Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

1)fn(x) = e¡(x¡n)2 ; A1 = (¡l; l); l > 0; A2 = R:

2)fn(x) = (1 + nx)n; A1 = (a; b); A2 = R.

Д1.	Чи збiгається послiдовнiсть				fsinn x cos x; x 2 R : n ¸ 1g
рiвномiрно на R?
Д2.	Знайти поточкову на R границю					o	послiдовностi функцiй
n				R		o
fn(x) = n sin p		4¼2n2 + x2	; x 2 R :	n ¸ 1 : Чи збiгається ця послi-
довнiсть рiвномiрно на [0; a]; a > 0? на					?

Д3. Довести, що рiвномiрна на осi границя послiдовностi полiномiв є полiномом.

Д4. Чи випливає з того, що fn ¶ f на [a; b] те, що xfn(x) ¶ xf(x) на [a; b]? Чи вiрне обернене твердження?

Б21

1) Довести, що послiдовнiсть функцiй

fn(x) = xe¡nx; x

[0; + ) :

n ¸ 1g на променi [0; +1) рiвномiрно збiгається до нуля.

При

яких

значеннях

параметра

послiдовнiсть

функцiй

fn(x) = n®xe¡nx; x

[0; +

) : n

на променi [0; +

) рiвномiр-

но збiгається до нуля?

: n ¸ 1g збiгаються на

Показати, що послiдовностi ffn(x); x 2 [0; ¼]

вiдрiзку [0; ¼] поточково, але не рiвномiрно:

fn(x) = (g(x))n ;

fn(x) = psin x;

(x) =

n g(x);

px sin x;

де

fn(x) =sin x;

(0; ¼];

g(x) =

(1;

x = 0:

3. Дослiдити послiдовнiсть функцiй ffn(x); x 2 A : n ¸ 1g на поточкову й рiвномiрну збiжнiсть на заданiй множинi A; якщо:

1) fn(x) = n +1 x; A = (0; +1);

2)fn(x) = nx ; A = [0; 1]; 1 + n + x

3)fn(x) = n µqx + n1 ¡ px¶; A = (0; +1);

4)fn(x) = epn(x¡1); A = (0; 1);

5)fn(x) = n 1 + xn; A = [0; 2]:

ЗАНЯТТЯ 22

ФУНКЦIОНАЛЬНI РЯДИ. МНОЖИНА ЗБIЖНОСТI. РIВНОМIРНА ЗБIЖНIСТЬ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО РЯДУ

Контрольнi запитання

1.Означення абсолютної та умовної збiжностi функцiонального ряду.

2.Означення множини збiжностi функцiонального ряду.

3.Означення рiвномiрної збiжностi функцiонального ряду.

4.Критерiй Кошi рiвномiрної збiжностi функцiонального ряду.

А22

1. Визначити множини збiжностi (абсолютної та умовної) функцiональних рядiв:

1)	n=1 n +n1 ³					2x + 1		´	;
	1	n					x		n
	P	x
	1	x
2)	P			n	;
4)	n=1 1 ¡ x						;
4)	P xnex						;
3)	1	n				;
3)	n=1	1 + x2n				;
	P			n
	1		2n+1
	n=1
	1
5)	P sin(¼x );

6) P1 ln(1 + xn);

n=1

P1 (n + x)n

7) n=1 nn+x ;

8) P1 np sin nx; q > 0; 0 < x < ¼;

n=1 1 + nq

P1 xn

9) n=1 n + yn ; y ¸ 0:

	n=1
2. Дослiдити на рiвномiрну та поточкову збiжнiсть функцiональнi ряди на
заданих множинах A:
1)	1		xn	; A = [¡1; 1];
1)	=1 n2			; A = [¡1; 1];
2)	nP1		xn	; A = (0; +1);
2)	=1 n!			; A = (0; +1);
3)	nP1	(1 ¡ x)xn; A = [0; 1];
	=1
4)	nP1					x	; A = (0; +1);
4)	=1		((n		¡	1)x + 1) (nx + 1)	; A = (0; +1);
5)	nP1				¡	nx		; A = [0; "]; " > 0;
5)	=1		(1 + x)(1 + 2x):::(1 + nx)					; A = [0; "]; " > 0;
6)	nP1					nx		; A = ["; +1); " > 0:
6)	=1		(1 + x)(1 + 2x):::(1 + nx)					; A = ["; +1); " > 0:
	nP						52

3. (Ознака Лейбнiца рiвномiрної збiжностi функцiонального ряду). Нехай послiдовнiсть функцiй fan(x); x 2 A : n ¸ 1g задовольняє наступнi умови:

1)8x 2 A 8n ¸ 1 : an(x) ¸ 0;

2)8x 2 A 8n ¸ 1 : an(x) ¸ an+1(x);

3)sup jan(x)j ! 0; n ! 1:

x2A

(¡1)nan(x) збiгається рiвномiрно на A:

Довести, що ряд

1)n+1

1 (

на R.

Довести рiвномiрну збiжнiсть ряду

n + x

Нехай ряд

an(x);

x 2 A збiгається рiвномiрно на множинi A:

Довести, що:

sup jan(x)j ! 0; n ! 1;

x2A

sup

0; n

(x)

! 1

x A

¯k=n+1

¯x

на A збiжнiсть ряду

Д1. Довести¯

рiвномiрну¯

¡Rn

dt; A = [¡3; 4];

sin t

e¡njxj sin(x2p

); A = R:

Д2. Дослiдити ряди на рiвномiрну збiжнiсть на множинi (0; 1) :

1 (n+1)x

(n+1)x+ n1

;

e¡t

n=1

1 + t2004

dt:

n=1

nx¡n

xn + 2n

Д3. Знайти множину поточкової збiжностi ряду

: Чи збiгає-

nx + x2n

ться ряд рiвномiрно на цiй множинi?

Д4. Нехай

fan :

1g рiвномiрно

збiгається

до

0 на

ряд

P jan(x) + an+1(x)j

рiвномiрно

збiгається на

A: Довести,

що

ряд

n=1

P1 an(x) рiвномiрно збiгається на A: n=1

Б22

1. Визначити множини збiжностi (абсолютної та умовної) функцiональних рядiв:

	P		n
	1		n
1)	n=1		n	;	n		¶ ;
2)	n=1	µ			n		¶ ;
	n=1 x						n
	1		x(x + n)				n
	P			x			x
	P				2n		x
3)	1				2n	;
3)	n=1		1 + x2n+1			;
	nP						n
4)	1						n	;
4)	=1		(1 + x)(1 + x2):::(1 + xn)					;
	=1

5)	1	(¡1)n p		;

	=1 (x + n)
6)	nP1	xnyn	; x > 0; y > 0;
	=1	xn + yn
	nP1
7)	n=1 pjxjn		+ jyjn		:
	P

2. Визначити при x 2 (0; 1] суму й залишок функцiонального ряду x + x(1 ¡ x) + x(1 ¡ x)2 + ::: + x(1 ¡ x)nh¡1 +i:::

i показати, що вiн збiгається рiвномiрно на вiдрiзку 12; 1 . При якому

значеннi n залишок даного ряду задовольняє нерiвнiсть jrn(x)j < 0:01 одночасно для всiх x на цьому вiдрiзку?

3. Показати, що функцiональний ряд

1		+	1		+ ::: +	1	+ :::
	(x + 1)(x + 3)		(x + 3)(x + 5)			(x + 2n ¡ 1)(x + 2n + 1)
рiвномiрно збiгається до функцiї				1		на множинi [0; +1): При якому
				2(x + 1)

значеннi n залишок даного ряду задовольняє нерiвнiсть jrn(x)j < 0:01 при всiх x 2 [0; +1)?

4. Дослiдити на рiвномiрну та поточкову збiжнiсть функцiональнi ряди на
заданих множинах A :
	nP
1)	1 xn; A = (¡q; q); q < 1;
	=1
2)	1 xn; A = (¡1; 1);
	=1		xn		xn+1
	nP1
3)	P1	³ n
				1
	n=1			¡ n + 1´; A = [¡1; 1];
4)	=1					; A = (0; +1):
			(x + n)(x + n + 1)

nP	nP
nP	1	( 1)n		R
	=1 pn + cos x			R
5. Довести рiвномiрну збiжнiсть ряду		¡	на		:
54

ЗАНЯТТЯ 23

ОЗНАКИ РIВНОМIРНОЇ ЗБIЖНОСТI ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РЯДIВ

Контрольне запитання

Ознаки Вейєрштрасса, Дiрiхле та Абеля рiвномiрної збiжностi функцiонального ряду.

А23

Дослiдити на рiвномiрну збiжнiсть ряд на множинi A

sin nx

; A = R;

n2 + x2

nP1

n2 + x2

; A = [¡c; c]; c > 0; A = R;

nP1

nx2

; A = [0; c];

n3 + x3

nP1

xp3

; A = R;

1 + n x

nP1

arctg

; A = R;

x2 + n3

nP1

sin nx

; A = ["; 2¼ ¡ "]; " 2 (0; ¼);

nP1

sin nx

; A = [0; 2¼];

nP1

2 sin 3nx; A = (0; +1):

Дослiдити на рiвномiрну збiжнiсть ряд на множинi A

1 (¡1)n

; A = (0; + );

=1 x + n

nP1

sin x sin nx

; A = [0; +1);

x + n

nP1

cos 2nx2

; A = [0; +1);

pn + 1

(¡1)

n+1 xn

n ; A = [0; 1]:

Довести рiвномiрну збiжнiсть ряду на множинi A

(¡1)

n+1 arctg(nx)

; A = R;

n + x2

e¡nx

nP1

( 1)

n+1

; A = [0; + ):

n + x

Довести, що якщо ряд

an збiжний, то ряд Дiрiхле

1 an

x збiгається

n=1

рiвномiрно на x

[0; +

P):

Нехай ряд

P fn(x)

збiгається абсолютно й рiвномiрно на [a; b]: Чи

n=1

обов’язково ряд P1 jfn(x)j збiгається рiвномiрно на [a; b]?

P1 n=1

6. Нехай ряд fn(x); члени якого є монотонними функцiями на вiдрiзку

n=1

[a; b]; збiгається абсолютно в кiнцевих точках вiдрiзка. Довести, що цей ряд збiгається абсолютно й рiвномiрно на [a; b]:

7. Послiдовностi функцiй fan(x); x 2 A : n ¸ 1g i fbn(x); x 2 A : n ¸ 1g задовольняють умови:

1)8n ¸ 1 8x 2 A : jan(x)j · bn(x);

2)ряд P1 bn(x) збiгається рiвномiрно на A:

n=1

Довести, що ряд P1 an(x) збiгається рiвномiрно на A:

n=1

Д1. Послiдовностi fan(x); x 2 A : n ¸ 1g i fbn(x); x 2 A : n ¸ 1g задовольняють умови:

1) ряд P1 jan+1(x) ¡ an(x)j збiгається рiвномiрно на A; n=1

2) sup jan(x)j ! 0; n ! 1;

x2A

3) 9C > 0 8n ¸ 1 8x 2 A : j Pn bk(x)j · C:

k=1

Довести, що ряд P1 an(x)bn(x) збiгається рiвномiрно на A: Вивести з

n=1

цього твердження ознаку Дiрiхле рiвномiрної збiжностi.

Д2. Послiдовностi fan(x); x 2 A : n ¸ 1g i fbn(x); x 2 A : n ¸ 1g задовольняють умови:

1)функцiя a1 обмежена на A;

2)ряд P1 jan+1(x)¡an(x)j збiгається поточково на A; причому

n=1

sup P1 jan+1(x) ¡ an(x)j < +1;

x2A n=1

3) ряд P1 bn(x) збiгається рiвномiрно на A: n=1

Довести, що ряд P1 an(x)bn(x) збiгається рiвномiрно на A: Вивести з

n=1

цього твердження ознаку Абеля рiвномiрної збiжностi.

Д3. (Теорема Дiнi). Нехай an : [®; ¯] ! [0; +1); an 2 C([®; ¯]); n ¸ 1:

Припустимо, що ряд P1 an(x) = a(x); x 2 [®; ¯] збiгається поточково

n=1

на [®; ¯]; причому a 2 C([®; ¯]): Довести, що ряд an(x) збiгається

рiвномiрно на [®; ¯]:

Б23

1. Довести рiвномiрну збiжнiсть ряду на множинi A:

; A = [0; +1);

1 + n4x2

nP1

; A = [

1 ¡nx2n

1; 1];

nP1 n2

n=1 n!

¡ x¡

); A = h2; 1i;

P1 x2e¡nx; A = [0; + );

nP1

1 2n¡1

³x +¡ 1´

; A = [a; b]; 0 < a < b;

n=1

¡ 1

6)	1	1				; A = R;
6)	=1	x2 + n2				; A = R;
	nP1	( 1)n
7)		¡		n	; A = (		2; +	);
	=1 x + 2						¡	1
8)	nP1	n2		n		n	); A = h		1	; 2i:
8)	n=1 pn!		(x + x¡				); A = h		2	; 2i:
	P

P1 (¡1)n¡1

2. Довести, що ряд n=1 x + pn збiгається рiвномiрно на променi [0; +1):

Скiльки членiв ряду треба взяти, щоб його залишок на всьому променi [0; +1) не перевищував 0; 01?

Довести, що ряд

(

1)n¡1x2

рiвномiрно збiжний на всiй числовiй

(1 + x )

1 x2

прямiй, а ряд з модулiв його членiв

хоча i збiжний на R;

n=1

(1 + x2)n

але нерiвномiрно.

Дослiдити ряди на рiвномiрну збiжнiсть на вказаних множинах:

(¡1)n

; A = [0; 2¼];

n=2 n + sin x

n(n¡1)

(¡3

; A = [

10; 10];

+ e

cos

2n¼

; A = R:

n2 + x2

5. Нехай ряд P1 an збiгається. Довести, що ряд P1 ane¡nx рiвномiрно

n=1

збiгається на множинi [0; +1):

ЗАНЯТТЯ 24 ВЛАСТИВОСТI РIВНОМIРНО ЗБIЖНИХ

ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РЯДIВ

Контрольнi запитання

1.Теорема про неперервнiсть суми функцiонального ряду.

2.Теорема про почленне диференцiювання функцiонального ряду.

3.Теорема про почленне iнтегрування функцiонального ряду.

А24

1. Дослiдити на неперервнiсть заданi функцiї на вказаних множинах, якщо:

1)f(x) =

2)f(x) =

3)f(x) =

1		sin nx	; x 2 R;
=1		n(n + 1)
nP1	1		n
P1		n1 x ; A = R:
n=1	³x + n´		; A = (¡1; 1);

n=1 2 n

2.		lim		1	(xn		xn+1):
2.	Знайти границю x!1¡ n=1					¡		Чи можна для цього перейти
до границi пiд знаком			суми?
до границi пiд знаком			1	P
3.			1	nxe¡nx ¡ (n ¡ 1)xe¡(n¡1)x
3.	Довести, що ряд n=1			nxe¡nx ¡ (n ¡ 1)xe¡(n¡1)x						збiгається нерiв-
номiрно на вiдрiзку		[0; 1];							на цьому вiдрiзку.
номiрно на вiдрiзку			P ¡однак його сума неперервна							¢
4.	Дослiдити на диференцiйовнiсть заданi функцiї на вказаних множинах, якщо:

1)f(x) =

2)f(x) =

P1 sin nx; A = R;

n=1 n3

P1 (¡1)nx

n=1 n + x ; A = R:

5. Довести, що тета-функцiя µ(x) = +P1 e¡¼n2x визначена i нескiнчен-

n=¡1

но диференцiйовна при x > 0:

6. За допомогою теореми про почленне iнтегрування функцiонального ряду довести рiвностi:

nP1

nxn; x 2 (¡1; 1);

x)2

(n + 1)xn; x 2 (¡1; 1):

x)2

7. Чи можна почленно iнтегрувати ряд

2n+1

¡x

2n¡1

) на вiдрiзку [0; 1]?

Д1. Знайти суму ряду

1 sin nx

n=1

при кожному x 2 R:

Вказiвка. За допомогоюPпочленного диференцiювання по x знайти суму

при y

> 0: Пiсля цього перейти до границi при

ряду

1 e¡ny sin nx

n=1

+ :

1 cos nx

в околi точки 0; обчислити суму

Д2. Знайшовши суму ряду

ряду

n=1 n2

Д3.

Користуючись почленним iнтегруванням функцiонального ряду, дове-

сти, що R

x¡xdx = P

n=1

Б24

Визначити область iснування функцiй i дослiдити їх на неперервнiсть:

1) f(x) =

1 x + n(¡1)n¡1 ;

x2 + n2

nP1

(1 + x2)n :

2) f(x) =

Довести, що ряд

e¡(x¡n)2

рiвномiрно збiгається на вiдрiзку [0; 1] i

n=1

його сума

нескiнченно диференцiйовна.

sin(2n¼x)

Переконатися, що ряд

рiвномiрно збiжний на R: Показа-

n=1

ти, що цей ряд не можна

почленно диференцiювати на жодному промiжку.

e¡nx

Нехай f(x) = n=0

; x ¸ 0: Довести, що f 2 C([0; +1)); f 2

1 + n2

((0;

f (0)

)) i щоP

не iснує.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб32_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc