Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Б12

2¼

; 3) 2; 4) 5; 5) 4; 6) 4; 7) 6; 5;

4 ; 2)

8) 5 ¡

2 ¡

1) arcsin

; 2)

12 ¡ 7

4 ; 3) 1 ¡ cos 1; 4)

; 5) ln(e + 1);

2px

6) 2. 4.

1) ln x; 2)

1¡

cos x +

¢2

cos

: 5.

1) 1; 2) 1. 6.

< I <

2 q

2; 2)

< I < 1;

< I < 7

Б13

¡1; 2)

¡1; 3) 2

; 4) 10 ln 2¡

¡6¼;

1 ¡ e

4 ; 5) ln 2¡

2; 6)

ln 2

e + pe

+ 1

¼a

³2(1 +

´2)

¡ 64 : 3. 1) ln

1 + p

; 2) ln

1 + p2

;

256

: 4.

¡R1

(f(2¼ + arcsin t) ¡ f(¼ ¡ arcsin t)) dt +

a2 + 1

+ R0

(f(arcsin t) ¡ f(¼ ¡ arcsin t)) dt:

Б14

1) 4,5; 2)

ln(2 + p

; 5)

2; 3) ¼ab; 4) ab

2¢

3¼a2

¼a2

¡p

112¡

9. 3. 1)

;

3) a

¶: 4. a : 5. 1)

;

670

6 + ln

;

2(e

1):

2 +

4) 2 ln 3: 6.

+ 10 5: 7.

1) 2a; 2)¡

¢3 + p5

+ ln

Б15

2048¼

1) 16¼; 2)

; 3)

72¼; 4)

¡ 1 ; 4¼e

: 2.

¼a

105

¼abc: ¡5.

62¼

: 4. 1)

abc; 2)

; 3) 2p¼2 + 4a2 +

¼ab

ln ¼ + p

³3¼ 3¼

8a2

¼2

+ 4a2

: 6.

¼a; 4a

: 7.

4a ;

: 8.

´:

³0; 3¼

Б16

1. 1) Sn = 1 ¡

; S = 1; Rn =

: 2) Sn =

(n + 1)2

¡4 µ(n + 1)2 + +(n + 2)2

¶; S = 16; Rn

= 4

µ(n + 1)2

+ (n + 2)2

3) Sn =

; S =

; Rn =

(n + 1)(n + 2)

4) Sn =

18 ³

n + 1

n + 2

n + 3

n + 4

n + 5

¡ ³73

¡ 1

´´

n 1

= 18

n + 4

+ 6

; S = 1080; Rn

n + 1 + n + 2 + n + 3

: 5. Ряд (C) може збiгатися (напр., an = ¡1;

n + 5

n + 6

b = 1; c

= 0

може розбiгатися (напр., a = b

= c

= 1).

1) Може

збiгатися (напр., an = 1 + (¡1)n; bn = 1 + (¡1)n+1), може розбiгатися (напр., an = 1 + (¡1)n; bn = an; n ¸ 1); 2) розбiгається.

Б17

1. 1), 2), 5), 6) – розбiгаються, 3), 4) – збiгаються. 2. 1) – 5),7),8),10)

– 12) – збiгаються, 6),9) - розбiгаються. 3. 1), 2) – збiгаються, 3), 4) – збiгаються при p > 1 та при p = 1; q > 1. 4. Збiгається при p + q > 1, розбiгається при p + q · 1:

Б18

1. 1),3),8),10) – збiгаються абсолютно, 4),5),6),7) – збiгаються умовно, 2),9) – розбiгаються. 2. 1) Розбiгається; 2) збiгається. 3. Збережеться. 4. 1) Збiгається абсолютно при p > 2, збiгається умовно при 1 < p · 2;

2) збiгається абсолютно при p > 1, збiгається умовно при 12 < p · 1; 3),4) – збiгаються умовно.

Б19

1) Розбiгається; 2) може збiгатися (напр., an = (¡1)n; bn =2(¡1)n+1),

може розбiгатися (напр., an = bn = 1; n ¸ 1). 6. 1) Pn =

2(n + 3n + 3)

;

3(n + 1)(n + 2)

2(n + 1)

Pn =

n + 3

Pn = 2

µ1 ¡

¶; 4) Pn = 2

sin

¡1

3(n + 1)

; 3)

2n+1

;

Pn =

n + 2 .

Б20

1. 1), 2) випливає. 2. 1) Розбiгається; 2), 4) – 6) збiгається; 3) збiгається при a = c, 7) збiгається при x =6 0. 4. 1) – 3), 5) збiгається умовно; 4) розбiгається.

				Б21
1.	2) ® < 1: 3. Послiдовностi збiжнi: 1) рiвномiрно до f(x) = 0;
x	2 (0; +1); 2) рiвномiрно до f(x) = x; x 2 [0; 1]; 3) поточково,
нерiвномiрно до f(x) =		1		; x 2 (0; +1); 4) поточково, нерiвномiрно
		2p
		2p	x
до f(x) = 0; x 2 (0; 1);		1;			x	[0; 1];
до f(x) = 0; x 2 (0; 1);		5) рiвномiрно до f(x) = (x;			x 2	(1; 2]:
					2

Б22

1. 1) Збiжний абсолютно при x 2 (¡1; 1) [ (1; +1); 2) збiжний абсолютно при x 2 (¡1; 1); 3) збiжний абсолютно при x 2 (¡1; 1);

4) збiжний абсолютно при x 6= ¡1; 5) при p > 1 збiжний абсолютно при x > ¡1; при 0 < p · 1 збiжний умовно при x > ¡1; при p · 0 всюди

x < 1

або j

< 1;

збiжний

розбiжний; 6) збiжний абсолютно, якщо j j

абсолютно, якщо jxj < 1 i jyj < 1: 2. Сума S = 1; залишок rn = (1¡x) :

При n ¸ 7: 3. При n ¸ 25: 4.

1),3),4) – збiжний рiвномiрно; 2) збiжний

поточково, нерiвномiрно.

Б23

n ¸ 10000: 4. 1),2),3) – збiжний рiвномiрно.

Б24

1) Визначена i неперервна на R; 2) визначена на R; неперервна при

2nx2n

x 6= 0: 8. Так. 9. sn =

; s =

1 ¡ x

1 ¡ x2n

1 ¡ x

Б25

1. 1) r = 1; збiжний абсолютно при x 2 R; 2) r = maxfa; bg; збiжний абсолютно при x 2 (¡r; r); 3) r = 1; збiжний абсолютно при x 2 (¡1; 1);

збiжний умовно при 4) 1 збiжний абсолютно при x = ¡1; r = p2;

2 r¡

( r; r);

r = 1; збiжний абсолютно при x

(

1; 1):

1) x 2 (0; +1); 2) x 6=

+ ¼n; n 2 Z: 3.

1) 2; 2) 0:

1) A = h

´: Так. 2)

A = B = [1; +1): Так.

2´; B =

³6;

Б26

³¡2

; 2

´;

1) ¡ n=1 n + 1; x 2 (¡1; 1); 2) 3 n=1[1 ¡ (¡2)n]x2n; x 2

xn¡1

n n

1 1

n 2

n+1

1 1

1 (

; x 2 R: 5) 1 +

3) n=1 n(x2n¡2 + x2n¡1); x 2 (¡1; 1); 4) n=1

¡ n!

+n=1(¡1) (2n)! x ; x 2 R; 6) x+n=1

n¡!

n x

; x 2 h¡2; 2´;

1)!!

2n 1

1 (2n

2n+1

7) n=1(3 ¡ 2 )x ¡ ; x 2 ³¡3; 3´: 2. 1) n=1(¡1)

;

2n + 1

x4n+1

x 2 [¡1; 1];

4 ; 2) n=1

; x 2 (¡1; 1); 3) 1 +

2 +

4n + 1

1 (2n ¡ 1)!! x2P

; x

[

1; 1]: 3.

1) 2e +

(x 1)k (k + 2)e;

n+2

2 ¡

n=1 (2n + 2)!!

2n + 1

k=1

2) ¡1 + k=2(¡1) k(k ¡ 1)(x ¡ 1) : 4. ¡ k=1 ³x´

Б27

x2nP

1. 1) x + 2

(¡1)n+1 x2n+1

;

j ·

1; 2) 1

( 1)n¡1

1 +

1 + : : : +

n=1

4n2

n+1

; jxj · 1; 3) n=0(¡1)

; jxj < +1; 4) x +

2n ¡ 1

n!(2n + 1)

1 (2n

1)!! x4n+1

n 1

n=1

(2¡n)!!

;

j ·

n=1

+ ::: +

n´

4n + 1

2. 1)

( 1)

1 +

1)n; jx ¡ 1j < 1; 2) e n=1 n¡¢ n! ; x 2 R: 3.

n=0 µk=0 ak¶xn:

1 + x

2 ln

x; jxj < 1: 5.

; jxj < 1: 6.

1) 1; 605; 2) 0; 905:

x)2

i®

1),2) – розбiжнi; 3) збiжний. 8.

1) r = 1; 2) r = p

;

3) r = j1 ¡ e

¼2

Б29

8sin x;

x 2 h¼

23i¼

0; ¼

;

3¼

2. 1) 4; 2) 2; 3) 13; 4)

3 : 5.

1) F (x) =

sin x;

2 ;

;

>4 + sin x;

x 2 h

2 ; 2¼i

;

2 + x

x ;

;

2) F (x) = 85

2 h

[

1; 0);

x + x ; x

2; 1 :

(1;

[0; 1];

2 ¡

6. f = g h; 1) g(x) =

81; x = 0;

h(x) = ¡1; x 2 [¡1; 0);

> 2x + 2; x [ 2; 0);

x 2 (0; 1];

<2;

[0; 1];

(2;

2) g(x) = x + 2; h(x) =

3) g(x) = 8cos

;¼x3

x 2 [¡1; 0);

¼x3

cos 2

; x

(0; 1];

0:;

1; 0];

h(x) = (2

2 cos

¼x3

;

x 2 (0; 1]:

1.1)

2.1)

Б30

a2	¡ a + ln(a + 1);			2) 2(2	3¼		¡ 2		¼	¼	¡ 2; 4) 0:
2	¡ a + ln(a + 1);			2) 2(2	2		¡ 2		2 ); 3)	2	¡ 2; 4) 0:
kP		P					P
n	mkxk; 2)	n	mkxk2; 3)				n	mkf(xk):
=1		k=1				k=1

ПРОГРАМА КУРСУ "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ" ДЛЯ СТУДЕНТIВ СПЕЦIАЛЬНОСТЕЙ "МАТЕМАТИКА" ТА "СТАТИСТИКА".

I КУРС, 2 СЕМЕСТР

Лекцiй – 68 годин Практичних занять – 68 годин

I. НЕВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ

Первiсна. Структура множини первiсних. Невизначений iнтеграл i його елементарнi властивостi. Iнтеграли вiд елементарних функцiй. Iнтегрування частинами та за допомогою пiдстановки, приклади. Iнтегрування рацiональних функцiй. Розклад на елементарнi дроби. Iнтегрування елементарних дробiв. Iнтегрування рацiональних функцiй вiд тригонометричних функцiй. Iнтегрування функцiй, що мiстять iррацiональностi.

II. IНТЕГРАЛ РIМАНА. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ

Задача обчислення площi криволiнiйної трапецiї. Поняття, пов’язанi з визначеним iнтегралом: розбиття, дiаметр розбиття, суми Дарбу, iнтегральна сума; їх геометрична iнтерпретацiя. Верхнiй i нижнiй iнтеграли. Iнтеграл Рiмана та iнтегровнi функцiї. Властивостi сум Дарбу, наслiдок. Приклад неiнтегровної функцiї. Коливання функцiї. Необхiдна i достатня умова iнтегровностi. Iнтегровнiсть на вiдрiзку функцiй: неперервної, монотонної i обмеженої iз скiнченним числом точок розриву. Iнтеграл як границя iнтегральних сум. Теорема Дарбу. Властивостi визначеного iнтеграла: iнтегровнiсть суми, добутку й абсолютної величини iнтегровних функцiй; теореми про середнє значення та їх геометрична iнтерпретацiя.

Iнтеграл як функцiя верхньої межi iнтегрування: умови неперервностi й диференцiйовностi. Теорема про iснування первiсної неперервної на вiдрiзку функцiї. Формула Ньютона – Лейбнiца, два доведення. Диференцiювання iнтеграла зi змiнними межами. Формула iнтегрування частинами, приклад. Формула Тейлора iз залишковим членом в iнтегральнiй формi. Формула замiни змiнної. Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла.

Задача обчислення площi. Означення площi, квадровнiсть, необхiдна й достатня умова квадровностi. Квадровнiсть криволiнiйної трапецiї i криволiнiйного сектора, приклади. Об’єм тiла обертання. Спрямнi кривi. Достатня умова спрямностi й формула для обчислення. Площа поверхнi обертання. Теореми Гульдiна.

III. ЧИСЛОВI РЯДИ I ДОБУТКИ

Числовi ряди. Частковi суми, сума ряду, збiжнi й розбiжнi ряди, необхiдна умова збiжностi. Приклади, зокрема, гармонiчний i геометричний ряди. Елементарнi властивостi збiжних рядiв. Критерiй Кошi збiжностi числового ряду.

Умови збiжностi ряду з невiд’ємними членами. Лема. Ознаки порiвняння. Приклади, означення сталої Ейлера. Ознаки збiжностi рядiв: Д’Аламбера, Кошi, логарифмiчна, Маклорена – Кошi. Приклади застосування.

Ряд Лейбнiца i його властивостi. Абсолютна й умовна збiжнiсть. Збiжнiсть абсолютно збiжного ряду i нерiвнiсть для його суми. Умовно збiжнi ряди й вiдповiднi суми членiв одного знаку. Ознака Лейбнiца. Ознаки Дiрiхле та Абеля. Теорема Рiмана. Множення рядiв. Теорема про добуток рядiв.

Нескiнченнi добутки. Основнi поняття. Необхiдна й достатня умова збiжностi. Двi достатнi умови. Абсолютна збiжнiсть i перестановка спiвмножникiв.

IV. ФУНКЦIОНАЛЬНI РЯДИ

Множина збiжностi. Поточкова i рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi функцiй. Приклади. Критерiй Кошi рiвномiрної збiжностi. Рiвномiрна збiжнiсть ряду. Приклади. Ознака Вейєрштрасса. Ознаки Дiрiхле та Абеля рiвномiрної збiжностi i приклади їх застосування.

Iнтегровнiсть границi рiвномiрно збiжної послiдовностi iнтегровних функцiй. Неперервнiсть границi рiвномiрно збiжної послiдовностi неперервних функцiй. Теореми про неперервнiсть, про почленне iнтегрування i диференцiювання функцiонального ряду, приклади застосування.

Степеневi ряди. Теорема Кошi – Адамара. Приклади рядiв з рiзними множинами збiжностi. Рiвномiрна збiжнiсть. Неперервнiсть суми, теорема Абеля. Почленне iнтегрування i диференцiювання. Визначення коефiцiєнтiв через суму. Теорема про єдинiсть.

Ряд Тейлора. Достатня умова розкладу в ряд Тейлора. Ряд Тейлора для показникової i тригонометричних функцiй. Бiномiальний ряд.

Степеневi ряди з комплексними членами. Множина збiжностi. Показникова функцiя в комплекснiй площинi. Формули Ейлера.

V. ФУНКЦIЇ ОБМЕЖЕНОЇ ВАРIАЦIЇ ТА IНТЕГРАЛ СТIЛТЬЄСА

Властивостi монотонних функцiй. Розклад на неперервну частину i функцiю стрибкiв. Функцiї обмеженої варiацiї, варiацiя. Варiацiя монотонної

функцiї. Приклад функцiї з необмеженою варiацiєю. Теорема про адитивнiсть варiацiї. Теорема Жордана. Необхiдна й достатня умова спрямностi кривої. Суми Дарбу – Стiлтьєса вiдносно монотонної функцiї, їх властивостi. Означення iнтеграла Рiмана – Стiлтьєса вiдносно монотонної функцiї. Необхiдна i достатня умова iнтегровностi. Класи iнтегровних функцiй вiдносно монотонних функцiй. Означення i властивостi iнтеграла Стiлтьєса вiдносно функцiї обмеженої варiацiї. Нерiвнiсть для абсолютної величини iнтеграла. Iнтегрування частинами. Обчислення iнтеграла Стiлтьєса. Гра-

ничний перехiд пiд знаком iнтеграла Стiлтьєса. Теорема Хеллi.

Навчальне видання Навчальнi завдання

до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко–математичного факультету (2 семестр першого курсу)

Упорядники ДЕНИСЬЄВСЬКИЙ Микола Олексiйович КУРЧЕНКО Олександр Олексiйович НАГОРНИЙ Володимир Никифорович ЧАЙКОВСЬКИЙ Андрiй Володимирович НЕСТЕРЕНКО Олексiй Никифорович

Редактор Молодший редактор

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб32_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc