Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MATAN1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

																	31
29.																				dx
				5 x						2	dx,						30.			dx				,


																				5 x2
																				5 x2

31.					x				dx,								32.			x x			dx,
31.									dx,								32.						dx,
	1 x																		1 x
33.								dx							,		34.		ex dx			,

			x				4 x2												5 4ex
35.						dx							,				36.			x dx			,


		x			1 x2														1 x 4
					cos x dx
37.					cos x dx											,	38.	x x 2 dx,
																	38.	x x 2 dx,


				1 2 sin 2 x
39. (x 1)																		e 2 x 3 dx,
39. (x 1)												x 4 dx,					40.	e 2 x 3 dx,
41.						dx								,			42.				x dx				.


	2							1 x											(3 x2 ) 3 x2

3. Интегрирование по частям.

Теорема 1.1.

Пусть две функции u(x) и v(x) дифференцируемы на промежутке X. Если функция u/ (x)v(x) имеет первообразную на промежутке X, то и функция u(x)v/ (x) имеет первообразную на этом промежутке, причем верна формула интегрирования по частям:

u(x) v / (x) dx u(x)v(x) u/ (x)v(x) dx u dv uv v du

(3.6)

Имеем:[u(x)v(x)]/ u/ (x)v(x) v/ (x)u(x). Значит, v/ (x)u(x) =

[u(x)v(x)]/ u/ (x)v(x) . Правая часть имеет первообразную, так как по усло-

вию теоремы функция u/ (x)v(x) имеет первообразную, а функция u(x)v(x) яв-

ляется первообразной для функции u(x)v(x) / . Поэтому функция u/ (x)u(x)

имеет первообразную, т.е. существует неопределенный интеграл v/ (x)u(x)dx,

причем

u/ (x)u(x)dx u(x)v(x) / dx u/ (x) v(x) dx u(x)v(x) C u / (x)v(x)dx .

Включая произвольную постоянную С в один из интегралов, получим формулу

(3.6).

Сущность метода интегрирования по частям заключается в следующем. Подын-

тегральное выражение f(x)dx интеграла f (x)dx представляют в виде

u(x)v/ (x) dx . После этого к интегралу u(x)v / (x)dx применяют формулу (3.6),

сводя его к вычислению интеграла v(x)u / (x)dx . Функции u(x) и v(x) подбира-

ют так, чтобы v(x)u / (x)dx вычислялся как можно проще. При нахождении

v(x) по v/ (x) dx достаточно брать какую-нибудь одну первообразную. Заметим,

что иногда для вычисления интеграла метод интегрирования по частям прихо-

дится применять несколько раз. В некоторых случаях применение формулы

(3.6) приводит к уравнению для нахождения интеграла.

43. Вычислить ln x dx.
Решение. Полагаем u ln x, dv dx. Тогда	du (ln x) / dx	dx	,	dv	1	и v=x+C.
Решение. Полагаем u ln x, dv dx. Тогда	du (ln x) / dx	x	,	dx	1	и v=x+C.
		x		dx

В качестве v(x) берем функцию v(x)=x. По формуле (3.6) имеем:

ln x dx x ln x x x1 dx x ln x x C.

Проверка. (x ln x x C) / (x ln x)/ 1 [(uv) / u/ v uv/ ] x/ ln x x(ln x)/ 1

ln x x 1x 1 ln x 1 1 ln x.

44. x2 sin x dx [u x2 , du 2x dx; dv sin x dx, dvdx sin x, v cosx]

x2 cosx 2x( cosx)dx x2 cosx 2 x cosx dx. Для вычисления последнего

интеграла еще раз применим формулу (3.6): x cosx dx [u x,

du dx; dv cosx dx, v sin x] x sin x sin x dx xsix cosx C.

Следова-

тельно, исходный интеграл равен:

x2 sin x dx x2 cosx 2x sin x 2 cosx C.

XXVII

eax cos bx dx

b sin bx a cos bx

eax C

a 2 b2

Решение.

Обозначим

I eax cosbxdx. Пусть

u eax , dv cosbx dx.Тогда

du (eax ) / dx aeax dx,

cos bx v

sin bx. Применяем формулу (3.6):

I 1beax sin bx ab eax sin bx dx. В свою очередь, применяя формулу интегриро-

вания по частям к интегралу eax sin bxdx, получим:

eax sin bx dx [u eax , du aeax dx, dv sin bxdx v 1beax cos bx

eax cos bx dx. Подставляя полученное значение в выражение для I, прихо-

дим к уравнению, в котором неизвестным является значение I:

sin bx eax

cos bx eax

Решая уравнение,

получаем формулу

XXVII.

Вычислим интеграл XXIV, используя формулу интегрирования по частям:

dx [u

, du (

dx; dv dx

)

x2 dx

a 2 (a 2 x2 )

v x] x

a 2 x2

a 2

I a 2 arcsin

I 2C (см. XIII). Следовательно,

a 2 x2

a 2 arcsin

I x

a 2 x2

I 2C.

Из последнего уравнения находим I:

a 2

arcsin

a 2 x 2

XXVIII Вычислить In

(a 0, n N).

(x2 a 2 )n

Решение. I

, du [(x2 a 2 ) n ]/ dx

2nxdx

; dv dx

(x2 a

2 ) n

(x2 a 2 ) n 1

v x]

x2 dx

(x2 a 2 ) a 2

(x2 a 2 ) n

(x 2 a 2 ) n 1

(x2 a 2 ) n

(x2 a 2 ) n 1

x2 a 2

dx 2na

2nI n

2na 2 I n 1.

(x2 a 2 ) n

(x2 a

2 ) n 1

(x2 a 2 ) n 1

(x2 a 2 ) n

Следовательно,

In 1

2n 1

(3.7)

2na 2 (x2 a 2 )n

2na 2

При n=1 имеем:

Так как

arctg

C (формула XV), то,

2a 2 x2

a 2

2a 2

x2 a 2

подставляя I1

в предыдущую формулу, находим

arctg

2a 2 x2

a 2

2a 2

(x2 a 2 )2

Подставляя в формулу (3.7) n=2 и значение I2 , мы получим I3 и т.д. Таким образом, чтобы найти In 1 , надо сначала вычислить все предыдущие интегралы

I1, I2 , I3, ....,In ,

а затем уже по формуле (3.7) найти In 1 .

45. Найти интеграл e2x cos x cos 3x dx.

Решение. cos x cos 3x

cos(x 3x) cos(x 3x)

cos 4x

cos 2x .

Мы использовали формулу:

cos cos

cos( ) cos( )

Отсюда искомый интеграл равен сумме:

e2x cos 4xdx

e2x cos 2xdx. По формуле XXVII:

e2x cos 4xdx

4sin 4x 2 cos 4x

e2x

C1 ,

e2x cos 2xdx

2sin 2x 2 cos 2x

e2x

C2 . Следовательно,

исходный интеграл ра-

вен: 401 (4sin 4x 2 cos 4x 5cos 2x 5sin 2x)e2x C. 46. arcsin x dx.

Решение. Пусть u=arcsinx, dv=dx. Тогда				du (arcsin x)/ dx	dx	,

					1 x2
					1 x2
	dv	1 v x.	Подставляем u, v, dv, du	в формулу (3.6) и находим значение
	dx	1 v x.	Подставляем u, v, dv, du	в формулу (3.6) и находим значение
	dx

интеграла:

arcsin x dx x arcsin x				xdx	x arcsin x								1		d(1 x2		)	x arcsin x
													2

				1 x2												1 x 2
											1	1
			1				(1 x		2			1
	1	(1 x2 )	1			1			2	) 2

			2 d(1 x2 ) x arcsin x											C x arcsin x					1 x2	C.
	2		2 d(1 x2 ) x arcsin x			2	1							C x arcsin x					1 x2	C.
										1
								2		1

Метод интегрирования по частям эффективен при вычислении интегралов, по-

дынтегральные функции у которых представляют произведение одной из функ-

ций arсsinx, arссosx, arсtgx, arсctgx, ln (x),. (или степени от них) на функцию,

первообразная для которой известна. В этом случае в качестве u(x) берут ука-

занные выше функции. Этот метод также применяется для

вычисления интегралов вида Pn (x) cosm axdx, Pn (x) sinm bxdx,

Pn (x)eax dx, Pn (x)eax cosm bxdx,	Pn (x)eax sinm bxdx, и др. Здесь Pn (x) - не-
который многочлен степени n.

Пользуясь методом интегрирования по частям, найти следующие неопределенные интегралы

1.	x ln x dx,						2.	x ln2 x dx,
3.	x sin 2x dx,						4.	x2 cos 3x dx,
5.	x sin x cos 4x dx,						6.	x arctgx dx,
7.	x cos3 x dx,						8.	e x cos x dx,
9.	e	3x		sin 4x dx,						dx
		3x
							10.											,
							10.		(x	2	1)						2	,
									(x		1)
11. x2 ex dx,							12.		x2						dx,
							12.		ln	2					dx,
									ln				x
13.									x cos x
			1 x		2	dx,	14.		x cos x							dx,

									sin			3		x
									sin					x
15. arccos 3x dx,							16.	arctgx dx,

17.		ln x								18.	ln(1 x				2	) dx,
															2
								dx,
		(x			1)		3	dx,
		(x			1)
		arcsin x								20.	sin(ln x) dx,
19.									dx,	20.	sin(ln x) dx,
19.		x		2					dx,
		x
21.	x sin x cos x cos 2x dx,									22.	arctg					dx,
21.	x sin x cos x cos 2x dx,									22.	arctg			x		dx,
		x dx
23.		x dx					,			24.		arcsin				x	,

			2

		cos			x								1 x
		cos			x								1 x
25.	sin									26.	x(arctgx)3dx,
25.	sin					x dx,				26.	x(arctgx)3dx,
27.	cos(ln x) dx,									28.	e3x (sin4 x cos4 x) dx,
29.	e x sin 2x cos3x dx,									30.	(x2 3x 1)e 2x dx.

Вопросы и задания для самопроверки.

1.Что понимается под методом непосредственного интегрирования?

2.При выполнении каких условий можно применять подстановку u=u(x)?

3.f (ax b)dx 1a F(ax b) C, если F(x) - первообразнаяя функции f(x). До-

кажите!

4.Когда возможна подстановка x (t) ?

5.Сформулировать метод интегрирования по частям.

6.Применяя два раза интегрирование по частям, найти sin(ln x)dx.

7. Показать, что интегралы вида P(x)eax dx, P(x) sin axdx P(x) cosaxdx (Р(x)

- многочлен) можно найти методом интегрирования по частям, если поло-

жить u(x)=P(x).

8. Вычислить (x2 x 1) cos2 xdx.

9. Интегралы вида P(x) ln xdx, P(x)arctgxdx, P(x)ark sin xdx следует вычис-

лять с помощью формулы интегрирования по частям, полагая соответствнно u ln x, u arctgx, u arcsin x. Докажите.

10.Найти (2x 1) arcsin xdx

§4 Интегрирование рациональных дробей.

Определение4.1.

Пусть

(x) a

xn a

xn 1 ... a

n 1

x a

, Q

(x) b

xm b

xm 1 ... b

m 1

x b

многочлены с действительными коэффициентами.

Отношение

Pn (x)

называется рациональной дробью ( или функцией) Рациональная

Qm (x)

дробь называется правильной, если n<m, и неправильной при n m .

Так

x3 1

- неправильная рациональная дробь,

x2 1

- правильная

x2 x 1

2x3 1

рациональная дробь.

Так как


x3 1			x2		x 1
x3 x2 x			x 1
x3 x2 x			x 1
	x2	x 1					,
	x2	x 1
	x2	x 1
		2
	x3 1						2
то				x		1			.
то	x2 x 1			x		1		x2 x 1	.

Определение 4.2.

Правильные рациональные дроби вида: 1)

(n 1),

x a

(x a)n

Mx N

(

q 0),

(n 1,

q 0),

называ-

px q

(x2 px q)n

ются

элементарными (

или

простейшими) рациональными

дробями

(функциями).

Определение 4.3.

Число a называется корнем кратности k (k-кратным корнем) много-

члена Qm (x), если этот многочлен делится без остатка на (x a)k , но

не делится без остатка на более высокую степень разности (x-a). Ко-

рень многочлена называется простым, если k=1.

Так число 3 является корнем кратности 2 многочлена x2 6x 9,потому что x2 6x 9 (x 3)2 и, значит, делится без остатка на (x 3)2 .Много-

член x2 5x 6 имеет простые корни 2 и 3, так как

x2 5x 6 (x 2)(x 3). Можно доказать, что число a является кор-

нем кратности к многочлена Q(x) тогда и только тогда, когда Q(a) =

0, Q / (a) 0, ..., Q(k 1) (a) 0, Q(k ) (a) 0.	Многочлен x2 6x 9 0 при
x = 3; (x2 6x 9)/ 2x 6 0 при x	= 3; вторая производная

(x2 6x 9)" 2 0.Значит, число 3 является 2-кратным корнем много-

члена x2 6x 9.

Всякий многочлен Qm (x) с действительными коффициентами

единственным образом можно представить в виде произведения

Q	m	(x) b	0	(x a) ... (x b) Q		(x), Q	(x) (x2	px q) ... (x2 rx s) ,
	m		0		l	l
l m ( ... ),								(4.1)
где a,...b - действительные корни многочлена								Qm (x) соответственно кратно-
стей ,... , многочлен Q					(x) есть произведение многочленов x2 px q,
				l

....,x2 rx s, которые не имеют действительных корней. В этом сущность

теоремы Гаусса. Например, число 1 является корнем кратности 2 многочлена

Q5 (x) x5 x 3 x2 1,

так

как

Q5 (1) 0, Q5/ (1) (5x4 3x2 2x)

x 1 0,

Q//5 (1) (20x3 6x 2)

x 1 12.

При x 1

Q5(x) равен нулю, но Q5/ ( 1)

(5x4 3x2 2x)

Cледовательно,

число -1

является простым корнем

x 1

многочлена Q5 (x) . Из сказанного выше вытекает,

что Q5 (x) можно записать в

виде Q

(x) (x 1)2

(x 1)Q

(x). Найдем

(x)

x5 x 3 x2

. Выполним деление могочлена на многочлен:

(x 1)2 (x 1)

x 3 x2 x 1

x5 x3 x2 1

x3 x2 x 1

x2 x 1

5 x4 x3 x2

x4 2x2 1

4 x3 x2 x

x3 x2 x 1 x3 x2 x 1

Следовательно,	Q	2	(x) x2 x 1 и Q	5	(x) (x 1)2	(x 1)(x2 x 1).	Отметим,
		2		5

что многочлен x2 x 1 не имеет действительных корней.

Теорема 4.1. (о разложении правильной рациональной дроби на сумму ко-

нечного числа элементарных рациональных дробей).

Пусть

P n

(x)

- правильная рациональная дробь,

Qm (x)

(x)

(x a)

...(x b)

px q)

...(x

rx s)

Тогда функция

P n (x)

(x)

единственным образом представима в виде:

(x)

...

B 1

...

(x a)

(x a) 1

(x b) 1

Qm (x)

x a

M x N

M 1 x N 1

...

M1 x N1

C x D

x b

(x2 px q)

(x2 px q) 1

(x2 rx s)

x2 px q

C 1 x D 1

...

C1 x D1

(4.2)

(x 2 rx s) 1

x 2 rx s

Доказательство этой теоремы можно найти в работе [5].

Приведем формулы для вычисления неопределенных интегралов от эле-

ментарных рациональных дробей:

dx A ln

x a

(интеграл 19, §3);

C (n 1)

(интеграл 21, §3);

n 1

(x a)

Mx N

2N pM

2x p

ln(x2 px q)

arctg

(

q 0),

px q

4q p2

(интеграл 27, §3);

Mx N

M[(x

)

]

d(x

)

(x px q)

[(x

)2 q

t dt

2N pM

d(t2 a2 )

2N pM

(t2 a2 )n

2 (t2 a2 )n

2N pM

(t), г де I

(t)

2(1 n) (x2 px q)n 1

(t2 a2 )n

вычисляется по формуле ХХVIII

с последующей заменой t

на

, a 2

на

q p2 . Из теоремы 4.1. вытекает, что неопределенный интеграл от правиль-

ной рациональной дроби равен сумме конечного числа интегралов от эле-

ментарных дробей, которые находятся по формулам 1)- 4), и, следователь-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201685.5 Кб30lopatina_l_v_priemy_obsledovaniya_doshkolnikov_so_stertoi_fo.doc
#
17.11.2019149.69 Кб5Mars Science Laboratory.docx
#
18.03.201561.65 Кб39martynova (1).docx
#
08.11.20191.7 Mб18Mass_Media_print1.doc
#
18.03.20155.49 Mб8Master We Lead.doc
#
18.03.20151.25 Mб9MATAN1.pdf
#
18.03.20153.16 Mб143matematika.docx
#
25.09.201942.83 Кб0Materiales para el examen.docx
#
25.11.2019160.67 Кб1Materialy_EKONOMIChESKAYa_TEORIYa.docx
#
25.11.201959.29 Кб1Materialy_po_FILOSOFII (1).docx
#
15.09.2019197.12 Кб1mchp.doc