Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

1) f(x) =	R1 u du; x ¸ 1;	2) f(x) =	R0	u	du; x 2 R:
	x eu		x sin u

ЗАНЯТТЯ 13

IНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ. ЗАМIНА ЗМIННОЇ

Контрольнi запитання

1.Формула iнтегрування частинами для iнтеграла Рiмана.

2.Формула замiни змiнної для iнтеграла Рiмана.

А13

1. Обчислити iнтегруванням частинами iнтеграли:

ln 2

2¼

xe¡x dx;

x2 cos x dx;

3x arctg x dx:

2. Обчислити за допомогою замiни змiнної:

ln 2

¡R1

x dx

pex ¡ 1 dx:

;

5 ¡ 4x

3 p3

3. Чи можна в iнтегралi

dx покласти x = sin t? Чому? Обчи-

слити цей iнтеграл.

2¼

4.Знайти dx :

0 4 ¡ cos x

5.Нехай функцiя f 2 C([0; 1]): Довести, що:R

	¼=2		¼=2		¼	¼
1)	R0	f(sin x) dx = R0		f(cos x) dx;	2)R0 xf(sin x) dx=	2	R0 f(sin x) dx:
6. Нехай функцiя f 2 C(R). Довести, що:							x
1) функцiя f непарна тодi й тiльки тодi, коли 8x 2 R :						¡x		f(u) du = 0;
2) функцiя f перiодична з перiодом T тодi й тiльки тодi,R								коли
				x+T	T
			8x 2 R : R f(u) du = R f(u) du:
				x	0

Дати геометричну iнтерпретацiю цим рiвностям.

7. Для iнтеграла In = R1(1 ¡ x2)n dx; n ¸ 1 знайти рекурентну формулу

i обчислити цей iнтеграл.

Д1. Нехай функцiя f 2 C([¡1; 1]): Довести нерiвнiсть

f(x)f(¡x)dx · 2 ¡R1 f

(x)dx:

Д2. Нехай функцiя f 2 C([0; 1]) i 8x 2 [0; 1] : f(x) > 0: Знайти

f(x)

dx:

f(x) + f(¡x)

Д3. Нехай функцiя f 2 C(R) така, що

9p; q 2 R; p + q 6= 0; 8x 2 R : pf(x) + qf(¡x) = 1:

Знайти ¡Ra f(x) dx; де a > 0.

парна. Довести рiвнiсть

Д4. Нехай функцiя

C([

a; a])

2 a ¡

¡Ra

(x)

dx = R0

f(x) dx:

1 + ex

Д5. Для x > 0; a > 0 довести нерiвностi:

sin u du¯

< x:

du¯

< x;

x+a sin u

x+1

Б13

1. Обчислити iнтегруванням частинами iнтеграли:

¼=2

x cos x dx;

j ln xj dx;

x ln(1 + x2) dx;

R¼

arcsin x dx;

(3x + 2) ln x dx; 6)

x3 sin x dx;

2 ln x

dx:

2. Нехай f 2 C(2)([a; b]). Довести, що

xf00(x) dx = (bf0(b) ¡ f(b)) ¡ (af0(a) ¡ f(a)):

3. За допомогою замiни змiнної обчислити:

¼=2

;

x a

¡ x dx;

x 1 + x

R¼=2

1 + a sin

dx;

;

2 + cos x

ex + e¡x

4. В iнтегралi

2¼

f(x) cos x dx, де функцiя f 2 C([0; 2¼]); зробити замiну

змiнної

sin x = t:

5. Пояснити, чому формальна замiна змiнної t = p3

в iнтегралi

¡R1

приводить до помилки.

6. Нехай функцiя f 2 C(R). Довести, що функцiя f парна тодi i тiльки

тодi, коли		f(u)du:
8x 2 R : ¡Rx f(u) du = 2 R0		f(u)du:
x	x

Дати геометричне тлумачення.

7.Довести, що одна з первiсних парної неперервної функцiї є функцiєю непарною, а кожна первiсна непарної неперервної функцiї є парною функцiєю.

8.Довести, що первiсна неперервної на R перiодичної з перiодом T > 0 функцiї є перiодичною з перiодом T функцiєю тодi й тiльки тодi, коли

RT f(x) dx = 0:

j¸j!0

ЗАНЯТТЯ 14 ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩI. ДОВЖИНА ДУГИ

Контрольнi запитання

1.Формули для площi криволiнiйної трапецiї та криволiнiйного сектора.

2.Формули для довжини кривої в декартових, полярних координатах та заданої параметрично.

А14

1. Обчислити площi фiгур, обмежених кривими, заданими у прямокутнiй декартовiй системi координат:

1)	ax = y2; ay = x2; a > 0;	3)	y = 2x; y = 2; x = 0;
2)	y = 2x ¡ x2; x + y = 2;	4)	y2 = x2(a2 ¡ x2):

2. Обчислити площi фiгур, обмежених кривими, заданими у полярнiй системi координат:

1) r2 = a2 cos 2';

2) r = a sin 3'; a > 0:

3.За допомогою переходу до полярної системи координат, обчислити площу фiгури, обмеженої кривою x4 + y4 = a2(x2 + y2):

4.Знайти довжини кривих (параметри додатнi):

= 4x;

0 · x · 1;

(астроїда);

+ y 3 = a3

; 0· x· b; a > 0;

r = a'; 0

2¼

y =a ch a

x = cos

t; y = sin

(спiраль Архiмеда).

Д1. Знайти площi фiгур, обмежених кривими:

1)x3 + y3 = 3axy; a > 0 (лист Декарта);

2)x4 + y4 = ax2y; a > 0:

Д2. Обчислити площу петлi кривої x = 3t2; y = 3t ¡ t3:

Д3. Обчислити довжину кривої:

y = Rx psin u du; 0 · x · ¼:

Д4. Довести, що для гладкої кривої lim l(¡¸) = sup l(¡¸):

Б14

1. Обчислити площi фiгур, обмежених кривими, заданими у прямокутнiй декартовiй системi координат:

1)y = x2 + 1; x + y = 3;

2)y2 = 2x + 1; x ¡ y = 1;

3)x2 + y2 = 1; a2 b2

4) x2 ¡ y2 = 1; x = 2a; a > 0; a2 b2

5)y = sin3 x; y = cos3 x; 0 · x · ¼4 :

2.Обчислити площу фiгури, обмеженої параболою y = x2 ¡ 2x + 2; дотичною до неї в точцi M(3; 5) i вiссю ординат.

3.Обчислити площi фiгур, обмежених кривими, заданими у полярнiй системi координат:

1)r = a(1 + cos '); a > 0 (кардiоїда);

2)r = a sin 2';

3)r = 2a cos 3'; r ¸ a; a > 0:

4.Знайти площу фiгури, обмеженої лемнiскатою з рiвнянням

(x2 + y2)2 = 2a2xy; a > 0:

5.Обчислити довжину дуги кривої:

1)y2 = x3; що вiдтинається прямою x = 43;

2)y = x22 ¡ 1; що вiдтинається вiссю абсцис;

3)y2 = (x + 1)3; що вiдтинається прямою x = 4;

4)y = ln sin x; ¼3 · x · ¼2 :

6.Обчислити периметр фiгури, обмеженої лiнiями x2 = (y+1)3 та y = 4.

7.Обчислити довжину кривої, заданої параметрично:

x = et(cos t + sin t); y = et(cos t ¡ sin t); t 2 [0; 1]:

8.Обчислити довжину кривої, заданої у полярнiй системi координат:

1)r = a(1 + cos '); a > 0 (кардiоїда);

2) r' = 1;	1	· ' · 2 (гiперболiчна спiраль).
	2

ЗАНЯТТЯ 15

ОБЧИСЛЕННЯ ОБ’ЄМIВ I ПЛОЩ ПОВЕРХОНЬ ТIЛ ОБЕРТАННЯ. ТЕОРЕМИ ГУЛЬДIНА

Контрольнi запитання

1.Формули для об’ємiв тiл обертання.

2.Формули для площ поверхонь тiл обертання.

3.Координати центра ваги. Теореми Гульдiна

А15

1. Знайти об’єм зрiзаного конуса, основи якого – елiпси з пiвосями a1; b1 та a2; b2 вiдповiдно, а висота дорiвнює h.

2. Знайти об’єм параболоїда обертання, площа основи якого дорiвнює S, а висота – H.

3. Знайти об’єм тiла, утвореного обертанням фiгури, обмеженої лiнiями y = 2x ¡ x2; y = 0 навколо: 1) осi абсцис; 2) осi ординат.

4. Знайти об’єм тiла, утвореного обертанням фiгури, обмеженої пiвобертом спiралi Архiмеда r = a'; 0 · ' · ¼ навколо полярної осi.

5. Знайти площi поверхонь, утворених обертанням наступних кривих:

	= x		x	; 0		x		a
1) y	2	q2a			2·		·		навколо осi абсцис;

2)x3 + y 3 = a3 навколо осi абсцис;

3)r = a(1 + cos ') навколо полярної осi.

6.Визначити координати центра ваги дуги кола x = a cos '; y = a sin ', j'j · ® для фiксованих a > 0; 0 < ® · ¼. Обчислити площу поверхнi сфери радiуса a.

7.Визначити координати центра ваги фiгури, обмеженої параболами ax = y2; ay = x2; де a > 0.

8.Знайти об’єм i площу поверхнi тора, утвореного обертанням кола x2 + (y ¡ b)2 = a2; 0 < a · b навколо осi абсцис.

Д1. Знайти об’єми тiл, обмежених поверхнями:

	x22	2	= 1; x22	+ z22
1)	x22	+ y2	= 1; x22	+ z22	= 1;
	a	b	a	b

2)x2 + y2 + z2 = a2; x2 + y2 = ax;

3)x+y +z2 = 1; x = 0; y = 0; z = 0; де a > 0; b > 0; c > 0:

Д2. Нехай функцiя f неперервно диференцiйовна i строго монотонна на вiдрiзку [a; b]: Довести, що об’єм тiла, утвореногo обертанням навколо осi

ординат криволiнiйної трапецiї f(x; y)j 0 · y · f(x); a · x · bg, дорiвнює V = 2¼ Rab xf(x) dx:

Д3. Нехай 0 · ® · ¯ · ¼; r 2 C([®; ¯]). Довести, що об’єм тiла, утвореного обертанням навколо полярної осi криволiнiйного сектора

2¼	¯	3
	R
f(½; ')j 0 · ½ · r(')g, дорiвнює V = 3	® r (') sin ' d':

Д4. Знайти координати центра ваги:

1) сектора f(x; y)j x = r cos '; y = r sin '; 0 · r · a; j'j · ®g, де a > 0, 0 < ® · ¼;

2)однорiдної пiвкулi радiуса a;

3)однорiдної пiвсфери радiуса a:

Б15

1.Знайти об’єм тiла, утвореного обертанням фiгури, обмеженої лiнiями:

1)xy = 4; x = 1; y = 0 навколо осi абсцис;

2)y2 = (x + 4)3; x = 0 навколо осi ординат;

3)(y ¡ 3)2 + 3x = 0; x = ¡3 навколо осi абсцис;

4)y = ex; x = 0; x = 2; y = 0 навколо кожної з осей Ox та Oy:

2.Знайти об’єм тiла, утвореного обертанням навколо осi абсцис фiгури, обмеженої астроїдою x = a cos3 t; y = a sin3 t:

3.Знайти об’єм тiла, утвореного обертанням навколо осi абсцис фiгури,

обмеженої кривою x = a sin t; y = b sin 2t: 4. Знайти об’єми тiл, обмежених поверхнями:

1)	x2		+ y2		= 1; z = c x; z = 0;
	a	2	b	2		a

2)	x2		+ y2		+ z2	= 1 (елiпсоїд).
	a2		b2		c2

5.Обчислити площу поверхнi, утвореної обертанням кривої:

1)y2 = 4+x, що вiдтинається прямою x = 2, навколо осi абсцис;

2)y = cos ¼x2a ; ¡a · x · a, навколо осi абсцис.

6.	Знайти центр ваги арки циклоїди x = a(t ¡ sin t); y = a(1 ¡ cos t):
7.	Знайти координати центра ваги фiгури
	½(x; y)¯ a2		+ b2 · 1; x ¸ 0; y ¸ 0¾.
	¯	x2	y2
	¯		37

8. За допомогою теорем Гульдiна знайти координати центрiв ваги пiвкола i пiвкруга радiуса a.

ЗАНЯТТЯ 16

ЧИСЛОВI РЯДИ. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ

Контрольнi запитання

1.Означення числового ряду, його часткової суми.

2.Означення збiжного числового ряду, його суми й залишка.

3.Необхiднi умови збiжностi числового ряду.

4.Критерiй збiжностi ряду з невiд’ємними членами.

5.Критерiй Кошi збiжностi числового ряду.

А16

1. Знайти частковi суми, дослiдити збiжнiсть, знайти суми та залишки наступних рядiв:

1 ¡ 21 +

41 ¡

81 + : : : +

( 1)n¡1

¡2n¡1

+ : : : ;

³1

´1

+ 3

+ : : : +

+ : : : ;

+ : : : +

+ : : : ;

1 ¢ 2

2 ¢ 3

3 ¢ 4

n(n + 1)

+ : : : +

+ : : : ;

1 ¢ 4

4 ¢ 7

(3n

2)(3n + 1)

¡ 2 ¢n

¡ p

n + 2

3 ¡ 2 2 + 1 + 4 ¡ 2 3 + 2 + : : : +

p + 1 + pn + : : : :

Дослiдити збiжнiсть рядiв:

0; 001 + p

+ p3

+ : : : ;

0; 001

1 +

1 + : : : +

+ : : : ;

2n ¡ 1

3 51

+ : : : +

+ : : : ;

1001

2001

3001

1000n + 1

1 +

+ : : : +

+ : : : :

(2n ¡ 1)2

3. Довести збiжнiсть рядiв, використовуючи критерiй Кошi:
		a1			an
1) a0 +		10	+ : : : +			+ : : : ; де janj < 10; n ¸ 0;
					10n
2)	sin x	+	sin 2x	+ : : : +			sin nx		+ : : : :
	2		22				2n
								38

12 + 232 + 253

4.Використовуючи критерiй Кошi, довести розбiжнiсть ряду

1 + 12 + 13 + : : : + n1 + : : : :

5.Нехай ряд P1 an з невiд’ємними членами збiгається. Довести збiжнiсть

n=1

ряду P1 a2n. Навести приклад, який показує, що обернене твердження невiрне.

n=1

Д1. Знайти частковi суми, дослiдити збiжнiсть, знайти суму та залишок ряду

+ : : : + 2n ¡ 1 + : : : :

Д2. Нехай ряд P1 an збiгається. Чи випливає звiдси збiжнiсть ряду P1 a3n?

n=1 n=1

Навести вiдповiднi приклади.

Б16

1. Знайти частковi суми, дослiдити збiжнiсть, знайти суми та залишки

рядiв:

2n + 1

+ : : : +

+ : : : ;

12 ¢ 22

22 ¢ 32

n2(n + 1)2

+ : : : +

n + 1

+ : : : ;

12 ¢ 32

22 ¢ 42

n2(n + 2)2

+ : : : +

+ : : : ;

1 ¢ 2 ¢ 3

2 ¢ 3 ¢ 4

n(n + 1)(n + 2)

+ : : : +

+ : : : :

1 ¢ 4 ¢ 7

2 ¢ 5 ¢ 8

n(n + 3)(n + 6)

2. Використовуючи необхiдну умову збiжностi ряду, довести розбiжнiсть рядiв:

nP	³n + n	´			P
1	nn+ n1			2)	1	1	:
1)	1		n ;			pln n
=1					n=2

3. Довести збiжнiсть рядiв, використовуючи критерiй Кошi:

cos x ¡ cos 2x

+ cos 2x ¡ cos 3x + : : : +

+cos nx ¡ cos(n + 1)x + : : : ;

cos x

cos x2

+ : : : +

cos xn

+ : : : :

Вказiвка. Використати нерiвнiсть

¡ n; n ¸ 2:

n(n ¡ 1)

n ¡ 1

4. Довести розбiжнiсть рядiв, використовуючи критерiй Кошi:

1) 1 +

+ : : : ;

2 ¡

3 +

4 +

5 ¡

2) p1

+ p2

3 + p3

4 + : : : +

n ¢ (n +1

+ : : : :

· cn

an; (B)

5. Нехай an

· bn; n ¸ 1; i ряди

(A)

n=1

збiгаються. Довести, що тодi ряд (C)

cn також збiгається. Що можна

(C)

n=1

стверджувати про збiжнiсть ряду

Навести вiдповiднi приклади.

6. Нехай ряди з невiд’ємними членами

an i

bn розбiгаються. Що

n=1

можна стверджувати про збiжнiсть рядiвP

minfan; bng;

maxfan; bng ?

n=1

7. Нехай ряди

1 an2 i

1 bn2 збiгаються. Довести збiжнiсть рядiв:

n=1

anbn ;

(an

+ bn)2;

janj

n=1 j

n=1

=1 n

ЗАНЯТТЯ 17

ЗБIЖНIСТЬ РЯДIВ З НЕВIД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ

Контрольнi запитання

1.Ознаки порiвняння, Д’Аламбера i Кошi.

2.Логарифмiчна ознака та ознака Раабе. Ознака Гаусса.

3.Iнтегральна ознака Маклорена – Кошi.

А17

1. За допомогою ознак порiвняння дослiдити збiжнiсть наступних рядiв:

P1					P1				P
1	2n + 1			;	1		n	;	1	ln n	;
1)		+ 1)2		;	3)		n4 + 1	;	5)	n2	;
	2	+ 1)2			n=1 q		n4 + 1			n2
n=1 n		(n n			n=1 q		2		n=1
nP		5	¡		P	40
2)				;	4)	ln	1 + n	;
=1	2n(2n 1)				n=1		n2
=1					n=1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб32_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc