Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MATAN1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

но, результат интегрирования является суммой рациональной функции,

арктангенса и логарифма; интеграл от неправильной рациональной дроби сводится к вычислению интеграла от многочлена и интеграла от правиль-

ной рациональной дроби.

x3 x 1

1. Найти (x 1)2 (x 1)(x2 x 1)dx.

Решение. Представим подынтегральную функцию (в соответствии с утвержде-

нием Теоремы 4.1 в виде суммы элементарных дробей):

x3 x 1

Mx N

(x 1)2 (x 1)(x2 x 1)

(x 1)2

x 1

x2 x 1

A(x 1)(x2 x 1) B(x 1)(x 1)(x2 x 1) C(x 1) 2 (x2 x 1) (Mx N)(x 1)(x 1) 2

1) 2 (x 1)(x2 x 1)

Приравниваем числители дробей:

x3 x 1 A(x 1)(x2 x 1) B(x 1)(x 1)(x2 x 1)

(4.3)

C(x 1)2 (x2 x 1) (Mx N)(x 1)(x 1)2 .

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях х. Приравняв коэффициенты при одинаковых степе-

нях х, получим систему:

при	x4 :		B C M 0
при	x3:	A B C M N 1

при	x2 :		2A M N 0	(4.4)
при x1:		2A B C M N 1
			A B C N 1
при	x0 :		A B C N 1

Система (4.4) имеет единственное решение, так как разложение правильной ра-

циональной функции на элементарные (теорема 4.1) единственно. Коэффициен-

ты A, B, C, N, M можно найти по правилу Крамера, или по методу Гаусса, или с помощью обратной матрицы. Вместе с тем, неизвестные можно найти сравни-

тельно легко следующим образом. Подставляем в тождество (4.3) х = -1 и полу-

чаем, что 4С = -1, т.е. С 41 .Если положить х = 1 в формуле (4.3), то получим

6А = 3, т.е.

системе

А 21 . Подставляя А и С в систему (4.4), придем к более простой

M 41

M N 1

M N 1 4

B M N 41

B N 43

Четвертое уравнение системы получается умножением второго на -1, поэтому его можно отбросить. Складывая первое уравнение с последним, получим третье уравнение, поэтому третье уравнение также можно отбросить. Решая ос-

тавшуюся систему, найдем, что,															N				2	, B				1	, M		1	. Следовательно, иско-

																			3				12				3
																			3				12				3
мый интеграл равен:
1		dx			1		dx			1			dx					1	x		2
1		dx	2		1		dx			1			dx						x			dx
			2															2		3		dx
																		3		3
	2 (x 1)			12 x 1 4									x 1			x x 1
		1			1	ln		x 1			1	ln		x 1			1		ln(x2 x 1)							1	arctg		2x 1	C.
		1			1						1						1									1			2x 1

		2(x 1)			12						4					6										3			3
		2(x 1)			12						4					6										3			3
(формулы 1)-3)).
					2x 5
2. Найти									dx.
2. Найти				x3 3x2 4					dx.

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Число -1 является корнем кратности 1 многочлена x3 3x2 4 (проверьте!), по-

этому x3 3x2 4 делится без остатка на				x ( 1) x 1:

	x3 3x2 4		x 1
	x3 x 2		x2 4x 4
	x3 x 2
	4x 2	4
	4x 2
	4x 2	4x


		4x 4
		4x	4

			0

Поэтому x3 3x2 4 (x 1)(x2 4x 4) (x 1)(x 2)2 .По теореме 4.1:

																			43
	2x 5						A				B				C	.
x3 3x2 4							(x 2)2									.
x3 3x2 4							(x 2)2			x		2		x 1
Поступая как и выше 1, находим, что A																					1	, B		7		, C	7		. Окончательно:
Поступая как и выше 1, находим, что A																						, B				, C			. Окончательно:
																					3			9			9
		2x 5				dx		1		dx					7			dx		7	dx					1		7		ln	x 2	C (мы
		2x 5						1		dx					7			dx		7	dx					1		7			x 2

	x	3	3x	2				3	(x 2)				2		9		x 2			9	x				3(x 2)			9			x 1
	x		3x		4			3	(x 2)						9		x 2			9	x		1		3(x 2)			9			x 1

применили формулы 1)-3)).

3.x4 1dx.

x2 1

Решение. x4 1 - неправильная рациональная дробь. Представим ее в виде сум- x2 1

мы многочлена и правильной рациональной дроби. Для этого выполним деле-

ние двух многочленов:

x4 1 x2 1

x2 1

x4 1

x2 1

	2
Следовательно,				x4		1	dx (x	2	1		2		)dx x	2	dx dx 2	dx

				x	2	1				x	2	1				x	2	1
				x		1				x		1				x		1
	x3		x 1
	x3		x 1
		x ln		C (мы использовали интегралы II, III, 29 (§3)).
	3	x ln	x 1	C (мы использовали интегралы II, III, 29 (§3)).
	3		x 1

Вопросы и задания для самопроверки.

1.Какая дробь называется рациональной, правильной, неправильной?

2.Всегда ли сумма, произведение и частное двух правильных рациональных дробей есть правильная дробь?

3.Дать определение корня кратности к многочлена.

4.Сформулировать теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

5.Выпишите формулы для вычисления интегралов от элементарных дробей.

6.Сформулируйте правило разложения многочлена на простейшие множители.

7. Изложите правила разложения правильной рациональной дроби на простей-

шие дроби в случае:

а) простых действительных корней знаменателя;

б) действительных кратных корней знаменателя;

в) когда знаменатель есть произведение многочленов, не имеющих действи-

тельных корней.

8.Как поступать при вычислении интеграла от неправильной рациональной дроби?

9.Перечислите все простейшие рациональные дроби.

10.Как находятся коэффициенты при разложении правильной рациональной дроби на простейшие дроби?

11.Какие элементарные функции возникают при интегрировании рациональ-

ных дробей?

12. Разложить x4 1 на простейшие множители.

4. Разложите на элементарные дроби следующие рациональные функции:

1.		x4 2x2 x 1		.			Ответ:				x					1		.
1.				.			Ответ:		(x2		1)3							.
		(x2 1)3							(x2		1)3			x2 1
2.		3x2 2x 5	.			Ответ :		3					2		.
2.			.			Ответ :		x							.
		x3 x2 x 1						x			1 x		2 1
		x2 4						13								7			8			8
3.					.		Ответ:																	.
3.	(x 2)(x 3)3				.		Ответ:		(x 3)3					(x 3)2						x 3			x 2	.
4.		12x 6					Ответ:			1		3					9		5		.
4.							Ответ:					x 1					x 2				.
	x4 6x3 11x2 6x									x		x 1					x 2		x 3


	x2 2x 6				3		7				5
5.			.	Ответ:									.
	(x 1)(x 2)(x 4)					x 1			x 2	x 3
	x2 1				1		3				5			5
6.		. Ответ:													.
	(x 3)(x 1)3				2(x 1)3			8(x 1)2				32(x 1)		32(x 3)

5. Найти неопределенные интегралы:

2x2 41x 91

1. (x 1)(x 3)(x 4) dx. Ответ: 4 ln x 1 7 ln x 3 5ln x 4 C.

			x	2	2																						1															1
2.			x		2						dx.										Ответ:						1		arctg(x 1)													1		arctg(x 1) C.
2.				4	4						dx.										Ответ:								arctg(x 1)															arctg(x 1) C.
			x		4																					2															2
3.				dx							dx. Ответ:														1	ln		x 2						1				ln(x2 2x 4)																	1						arctg						x 1				C.
				dx																					1									1																					1												x 1

			x	3	8																				12									24
				3																																																4 3																	3
																																																				4 3																	3
4.				x4											dx.								Ответ: x							1	ln				x 2						arctg					x			C.
				x4																										1					x 2											x
			x	4	16																									2					x		2									2
			x		16																									2					x		2									2
5.				2x2 x 4																			dx.			Ответ: ln							x 1									1		ln(x	2		4) C.
				2x2 x 4																																						1			2
			x	3	x						2		4x 4																												2
			x		x								4x 4																												2
6.											x 4														dx.			Ответ:				3				ln			x	1				2 ln				x 2										1			ln				x 3					C.
											x 4																					3																										1

			x	3	6x									2		11x				6												2																										2
				3										2

7.				dx									.																																										x2 1														dx.
	x3 27
																																											15.							(x				1)					3			(x				3)
																																																											3
				dx
8.				dx						.
																																																		x 4 1
			x 6 3																																									16.						x 4 1								dx.
				dx
																																																		x	2		1
9.													.																																					x			1
9.			2x			6							.																																										x			4		1
			2x					1																																				17.											x					1								dx.
			x	4	2x										2		x			1
				4											2																																			(x			2
10.																							dx.																											(x					1)(x 1)
10.							(x				2			1)					3				dx.																											x7			x 3
							(x							1)																														18.						x7			x 3								dx.
11.												dx										.																						18.						x		4			1						dx.
												dx																																						x					1
				(x			2		3x 2)											2																								19.											dx
				(x					3x 2)																																														dx									dx.
					x3 1
12.					x3 1													dx.																																x4 x2 1
12.					2		x											dx.
				x			x							1																														20.										dx									.
13.				3x					2	2x 5																																		20.						(x			2		1)						2		.
				3x						2x 5											dx.																													(x					1)
																																																		x4 1
				x3 x 2 x 1																																								21.						x4 1
											x2 4																																														dx.
14.											x2 4													dx.																										x 6			1				dx.
14.		(x 2)(x 3)3																						dx.																											3
																																																			3
																																												22.						x	dx					.
																																												22.							4					.
																																																		x			1

§5 Интегрирование иррациональных выражений.

Определение5.1.

Пусть x, y, z, ...,u, v - некоторые выражения. Функция, которая образо-

вана путем применения конечного числа арифметических операций (сло-

жение, вычитание, умножение, деление, умножение на действительные числа) к выражениям x, y, z, ...,u, v, называется рациональной функцией

от x, y, z, ..., u, v Обозначают ее R(x, y, z, ..., u, v).

x 1

57 x 6

sin x

x 1

Так, функция

есть рациональная функция от

x 1

6sin x x4 sin3 x

x 1

, u sin x. Интегрирование некоторых иррациональных

x, y 7 x, z

x 1

функций с помощью надлежащих подстановок сводится к интегрированию ра-

циональных дробей R(x) (§4). Рассмотрим некоторые такие подстановки.

1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Определение5.2.

Дробно-линейной функцией называется неправильная рациональная

дробь

ax b

cx d

Рассмотрим интегралы вида

ax b q

ax b

R x,

,...,

(5.1).

cx d

Здесь под знаком интеграла содержится рациональная функция от х,

ax b qcx d


ax b
,...,			; а p, q, ..., , - целые числа. Пусть n= Н.О.К. (q,..., ).

cx d


Введем новую переменную

	t n	ax b	(5.2)
	t n	cx d	(5.2)
		cx d

								47
Из формулы (5.2) находим х:						t n	ax b	t n (cx d) ax b (a ct n )x =
Из формулы (5.2) находим х:						t n	cx d	t n (cx d) ax b (a ct n )x =
							cx d

dt n b	x		dtn b					(5.3)
dt n b	x		a ctn					(5.3)
			a ctn
Пусть r(t)		dt n b		.	Очевидно, r(t)			- рациональная функция от t. Тогда
Пусть r(t)		a ct n		.	Очевидно, r(t)			- рациональная функция от t. Тогда
		a ct n

dx r / (t)dt, где r´(t) также является рациональной функцией. Заменяем пере-

менную х на переменную t в интеграле (5.1):

I R r(t),

	np	n		np		n

t q ,..., t r / (t)dt R1 (t) dt.			Так как		, ... ,		- целые числа, то
t q ,..., t r / (t)dt R1 (t) dt.			Так как		, ... ,		- целые числа, то
				q

R1(t) - рациональная дробь от t. Находя интеграл

R1(t)dt (§4), а затем заме-

няя в полученном выражении t на

ax b

, получаем I.

cx d

1. Найти

I 3

x 1

x 1 x 1

x 1

ax b

x 1

Решение.

В нашем примере

x 1 x 1

cx d

x 1

. Следовательно,

t 3

x 1

t 3 1

; dx

dt [

t 1

(формула (5.2)). Из (5.3) следует, что
	u / v uv /	]	(t 3 1) / (t 3 1) (t 3 1)(t 3 1) /	dt
	v2		(t 3 1)2

6t 2

I t

6t 2

dt 3

dt. Следовательно,

(t 3 1)2

t 3

1 (t 3 1)2

t 3 1

t 3

Mt N

;

1 A(t

t 1) (Mt N)(t 1);

t3 1

(t 1)(t2 t 1)

t 1

t2 t 1

A M

A M N

0, M

A N 1,

t 3

t 2

t 1

2t 1

dt ln

3arctg

t2 t

t 1

где t

x 1

. Мы воспользовались формулами 1), 3) (§4).

x 1

2. Вычислить I

Решение.

Данный интеграл имеет вид (5.1), так как

ax b

(a d 1,

cx d

b c 0),

x , 3

x ) R(x

Здесь

, n=

2 , x 3 ).

3 x

t 6

=Н.О.К.(2, 3)=6. По формуле (5.2)

, x t 6 . Отсюда: dx 6t 5dt. Следова-

тельно

6t5dt

t 3dt

(t 3 1) 1

t 3 1

(t 1)(t 2 t 1)

dt 6

t 3 t 2

t 1

t 1)dt

6 ln

t 1

C 2t

6t 6 ln

t 1

C [t 6 x ]

t 1

x 33

x 66

x 6 ln(6

x 1) C.

2. Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Пусть требуется найти интеграл вида:

I R(x,
	ax2 bx c )dx.		(5.4)

При a=0 интеграл (5.4) одновременно относится к интегралам вида (5.1). Под-

становка t bx c приводит в этом случае нас к интегрированию рацио-

нальной дроби. Если же a 0, н оb2 4ac 0, то многочлен ax2 bx c имеет два равных корня, и подынтегральная функция сама является рациональной дробью. Во всех остальных случаях интеграл (5.4) рационализируют (т. е. сво-

дят к интегралу от рациональной функции) с помощью подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера.

Если a>0, то полагают