Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математике(2семестр)

.pdf

Скачиваний:

1521

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

	2		2
106.		cos7 x		cos3 x c .
	7		3

	1		2	ln	sin x 1	c .

107.
					sin x 1
	4	sin x

	1											1										c .
108.																																109.
108.	sin x									3sin3 x																						109.
	sin x									3sin3 x
110.	1		sin9						x		2			sin7							x				1	sin5				x c .
110.	9		sin9						x					sin7							x			5		sin5				x c .
	9								7															5
111.				1				cos 7x										1		cos3x c .												112.
111.								cos 7x									6			cos3x c .												112.
	14																6
113.	1				sin 2x							1			sin 4x c .																	114.
113.	4				sin 2x							8			sin 4x c .																	114.
	4											8
115.	1				sin 2x								1		sin 4x c .
115.					sin 2x							8			sin 4x c .
	4											8
	1								7x			1										5x		1							3x
116.*						sin										sin												sin				sin
116.*		7				sin			4					5		sin					4						3	sin			4	sin
117.*					1		ctg2 3x										1		ln				sin 3x						c .
					1												1

	6																3
	6																3

2		c .

5cos5
	x

181 cos9x 16 cos3x c .

53 sin 56x 3sin 6x c .

4x c .

118.*

tg3

2tg

x c .

119.*

tg6 x

tg4 x

tg 2 x

cos x

c .

120.*

ctg5 x

ctg3 x

ctgx x c .

1.6. Интегрирование квадратичных иррациональностей

если

интеграл

содержит

радикал

x2 ,

то

обычно

полагают x

asin t, отсюда

a cos t.

если

интеграл

содержит

радикал

a2 ,

то

полагают

, отсюда

cost

atg t.

если

интеграл

содержит

радикал

x2 a2 ,

то

полагают

atg t; отсюда

x2 a2

cost

Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда

оказываются выгодными.

Иногда

вместо

тригонометрических

подстановок

удобнее

пользоваться гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер.

x2 1

dx.

Пример 1.18. Найти интеграл

Решение.

Полагаем x

tg t. Следовательно, dx

cos2 t

tg2t 1

sin2 t cos2 t

cos

sin

t cost

tg t

cost

tg2t 1

dt ln

tgt

tg2t 1

sin2 t cost

cost

sin2 t

tgt

Пример

1.19.

Найти

интеграл

a2 x2 dx,

применяя

гиперболическую подстановку x

asht.

Решение. Имеем

a2 x2

a2 sh2t a cht и dx

achtdt,

отсюда

dx a cht a chtdt a2

ch2t 1

sht cht t C.

sh2t t

Так как

sht

, cht

cht sht

то окончательно получаем:

ln x

C1,

a2 x2

	a2
где C C		ln a – новая произвольная постоянная.

1	2

4) подстановки Эйлера

При вычислении интегралов вида

R x, ax2 bx c dx

иногда применяется одна из подстановок Эйлера:

t x ax2 bx c.

Пример 1.20. Найти интеграл

Решение. t x

t x

x2 ,

x dx,

dt 1

dx,

dx	dt
dx	dt	ln	x2 x	C.

	t
x2
x2

Найти интегралы.

121.		x dx	.


	1 x2

123. 2 x2 dx .

x2 dx

125. 1 x2 .

127.* 1 x2 3 2 .

129.*			dx
							.
	x2		1 3 2				.
		dx
131.						.

		x2
		x2	3
	1								2
133.	1			1 x x2					2	dx .

		x2	1 x x2
		x2	1 x x2
			dx
135.								.
	x

					x2 1

x 1 dx

137. 2x x2 2x x2 .

x2 4x

139. x2 dx .

122. x x2 1 .

124. x2 4 dx .

126.*	dx		.


	x 1 1
		x2

128.* x2 1 3 2 .

130.*	x2 dx
			.

		9 x2

132. x2 3x 4 .

134. x2 2x dx .

136. x 1 1 x x2 .

138. 1 1 x x2 dx .

x 1 x x2

140. xx2 4x 4 .

ОТВЕТЫ

1 x2 12 c .

121.

122. ln

c .

123.

ln x

2 x2 c .

124.

2ln

x2 4

c .

125. 12 arcsin x 2x 1 x2 c .

126.*

128.*

130.* 2x

131. ln


	x 1	c .

1 x
1 x
		1				c .

				1
				1
cos arcsin
cos arcsin
				x		x
			9		ln
	9 x2		9
	9 x2		2
			2

x x2 3 c .

127.* tg arcsin x c .

129.* sin arctg x c .

9 x2 c .


132. ln	x 4	x 1	c .

	x 4	x 1
	x 4	x 1

133.*

1 x x2

2x 2

1 x x2

c .

134.*

x2 2x ln

x 1 x2

c .

135.*

x2 1

c .

136.* ln

1 x x2

c .

1 x x2

137.*

c .

2 2

1 x x

138.* ln

c .

2x x2

139.*

x 2

x2 4x

c .

140.*

arcsin

c .

x 2

1.7. Интегрирование выражений вида

Pn x

ax2 bx c

Рассмотрим частный случай: интегралы вида

mx n

ax2 bx c

С помощью обратной подстановки

эти интегралы приводятся к интегралам вида

mx n

dx.

ax2 bx c

(Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу 20,

если a 0, и 19, если a	0).
Пример 1.21. Найти интеграл					dx		.

					x 1
						x2 1
						x2 1
Решение. Полагаем	x 1	1		, отсюда		dx		dt	. Имеем:
Решение. Полагаем	x 1		t	, отсюда		dx		t2	. Имеем:
			t					t2

x 1

x2 1

1 2t

2t2

2 x2

C .

Найти интегралы.

141.*

142.*

2x 2

1 x2

3x 2

x 5

143.*

144.*

dx .

1 x2 1 x2

x2 2x

145.*

x2 dx

2x 3

ОТВЕТЫ

2x 2

141.*

c .

142.* 2

x 2

c .

x 1

143.*

arctg

c .

1 x2

144.* x 2 x2 2x 3ln x 1 x2 2x c .

	x 3
145.*		x2 2x 3 c .
	2

В	табл.	1.2 дан обзор основных методов интегрирования

(основных видов интегралов).

Таблица 1.2

Обзор основных методов интегрирования (основных видов интегралов)

№

Вид интеграла

Метод интегрирования

п/п

x x dx

Подстановка

(x) = t

Интегрирование по частям

udv uv vdu ,

где

u u(x),

v v(x) .

Метод интегрирования по частям применяется,

например, к интегралам вида

p(x) f (x)dx

, где

р(х) – многочлен, а f(х) одна из следующих

функций: eaх, cosax; sinax; lnx, arctg x, arcsinх и

т.п., а также к интегралам от произведений по

показательной функции на косинус или синус.

Mx N

dx,

Подстановка

ax2

bx c

p2 4q 0

Применение рекуррентной формулы

2n 3

n 1

2n 2

In 1.

2n 2

P(x)dx,

Подынтегральную дробь представляют в виде

Q(x)

суммы простейших дробей

P(x)

...

где

–

Q(x)

x x1

(x x1)2

(x x1)l

Q(x)

правильная

...

(x x )

(x x )2

(x x )m

рациональная дробь,

M1x N1

M2 x N2

M k x Nk

Q(x) (x x1 )

(x x2 )

px q (x2 px q)2

... (x2 px q)k ...

...(x

px q)

...

Продолжение табл. 1.2

6.	R x, n		,..., s		dx,	Приводится к интегралу от рациональной дроби
		xm		xr
						подстановкой

x = tk, где k – общий знаменатель дробей m ,... r .. где R – n s

рациональная функция своих аргументов.

Сводится

интегралу

от

рациональной

дроби

R x, k

dx,

подстановкой

ax b

где R –

cx d

рациональная

функция

своих

аргументов

Подстановкой

интеграл приводится к

Mx N

x 2a t

сумме двух интегралов:

Mx N

tdt

ax2 bx c

at2 m

Первый интеграл сводится к интегралу от

степенной функции, а второй интеграл –

табличный.

R x,

dx,

Приводится к интегралу от рациональной дроби

ax2

bx c

подстановками Эйлера:

a 0 ,

где R –

ax2 bx c t x a ,

рациональная

c 0 ,

ax2 bx c tx

функция от х и

t x x1 ,

4ac b2 0 ,

ax2 bx c

ax2

bx c

где

х1

–

корень трехчлена

ax2 bx c

Для

вычисления указанного интеграла применяются

также тригонометрические подстановки:

4ac

sin t

a 0,

4ac b

0 ,

b2 4ac

cost

4ac

s ect

a 0,

0 ,

4ac b

b2 4ac

cos ect

Продолжение табл. 1.2

4ac

tgt

a 0,

4ac b2 0 .

4ac

ctgt

10.

Записываем равенство

(x)

Pn (x)

dx,

dx Qn 1 (x)

ax2 bx c

где Pn (x) –

многочлен степени n

ax2

bx c

где Qn – 1

– многочлен степени n – 1.

Дифференцируя обе части этого равенства и

умножая на ax2

bx c , получим тождество

(x) 2ax b k,

P (x) Q

(x)

ax2 bx c

n 1

2 n 1

которое дает систему n + 1 линейных уравнений

для определения коэффициентов многочлена

Qn - 1(х) и множителя k.

Интеграл же

берется

выделением

полного

ax2

bx c

квадрата в подкоренном выражении (x m)2 n и

введением новой переменной u x m .

11.

Этот интеграл приводится подстановкой

x x

х – x

= 1/t

ax2 bx c

к интегралу, рассмотренному выше.

12.

Интеграл

от

биномиального

дифференциала

R(x

)

)dx,

выражается через элементарные функции только при

выполнении одного из следующих условий;

где m, n, р –

1) если р – целое число, 2) если

m 1

– целое

рациональные числа

m 1

(интеграл от

число, 3) если

p – целое число.

биномиального

дифференциала).

1-й случай

а) если р – целое положительное число, то нужно

раскрыть скобки

(a bxn ) p

по биному Ньютона и

вычислить интегралы от степеней;

б) если р – целое отрицательное число, то

подстановка x = tk , где k – общий знаменатель

дробей тип, приводит к интегралу от рациональной

дроби;

Окончание табл. 1.2

2-й случай

если

m 1

– целое число, то применяется

подстановка

a + bxn = tk,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2015699.9 Кб26ПРАКТИКУМ тлп.doc
#
18.03.2015763.83 Кб121Практикум №1 по русскому языку.pdf
#
18.03.2015458.38 Кб62Практикум №2 по русскому языку.pdf
#
10.11.20191.85 Mб1Практикум_Демогр_2012.doc
#
06.03.20161.52 Mб16Практикум_Иннов мен в УП_2 сент 2015.pdf
#
18.03.20152.08 Mб1521Практикум_по_математике(2семестр).pdf
#
18.03.2015459.26 Кб8практикум_по_Электронике_и_МПТ_2_курс.doc
#
14.09.2019733.7 Кб3Практическая 3.doc
#
14.09.20191.36 Mб1Практическая 5.doc
#
19.11.2019302.08 Кб2Практическая грамматика .doc
#
24.11.2018116.32 Кб5практические задания 5,6.docx