Практикум_по_математике(2семестр)

AB

0

Пример

2.16.

Вычислить

криволинейный

интеграл

3x2 ydx (x3

1)dy ,

где:

AB

а) AB – отрезок от точки (0, 0) до точки (1, 1): y=x;

б) AB – часть параболы y=x2, соединяющая те же точки;

Решение

1

1

а)

2

3

2

3

3

3x ydx (x

1)dy

3x x

(x

1) x

dx

(4x

1)dx 2;

AB

0

0

1

2

1

б)

3x

2

ydx (x

3

1)dy

3x

2

x

2

(x

3

1) (x

dx

(5x

4

2x)dx 2

)

.

AB

0

0

Пример 2.17. Вычислить

криволинейный интеграл x y dy, где

L

L : x 0, y 0, x 1, y 1.

L

AB

BC

CD

DA

(x y)dy (x y)dy 0.

AB

CD

2

1

1

y

3

(x y)dy (1 y)dy y

|

;

BC

0

2

0

2

0

2 0

1

.

(x y)dy (0 y)dy

y

|

.

DA

1

2

1

2

x y dy

3

1

1.

Таким образом,

2

L

2

265.

(x2 y2 )dy ,

где L – контур четырехугольника с вершинами

L

(указанными в порядке обхода) в точках А(0,0), B(2,0), C(4,4), D(0,4).

( ,2 )

266.

x cos ydx y sin xdy

вдоль отрезка, соединяющего точки

(0,0)

(0, 0)

и ( , 2 ) .

267.

ydx xdy , где L – четверть окружности x R cost,

y R sin t

L

от t1

0

до t2

2

.

268.

xdx ydy (x y 1)dz , где L – отрезок прямой от точки (1,1,1)

L

до точки (2,3,4).

(1,1)

269.

xydx ( y x)dy вдоль линии 1) y x , 2) y x2 , 3) y2 x ,

(0,0)

4) y x3 .

ОТВЕТЫ

265.

37

1

.

266. 4 .

267. 0.

268. 13.

3

269. 11/3.

f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y))

1 zx

zy dxdy ,

2

2

s

D

f (x, y, z)dS f (x, y(x, z), z)

1 yx

yz

dxdz,

2

2

S

D1

1 xy

xz

dydz.

f (x, y, z)dS f (x( y, z), y, z)

2

2

S

D2

Пример 2.18.

Вычислить

поверхностный

интеграл

1 4x2 4 y2 dS ,

где S –

часть параболоида

вращения

S

D: x

2

y

2

1, zx 2x, zy 2y.

1 4x2 4 y2 dS

S

1 4x2 4 y2 1 4x2 4 y2 dxdy

D

Рис. 22

(1 4x2

4 y2 )dxdy

D

2

1

поляр. коорд. (1 4 2 ) d d d ( 4 3 )d 3 .

D

0

0

Вычислить интегралы.

4

x

y

z

270.

z 2x

y ds , где

S

–

часть

плоскости

1

,

3

2

3

4

S

лежащая в первом октанте.

271.

xds ,

где

S – часть

сферы

x2 y2 z2 R2 ,

лежащая в

S

первом октанте.

ОТВЕТЫ

R3

270. 4 61 .

271.

4

.

Определение 3.1

Уравнение вида

F x, y, y 0

или y f (x, y)

(5)

(если уравнение разрешимо относительно y ),

где x – независимая переменная,

y – функция,

y – её производная,

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение 3.2

Решением уравнения (5) называется функция

y (x) ,

x (a;b) ,

y y

при x x

или

0

0

y(x0 ) y0 или

y

x x0 y0

.

(6)

Определение 3.3

Уравнение вида

y f (x) g( y)

(7)

или F(x)dx + G(y)dy = 0,

где f (x) , g( y) , F (x) и G( y) непрерывные функции,

называющиеся

dy

f (x)dx или F(x)dx G( y)dy;

g( y)

3) обе части интегрируют:

dy

f (x)dx или F(x)dx G( y)dy.

g( y)

Пример 3.1. Найти решение уравнения

y

y

.

x

условиям.

275.

1 ex yy ex ,

y

x 0

1.

y 2

1.

276.

y ln x , y

x e

Решить уравнения.

277.*

dy

1

1.

278.* x y 2

y a2 .

x y

dx

y

279.*

4x 2 y 1 .

280.*

Найти

решение

дифференциального

уравнения,

удовлетворяющее

начальным

условиям:

x 2 y y 1,

ОТВЕТЫ

272.

ln

x

x y

c , x 0,

y 0.

273.

sin y

c .

y

xy

cos x

x2

1 x2

1 y2 c .

2e

e 1 ex .

274.

275.

2

277.* x y 2

2x c .

276.

y x ln x x 1.

y

278.*

x y a tg

c

.

a

2 x c .

279.*

4x 2 y 1 2ln

4x 2 y 1

280.*

x 2y 2 0.

281.* x

1

13

.

y

4

282.*

y cxn .

n

y

y

x

M 1,

M 1,

dy M (x, y)

x

x

dx

N (x, y)

n

y

y

x

N 1,

N 1,

x

x

y

f

y

или

.

x

Решение такого уравнения сводится к замене

z

y

.

x

Тогда

y zx ; y

z x z ,

z

0

M (1, z) N(1, z) z x

или

z x z f (z) ,

Решение.

x

2

2

x2 y2

x

y

y

y

,

y

.

xyy ,

xy

y

x

1

1

dz

dx

z x z

z

z x

2z

.

1

x

z

z

2z

z

1

d

z2

zdz

dx

;

1

2

ln

x

C2 ;

1

2z2

x

4

z2

1

2

1

1

C1 ln

C2 ;

2

1

ln

x 4 C ,

ln

z2

x

ln z

4

2

2

где C C2 C1.

Проинтегрировать дифференциальные уравнения.

283. xy y ln

x

284. y e

y

y

.

x

.

y

dx .

x

285. xdy y

x2 y2

286.

Найти частное решение дифференциального

уравнения

y

2 x2 y xyy по данным начальным условиям

y

x 3

4 .

уравнения

xy y arctg

y

x

выделить кривую, проходящую

через точку 1; 0 .

x

Решить уравнения.

288.*

y

1 3x 3y

.

1 x y

289.* 12x 5y 9 dy 5x 2 y 3 dx 0 .

290.*

Найти интегральную

кривую дифференциального уравнения

x y 2

y

y x 4 , проходящую через точку M 1;1 .

291.* Найти частное решение дифференциального уравнения

2 x y

dy 3x 3y 1 dx 0; y 0 2.

ОТВЕТЫ

283. y xecx 1 .

284. ln cx e

y

.

x

3 y 4 x

285.

cx2 y

x2

y2 .

286.

y 4e 3 x .

e

y

arctg

y

x2 y2

.

288.* 3x y 2ln

1 x y

c .

287.

x

x

289.* 6x2 5xy y2

9x 3y c .