Розділ 1. Теоретичні дані

1.1.Постановка задачі

Нехай у ГЦК-кристалі через зовнішнє опромінення випадковим чином утворюються вакансії та власні міжвузлові атоми [1–5]. Точкові дефекти мігрують та вибираються стоками (дислокаціями або дислокаційними петлями). Внаслідок того, що коефіцієнт дифузії власних міжвузлових атомів набагато порядків перевищує коефіцієнт дифузії вакансій (υ), міжвузлові атоми значно швидше вбираються стоками. В результаті концентрація міжвузлових атомів є значно меншою за концентрацію вакансій, і їх розділяє значно більша середня відстань, аніж середня відстань між вакансіями; сумарний внесок їхньої взаємодії між собою та з вакансіями у термодинаміку системи значно слабший за внесок взаємодії між усіма вакансіями. Тому, нехтуючи анігіляцією вакансій та міжвузлових атомів, будемо розглядати тільки еволюцію розподілу густини n(r,t) "повільних" вакансій, яка описується наступним рівнянням [2, 3]:

(1)

де K(r,t) — швидкість генерації точкових дефектів, — випадкове поле, яке описує ймовірність вбирання вакансій дислокаційними стоками густиною_d(r) і з коефіцієнтом z_d, що характеризує ефективність кінетично-силової взаємодії вакансій із тими дислокаційними стоками; D_v(T) — коефіцієнт дифузії вакансій; — густина потоку вакансій; — сила, яка діє на вакансію, що знаходиться в точці r, з боку усіх інших вакансій з точок {r} через їхнє ефективне самоузгоджене внутрішньо кристалічне поле [2–6]; — енергія взаємодії пари вакансій у точкахr і r'; T — температура опроміненого кристала-цілі.

Розпишемо більш детально вираз для :

Рівняння (1) будемо розв'язувати за циклічності крайових умов Борна-Кармана [2, 3], а також припустимо, що термоконцентраційний взаємозв'язок є слабким:

Після спрощень маємо:

Виділимо детерміністичну та флуктуаційну частини:

маємо:

Введемо спрощення позначень:

В результаті маємо:

Розділимо тепер детерміністичну та флуктуаційну частини рівняння:

де

1.2.Детерміністична модель

Розглянемо випадок відсутності зовнішніх флуктуацій швидкості генерації точкових дефектів та флуктуацій неоднорідності опроміненого ГЦК-кристалу. Тоді, рівняння (1) має такий вигляд [3–6]:

(2)

Одним із розв'язків такого рівняння є наступний однорідний розв'язок :

;

Зі зниженням температури опроміненого зразка густина вакансій зростає, роль взаємодії збільшується, а однорідний стан стає нестійким. Це призводить до його розпаду і утворення неоднорідної структури в розподілі густини вакансій. Для дослідження стійкості однорідного розв'язку розглянемо еволюцію його малого збурення [3–6]:

Після підстановки цього виразу в останнє рівняння, маємо:

Нехай:

Тоді:

За означенням:

маємо:

Параметр помпування є пропорційним концентрації вакансій і визначається зовнішнім джерелом дефектів ()та температурою (Т). За малої густини вакансій та/або високих температур (коли ) отримуємо:

Для малого просторово-часового збурення однорідного стаціонарного розподілу густини вакансій можна побачити, що при концентраційні неоднорідності з часом "розсмоктуються" і однорідний стан залишається стійким.

Для деяких напрямків може бути, і з перевищенням параметром помпування критичного значеннядлявеличинаставатиме додатною. Приконцентраційні неоднорідності будуть збільшуватися з часом: збурення розподілу густини вакансій зростатимуть за експоненційним законом. Отже, однорідний стан ставатиме нестійким: відповідно, розвиватиметься модульована структура в розподілі вакансій з періодом, девідповідатиме (біфуркаційній) точці виникнення нового (додаткового до однорідного) розв'язку кінетичного рівняння (2) у вигляді неоднорідної концентраційної хвилі. Найменше значення параметра помпування, при якому виконується рівність

відповідає точці біфуркації, якщо останнє має ненульовий розв'язок саме при , азнаходиться з умови:

З двох останніх рівнянь знаходимо критичне значення параметру помпування, яке визначається середньою концентрацією вакансій, що взаємодіють, і критичне значення хвильового вектора уздовж фіксованого напрямку білядля кубічного кристалу:

Введемо позначення:

Обмежимось у розкладі другим доданком:

У результаті перетворень:

Звідси маємо квадратне рівняння:

Розглянемо властивості парної функції (k, _n) [3, 4]. Якщо _n < 1, коли , то (k, _n) < 0, тобто вона є монотонно спадною від’ємною функцією. При _n = 1 в точці k = k_m з’являється екстремум. k_m з ростом _n монотонно збільшується, а значення (k, _n) збільшується та сягає нуля, насамперед, при _n = _nKP і k = k_m = k_KP. При _n  _nKP в околі точок k = k_KP значення функції (k, _n) стають позитивними.

Рис. 1. Схематична ілюстрація появи нестійкості однорідного розподілу вакансій [4].

Оскільки Фур’є-компоненти енергій «деформаційної» й «електрохімічної» v–v-взаємодій мають негативні граничні значення при k  0 саме з напрямку [001] всередині першої Бріллюенової зони (BZ) для ГЦК-гратки критичне значення _[001]KP параметра помпування та критичне значення величини k_KP хвильового вектора k_KP уздовж напрямку [001] біля k  0 дорівнюють відповідно [3–6]:

За оцінками саме перший член у виразі для _[001]KP є найбільшим за величиною доданком і дає головний внесок у критичне значення _[001]KP [2–6]. Таким чином, оскільки , дисипативні модульовані структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалі виникатимуть, якщо _[001]KP > 1, а періоди дисипативних модульованих структур вакансійної підсистеми залежатимуть від параметрів кінетики перерозподілу: коефіцієнта дифузії вакансій і скінченного часу життя нестабільних вакансій або ж коефіцієнта z_d , який характеризує ефективність кінетично-силової взаємодії з дислокаційними стоками [3-5, 7,8].

У ГЦК-кристалі (посеред дислокаційних стоків) можуть виникати концентраційні вакансійні хвилі зазначеного типу у еквівалентних напрямках, а саме [001]:

,

де z, — компонента вектора r.

Неоднорідна функція в правій частині описує одновимірну модуляцію вакансійної підсистеми [9].

Рис.2.Схематичне зображення одновимірної модульованої структури вакансійної підсистеми; світлим кольором позначено гребені концентраційної хвилі атомів металевого кристалу, темнішим — гребені концентраційної хвилі вакансійної підсистеми.