MATAN1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

41. Вычислить

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

ще, чем интеграл g(x)dx . При использовании этого метода необходимо пом-

нить простейшие преобразования дифференциала:

d(ax), a 0

d(ax b), a 0

dx d(x a)

Из формулы (3.1) вытекает полезное правило:

f (ax b)dx

F(ax b) C

Если

f (x)dx F(x) C

то

(3.2)

Действительно, f (ax b)dx

f (ax b)d(ax b) [u ax b]

f (u)du

F(u)

F(ax b) C

18. Найти (7x 5)3 dx.

Решение. Заменяям 7x-5 под знаком интеграла на х и вычисляем интеграл

x3 dx

C. Здесь f (x) x3 , F(x)

Так как

f (7x 5) (7x 5)3 , то по

формуле (3.2) (7x 5)3 dx

(7x 5)4

C. Здесь ax+b=7x-5,

т.е. a 7, b 5.

19.

x d

f (ax b)

, f (x)

Решение.

Здесь ax+b=x-d,

т.е.

a=1,

b=-d,

x d

C (интеграл IV). Имеем F(x)=ln x , F(ax+b)=ln x-d .

По формуле

(3.2) находим, что данный интеграл равен ln x-d +C.

20.		dx	1	dx		1	ln	x	2	C. Здесь мы применили формулу 19. при
20.		3x			2		ln	x		C. Здесь мы применили формулу 19. при
	2	3x	3	x	2	3			3
				x	3
					3

d 23 . Этот интеграл можно найти с помощью формулы (3.2) и интеграла IV.

21.

n 1.

(x d)n

n (x d)n 1

x n 1

Решение.

x n dx

– по формуле III,

n 1

n x

n 1

f (x)

, F(x)

. В нашем случае

f (ax b)

. Значит, по

1 n xn 1

(x d)n

формуле (3.2)

F(ax b) C

C. Здесь роль ax+b иг-

(x d)

n (x d)

n 1

рает разность x-d.

22. Найти xdxln x .

Решение. Имеем: d(ln x) (ln x) / dx dxx . Значит,

xdxln x ln1x d(ln x) [u ln x] duu ln u C ln ln x C. Мы поднесли под

знак дифференциала вспомогательную функцию u=lnx и воспользовались фор-

мулой (3.1) и интегралом IV.

XX.tgx dx ln cos x C.

Решение. Имеем:

tgx dx

sin x

dx [d(cos x) (cos x) / dx sin x dx]

d(cos x)

[u cos x]

cos x

C ln

cos x

23.

arctg

2x p

C, если

q 0

px q

4q p2

Решение. Имеем:

x2 px q (x

)2 q

a 2 0] (x

a 2 . В

нашем случае уравнение x2 px q 0 не имеет действительных корней, т.к.

d(x

)

q 0

. Далее,

[ инте-

)

грал XV (§2)] =

arctg

2x p

arctg

4q p

Здесь

Заметим,

что

результат

не

изменится,

если взять

. Мы поднесли

функцию

u x

под знак дифференциала и

воспользовались формулой (3.1).

24. Найти

x2 x 1

Решение.

Здесь

p 1, q 1,

0. По формуле 23. Находим,

что этот интеграл равен

arctg

XXI.

ctgx dx ln

sin x

Решение.

ctgx dx

cosx dx

d(sin x)

[u sin x]

[интеграл IV]

sin x

=ln u +C=ln sinx +C. (формула (3.1)).

25. ctg( 3x 1) dx.

Решение. Воспользуемся формулой (3.2). Здесь ax+b=-3x+1, a=-3, f(ax+b)= =ctg(-3x+1), f(x)=ctgx. По формуле XXI ctgx dx ln sin x C. Значит, F(x)=

ln sinx . По формуле (3.2): ctg( 3x 1) dx 3 ln sin( 3x 1) C

sin( 3x 1)

ибо F(-3x+1)=ln sin(-3x+1) .

xdx

d(x2 a 2 )

26.

[d(x

2 a

2 ) (x2 a

2 ) / dx 2xdx]

[u x2 a 2 ]

x2 a2

27. Доказать, что при

q 0 верна формула

Mx N

ln(x2 px q)

2N Mp

arctg

2x p

x2 px q

4q p2

Mx N

M[(x

)

] N

2N Mp 1

Решение.

(см. 23).

x2 px q

)2 q

u2 a2

Значит, искомый интеграл равен сумме двух интегралов:

udu

2N Mp

[интегралы 26, XV]

ln(u2 a 2 )

2N Mp

arctg

C [u x

, a

]

ln(x2 px q)

2N Mp

arctg

2x p

4q p2

28. Вычислить интеграл

3x 4

dx.

x2 3x 4

Решение. Здесь p=3, q=4,

0, M 3, N 4. Значение это-

го интеграла по формуле 27 равно

ln(x2 3x 4)

arctg

29.

x a

C, a 0.

2 2

x a

Решение. Так как

(

), т о

x a

2a x

x a

свойства 5 и 6 из §1). По формуле 19 находим, что

x a

C ,

x a

. Значит, исходный интеграл равен

x a

30.

C по формуле 29.

( 5)

2 5

x 5

Для вычисления неопределенных интегралов полезны формулы

f /(x)

dx ln

f (x)

(3.3)

f (x)

/(x)

dx 2

f (x) C

(3.4)

f (x)

Они доказываются поднесением функции f(x) под знак дифференциала и при-

менением формулы (3.1).

2x 1

31.

dx [f (x) x

x 1, f

(x) 2x 1] ln(x

x 1) C (по формуле

(3.3)).

2x 1

32.

dx 2

x2 x 1 C (по формуле (3.4)).

x2 x 1

2x3 x

4 x2 1) /

33.

x4 x2 1 C ((3.4)).

x4 x2 1

34.

(ax b)/ dx

d(ax b)

ax b

cos x sin x

(cos x sin x)/ dx

d(cos x sin x)

cos x sin x

((3.4)).

2x ln 2 cos x

x 2

sin x

d(2

sin x

36.

sin x

ln 2x sin x x C ln(2x sin x x) C ((3.3)).

37.

(arcsin x)/ dx

d(arcsin x)

arcsin x

C ((3.3)).

arcsin x

1 x2 arcsin x

38.

1 x x2

(ln x arctgx)/ dx

d(ln x arctgx)

x(1

ln x arctgx

)(ln x arctgx)

= ln

ln x arctgx

C ((3.3)).

XXII

sin x

виде

Решение. Представим подынтегральную функцию

sin x

cos

x /

(tg

)

. Тогда

d(tg

)

sin x

2 sin

cos

2 sin

cos

[u tg

]

C ln

C (мы применили формулу (3.1)).

XXIII.

tg(

)

cos x

)

Решение.

C. Здесь мы применили формулу

tg(

cosx

sin(x

2 )

(3.2) и интеграл XXII.

Пусть требуется вычислить интеграл g(x)dx , где функция g(x) опреде-

лена на промежутке Х. Заменяем переменную х на переменную t по формуле x (t) , предполагая, что функция x (t) определена на промежутке Т и имеет в каждой точке t T производную / (t) , причем множество значений функции x (t) есть промежуток Х. Будем считать , что вспомогательная функция x (t) имеет обратную функцию t 1(x) , которая определена на

промежутке Х. Формально подставляем x (t) под знак искомого интеграла и получаем, что

g(x) dx g (t) d (t) g (t) / (t) dt f (t)dt.

Мы обозначили через f(t) функцию g (t) / (t) . Предположим, что функция f(t),

определенная на промежутке Т(!), имеет на нем первообразную функцию F(t),

т.е. f (t)dt F(t) C. Тогда будет верной формула:

				g(x) dx F[ 1 (x)] C.		(3.5)
Действительно,		[F[ 1 (x)] C]/ F/ [ 1 (x)] F/ (t)[ 1 (x)]/ f (t)			1

					/ (t)
					/ (t)
g[ (t)] / (t)		1	g[ (t)] g(x). Мы воспользовались правилом дифферен-
g[ (t)] / (t)	/ (t)		g[ (t)] g(x). Мы воспользовались правилом дифферен-
	/ (t)

цирования сложной функции в предположении, что / (t) 0 .Формула (3.5) яв-

ляеться основной “рабочей” формулой при нахождении интегралов методом подстановки. Формулу (3.5) целесообразно применять, если f (t)dt вычисляет-

ся проще, чем интеграл

g(x)dx . Этот метод называют также выделением

множителя / (t) из-под знака дифференциала.

a 2

arcsin

C, a 0

XXIV.

a 2 x2

Решение. Здесь функция g(x)

a2 x2

определена для всех x, удовлетворяю-

щих неравенству a2 x2 0 x2 a2 x a a x a, т.е. Х=[-a, a]. Произ-

ведем подстановку x a sin t , считая, что переменная t изменяется на проме-

жутке T [ 2 , 2 ]. Функция x a sin t дифференцируема на Т и имеет обрат-

ную функцию t 1 (x) arcsin

, как строго возрастающая функция. По фор-

муле (3.5) находим, что

a2 x2 dx

a2 a2 sin2 td(a sin t)

cos tdt a2

cos tdt [на T cost 0,

cos2 t

cos t

поэтому

cos t

cos t]

a2 cos2 tdt a2

1 cos2t

cos2tdt

sin 2t C

a 2

arcsin

2 sin t cost C

arcsin

sin(arcsinx) x, 1 x 1

arcsin

sin(arcsin

)

1 sin2 (arcsin

)

2 a

a 2

arcsin

a 2 x2 C.

39.

2 x2 dx [a2 2 a

интеграл XXIV]= arcsin

2 x2 C .

XXV Доказать, что

a 2

2 x2

a 2 x2

ln(x

a 2 x2 ) C, a 0

Здесь х меняется на всей числовой оси. Введем новую переменную t с помощью подстановки x asht . При изменении t от до + переменная x меняется от

до + . Так как эта функция возрастающая, то для нее существует обратная функция. Найдем ее, решая уравнение x a sht относительно переменной t:

et e t

x a cht

(et )2

et 1

0 et

1 (знак “-” перед

корнем надо опустить, так как

e t принимает лишь положительные значения,

следовательно,

x x2 a 2

t ln

x x2 a 2

Итак,

cht dt a2 ch2 t dt [ch2 t

x2 a2 dx

a2 a2 sh2 t d(a sht) a2

ch2 t

1 ch2t

]

a 2

ch2t dt [интеграл XVII] =

sh2t C [sh2t 2sht cht 2sht

1 sh2 t

a 2

x x2 a 2

a 2

x2 a 2 ]

a 2

ln(x

x2 a 2

)

x2 a 2

ch2t sh2t 1

cht > 0

40. Найти 2 x2 dx.

Решение. Здесь a 2. По формуле XXV находим, что искомый интеграл ра-

вен x2 2 x2 ln(x 2 x2 ) C.

XXVI

ln(x

x2 a 2 ) C, a 0

a 2

Решение. Пусть x a sht . Имеем:

a cht dt

cht

dt t C

x2 a2

a2 sh2 t a2

ch2 t

ln(x x2 a2 ) C1 ln a ln(x x2 a2 ) C.

Решение. Здесь a 7. По формуле XXVI значение приведенного интеграла

равно ln(x 7 x2 ) C.

42.

Решение.

Осуществим

подстановку

x t 2 , X [0, ), T [0, ). Здесь

d(t 2 )

t dt

(1 t) 1

x. Имеем:

dt 2 dt 2

1 t

2t 2ln1 t C 2x 2ln(1 x) C.

Используя метод подстановки, найти интегралы и проверить результат дифференцированием:

1. 6x5 6x4 dx,

sin x

5. 5 4 cos xdx,

3x 1

7. 23x 1dx,

9.ln x 7dx,

xln x

11.		dx	,
	7	9x

13. tg 7 x dx, cos2 x

15.x 2 dx ,

x6 2

3 dx

17. (arctgx) 1 x2 ,

19. x3 x2 x 1dx, x2 2

21.					sin x cos x				dx,


				cos2 x sin 2 x
				cos2 x sin 2 x
23.				2 x			dx,
23.		1		x			dx,
		1		4
25.			12x					dx,
25.		6		x	9	x		dx,
		6			9
27.	shx chx dx,

2x 5

2. x2 5x 6dx,

4.xlndx5 x,

6.ln x 7dx,

xln x

8.5x 1 dx,

x2 8

10.e x3 x2 dx,

12.2x 3 dx ,

x4 1

14. sin11 x cos x dx,

16.

xdx

9 x2

18.

arccos

dx,

1 x 2

20.

esin x cos x dx,

22.

2 3cos2 x sin x cos x dx,

24.

ln2 x

ln x

dx,

x5 ln x

26.

tg(3x 4) dx,

28.

3 x2

dx,

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201685.5 Кб30lopatina_l_v_priemy_obsledovaniya_doshkolnikov_so_stertoi_fo.doc
#
17.11.2019149.69 Кб5Mars Science Laboratory.docx
#
18.03.201561.65 Кб39martynova (1).docx
#
08.11.20191.7 Mб18Mass_Media_print1.doc
#
18.03.20155.49 Mб8Master We Lead.doc
#
18.03.20151.25 Mб9MATAN1.pdf
#
18.03.20153.16 Mб143matematika.docx
#
25.09.201942.83 Кб0Materiales para el examen.docx
#
25.11.2019160.67 Кб1Materialy_EKONOMIChESKAYa_TEORIYa.docx
#
25.11.201959.29 Кб1Materialy_po_FILOSOFII (1).docx
#
15.09.2019197.12 Кб1mchp.doc