпців.

2.Якщо після першого кроку можливий вибір чотирьох незалежних нулів,

тоді можна стверджувати, що задача вирішена. Незалежні нулі для зручності будемо позначати (*). При розставленні позначок найкраще вибирати рядок або стовпець, що містять найменшу кількість нулів. У цьому рядку (стовпці)

вибираємо нуль, позначаємо його і викреслюємо інші нулі в рядку або стовпці, на перетинанні яких знаходиться вибраний (або незалежний) нуль.

Позначки ставимо доти, поки в матриці існують вільні (непозначені або невикреслені) нулі.

1.Позначаємо всі рядки, що не містять незалежних нулів.

2.Позначаємо всі стовпці, що містять нуль хоча б в одному позначеному рядку.

23

3. Позначаємо всі рядки, що містять незалежні нулі в позначених стовпцях.

Кроки 2 і 3 виконуємо доти, поки можливо ставити позначки. Далі викреслюємо непозначені рядки і позначені стовпці.

Якщо виявилося, що кількість ліній дорівнює n ,тоді необхідно повернутися на попередній крок (позначки нулів) і знову вибрати незалежні нулі. Такий варіант можливий, якщо при проставленні позначок 2 або більше нулів у рядку мали «однакове право» бути незалежними.

4. Серед елементів, через які не пройшла жодна з ліній, вибираємо найменший. Віднімаємо це число зі всіх елементів, через які не пройшла жодна лінія, і додаємо його до всіх елементів, через які проведені дві лінії.

5.Повертаємося на крок вибору незалежних нулів. У розглянутому прикладі

одержуємо відразу два оптимальних рішення:

1-е завдання 1-й ресурс

2-е завдання 2-й ресурс (або на 4-й ресурс)

3-е завдання 3-й ресурс

4-е завдання 4-й ресурс (або на 2-й ресурс)

24

У результаті такого призначення система виконає всі завдання за 17 умовних одиниць часу.

У тому випадку, якщо необхідно вирішити задачу отримання максимального значення функції цілі, можна скористатися наступною формулою переходу, що справедлива для будь-якої задачі лінійного і нелінійного програмування: min (L) = - max (-L) (тобто елементи матриці С домножити на (-1) ).

ЗАВДАННЯ №4

У розподільній системі опрацювання даних у деякий момент часу є n

ресурсів готових до виконання завдань. У систему надходить n завдань. Відома якість виконання завдань кожним ресурсом (коефіцієнти матриці С). Потрібно призначити кожному ресурсу своє завдання таким чином, щоб якість виконання всіх завдань була максимальною.

ЧАСТИНА 2. НЕЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ

МЕТОДИ ОДНОВИМІРНОЇ ПОШУКОВОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

Задача оптимізації, в якій характеристична міра задана функцією однієї змінної, належить до найбільш простого типу оптимізаційних задач. Проте аналіз задач такого типу займає центральне місце в оптимізаційних дослідженнях

26

як теоретичної, так і практичної спрямованості. Це пов'язано з тим, що одновимірна оптимізація часто використовується для аналізу підзадач, що виникають при реалізації ітеративних процедур, орієнтованих на рішення багатовимірних задач оптимізації.

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ f (x) для всіх x S x : a x b

У теорії оптимізації f називається цільовою функцією, а S - припустимою областю, множиною точок, що задовольняють обмеженням, або областю припустимих значень x.

В інженерних додатках існують такі випадки, коли доводиться використовувати розривні функції. Очевидно, залежно від того, чи є дослід-

жувана функція безупинною або розривною, а також залежно від структури припустимої області для реалізації процедури пошуку точок оптимуму функції варто використовувати різні методи

Монотонні функції. Функція f(x) є монотонною (як при зростанні, так і при спаданні), якщо для двох довільних точок x1 і x2 , таких, що x1 x2,

виконуються одна з наступних нерівностей:

(монотонно зростаюча функція), (монотонно спадна функція).

Визначення. Функція f(x) є унімодальною на відрізку a x b у тому і тільки тому випадку, якщо вона є монотонною з обох сторін від єдиної на розглянутому інтервалі оптимальної точки x . Іншими словами, якщо x - єдина точка мінімуму f(x) на відрізку a x b , то f(x) виявляється унімодальною на даному інтервалі тоді і тільки тоді, коли для точок x1 і x2

із x x1 x2 випливає, що

і

з x x1 x2 випливає, що

Унімодальна функція не обов'язково повинна бути безупинною.

27

КРИТЕРІЇ ОПТИМАЛЬНОСТІ

Функція f(x), визначена на множині S, досягає свого глобального мінімуму в точці x S у тому і тільки тому випадку, якщо f ( x ) f ( x ) для всіх x S.

Функція f(x), визначена на множині S, має локальний мінімум (відносний мінімум) у точці x S у тому і тільки тому випадку, якщо f ( x ) f ( x ) для всіх x , віддалених від x на відстань , тобто якщо існує 0, таке, що для всіх x ,

що задовольняють умові x x , виконується нерівність f ( x ) f ( x ).

( 1. Якщо функція має властивість унімодальності, то локальний мінімум автоматично є глобальним мінімумом.

2.Якщо функція не є унімодальною, то можлива наявність декількох локальних оптимумів; при цьому глобальний мінімум можна визначити шляхом перебору всіх локальних оптимумів і вибору найменшого з

них.)

Теорема. Необхідна та достатня умови того, що x* є точкою локального мінімуму (максимуму) функції f, що двічі диференціюється на відкритому інтервалі (a , b), виражаються наступним співвідношеннями:

f

1.x x x 0.

апохідна порядку n відмінна від нуля.

(1)Якщо n - непарне, те x - точка перегину.

(2)Якщо n - парне, те x - точка локального оптимуму.

Крім того,

28

(а) якщо ця похідна позитивна, то x - точка локального мінімуму; (б) якщо ця похідна негативна, то x - точка локального максимуму.

НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ОДНОВИМІРНОЇ БЕЗУМОВНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

У тому випадку, якщо пошук екстремуму функції класичним методом з

використанням необхідної та достатньої умов є неможливим, можна застосувати

один з наближених методів одновимірної безумовної оптимізації. Для цього

спочатку необхідно визначити інтервал існування точкі екстремуму, а потім

проводити пошук згідно алгоритму обраного методу.

Метод розподілу інтервалу навпіл.Розглянутий метод дозволяє виключати

в точності половину інтервалу на кожній ітерації. Іноді цей метод називають

трьохкрапковим пошуком на рівних інтервалах, оскільки його реалізація

заснована на виборі трьох точок, рівномірно розподілених в інтервалі пошуку.

Алгоритм методу:

Покласти xm =(a +b)/2 і L =b-a. Обчислити значення f(xm ).

Покласти x1=a+L/4 і x2=b-L/4. Зауважимо, що точки x1, x2 і xm поділяють інтервал (a ,b) на чотири рівні частини. Обчислити значення f(x1) і f(x2).

Порівняти f(x1), f(x2) і f(xm).

Якщо f(x1)< f(xm), виключити інтервал (xm ,b) , поклавши b =xm. Середньою точкою інтервалу пошуку стає точка x1. Отже, необхідно покласти xm=x1 і f(xm)=f(x1).

Якщо f(x2)< f(xm), виключити інтервал (a ,xm) , поклавши a =xm. Середньою точкою інтервалу пошуку стає точка x2. Отже, необхідно покласти xm=x2 і f(xm)=f(x2).

Якщо f(x1) f(xm) і f(x2) f(xm), виключити інтервал (a ,x1) і (x2 ,b) .

Покласти a=x1 і b=x2 . Зауважимо, що xm продовжує залишатися середньою точкою нового інтервалу.

Обсислити L=b-a. Якщо розмір L заданої точності Eps, закінчити пошук. У противному випадку повернутися до пункту, позначеного

У якості точки оптимуму вибрати точку Хопт. = xm, Fопт. = f(xm).

Метод золотого перетину.Схема пошуку, при котрій спробні точки поділяють інтервал у відношенні 0. 61803, відома за назвою пошуку за

29

На 6-й ітерації довжина відрізка L 0.94 < Eps. Отже, задача вирішена: точка мінімуму х 99.9, значення функції в цій точці Lmin 0.01.

Метод золотого перетину:

На 9-й ітерації довжина відрізка L 0.64 < Eps. Отже, задача вирішена: точка мінімуму х = (99.78+100. 42)/2 100. 1, значення функції в цій точці Lmin 0.01.

Метод Фібоначі :

(b-a)/Eps = 30; F1=F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21, F9=34. F8=21<30< F9=34, отже, необхідно буде виконати 9-2=7 ітерацій для досягнення необхідної точності Eps ( N=7 ).