Практикум_по_математике(2семестр)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ex sin x cos x

cos ln x sin ln x c .

.pdf

Скачиваний:

1521

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

17.	c			1		cos 2x 3 .

	2
19.	ln ex 1 c .
21.		1	arctg3x c .

	3
23.	c e1 3x							.
					3

25.		1	arcsin					3x		c .
								2
	3
27.	arcsin						2x		c .

							ln 2

18.	ln x2 3x 8 c .
20.	ln			sin x	c .
20.	ln			sin x	c .
22.		1	arctg x2			c .
22.	2		arctg x2			c .
	2
		arctg x 3				c .
24.	3					c .
	3
26.	esin x c .

28.* ln x 2arctg x c .

29.*		1	arctg x2								1	ln		x4 1 c .
29.*	2		arctg x2								4	ln		x4 1 c .
	2										4
													2
															arcsin x 3 .
30.*	c 2					1 x2
30.*	c 2					1 x2
											3
31.*	c			1	x4				1	x3					1	x2	x ln	1 x			.
				1					1						1

	4							3						2					1				2x 1
32.*	arcsin x 2 c .																33.*		1	arctg			2x 1				c .
32.*	arcsin x 2 c .																33.*			arctg							c .
																	4							2
			x														35.* tg x					1			3	x c .
34.* tg								c .																tg
							4															3

			2

36.

x 1

5x3

6x2

8x 16 c .

x 1 1

37.

c .

38. 2arctg x c .

x 1 1

39. 32 x 1 2 3 3 x 1 13 3ln 1 3x 1 c .


	ln	1 ex 1		c
40.					.
		1	ex 1

41.21 ln x ln ln x 2ln 1 ln x 1 c .

42.12 ln2 tg x c .

		x2 4	8
		x2 4	8
43.								4ln	x2	4	c .
43.	2					x2 4		4ln	x2	4	c .
	2			x		x2 4
	ln						c .

44.

					x2 1
		1			x2 1

1.2. Вычисление неопределённого интеграла интегрированием по частям

Теорема 1.2

Пусть производные функции u(x) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство:

		udv uv vdu ,
uv dx uv vu dx или		udv uv vdu ,
где u u(x),	v v(x) .

Замечание. При использовании формулы интегрирования по частям нужно определиться, какой из сомножителей взять в качестве u, а какой в качестве v. Есть два стандартных случая, в которых этот метод всегда приводит к цели:

1. Интеграл вида

eax

xn sin ax dx , где a – постоянная; n – натуральное число.

cos ax

В этом случае за u берется xn , а все остальное за dv. При дифференцировании в интеграле степень станет не единицу меньше.

Применяя формулу интегрирования по частям n раз, можно избавиться от сомножителя xn .

2. Интеграл вида

ln x

arcsin ax
	– постоянная, n	– целое число.
xn arccos ax dx , где a	– постоянная, n	– целое число.

arctgax
arcctgax

В этом случае в качестве dv берется xndx. Второй сомножитель берется за u.

Пример 1.3. Найти интеграл arctgxdx .

Решение. Полагаем u arctgx,

dv dx ,

1 x

u x,

dv dx,

v x .

Тогда

arctgxdx x arctgx x

x arctgx

1 x

d (x2 1)

x arctgx

ln(1

x2 ) C.

1 x2

Пример 1.4.

Найти интеграл x2 sin xdx.

Решение. Полагаем u =x2, du = 2xdx,dv = sinxdx, v = – cosx.

Тогда

x2 sin xdx x2 cos x 2 x cos xdx.

Во втором интеграле снова интегрируем по частям и полагаем u = x, du = dx, dv = cosxdx, v = sinx.

Тогда

x2 sin xdx x2 cos x 2 x cos xdx x2 cos x 2x sin x

sin xdx x2 cos x 2x sin x cos x.

Пример 1.5. Найти интеграл e2 x cos xdx.

Решение. Полагаем

u =e2x, du = 2 e2x dx,dv = cosxdx, v = sinx.

Тогда

I e2 x cos xdx e2 x sin x 2 e2 x sin xdx.

Во втором интеграле снова интегрируем по частям и полагаем u = e2x, du = 2 e2x dx, dv = sinxdx, v = – cosx.

Тогда

I e2 x cos xdx e2 x sin x 2 e2 x sin xdx

e2 x sin x 2 e2 x cos x 2 e2 x cos xdx .

I e2 x sin x 2e2 x cos x 4I.

Из полученного уравнения находим

I e2 x sin x 2e2 x cos x . 5

Найти интегралы.

45. xsin 2xdx.

47. arctg x dx .

49. ln x2 1 dx . 51. ln2 x dx .

53. cos ln x dx .

55. arcsin x 2 dx .

x2arctg x

57.* 1 x2 dx .

46. arccos x dx .

48. arcsin x dx .

x 1

50. x2e x dx .

52. ex sin x dx .

ctg x

54. ln sin x dx .

56.* ex dx .

58.*	arcsin x			dx .


		1 x2	3
		1 x2


59.*			x 1 dx
							.
			x 1 x		2		.
			x 1 x
							ОТВЕТЫ
	1	sin 2x		1		cos 2x c . 46.
45.	1			1				xarccos x	1 x2	c .
45.	4			2				xarccos x	1 x2	c .
	4			2

47.x arctg x x arctg x c .

48.2x 1arcsin x 41 x c .

49.xln x2 1 2x 2arctg x c .

50.c e x 2 2x x2 . 51. x ln2 x 2ln x 2 c .

54.ln ln sin x c .

55.x arcsin x 2 2arcsin x1 x2 2x c .

56.* 2ex x 1 c .

57.*

xarctg x

ln 1 x2

arctg x 2

c .

58.*

arcsin

ln 1 x2

c .

1 x2

59.*

arccos

x2 1

c .

1.3. Интегрирование дробно-рациональных функций

mx n

1) интегралы вида ax2 bx cdx .

Основной прием вычисления – приведения квадратного трехчлена к виду:

ax2

bx c a x k 2

l ,

(1)

где k и l – постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой

2ax b t .

	Если m	0,		то		приводя квадратный трехчлен к виду (1),
получаем табличные интегралы 9 или 17, 18 (см. табл. 1.1).
	Пример 1.6. Найти интеграл												dx
															.
											2x2	5x 7			.
	Решение.
	dx	1							dx

	2x2 5x 7		2			2		5		25				31
					x		2		x
					x		2	4	x				16
								4		16			16

d x

1 1

4x 5

arctg

5 2

Если

m 0 ,

то из

числителя выделяется

производная

2ax b

квадратного трехчлена

mx n

2ax b n

bx c

ax2 bx c

2a ax2 bx c

и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному выше.

2) рассмотрим

R(x)dx , где

R(x)

A A x A x2

... A xn

n m .

B x B x

... B x

Вычисление таких интегралов основано на разложении рациональной дроби в сумму элементарных дробей, т.е. дробей вида:

(дроби I типа, если 1 , и дроби II типа, если 1 ), и

(x a)

Bx C

(дроби III типа, если 1,

и дроби IV типа, если 1

Здесь ,

N; a, p, q, A, B,C R; p2 4q 0 .

Теорема 1.3

Пусть дана рациональная дробь

A A x A x2

... A xn

P(x)

n m.

B B x B x2

... B xm

Q(x)

Тогда многочлен Q(x) всегда можно представить в виде

Q(x) (x a ) 1 ... (x a ) r (x2 p x q ) 1 ... (x2 p x q ) s ,

ai R ,

кратности i ,

где

(i 1, r)

–

корни

многочлена

Q(x)

x2 pk x qk

– квадратный

трехчлен

(D 0)

кратности k . Тогда

существуют

Ai , Bk ,Ck R , i

1, r

1, i ,

1, k ,

1, s

такие, что:

P(x)

A 1

...

Q(x)

x a

(x a )2

(x a ) 1

x a

...

A r

B1x C1

B2 x C 2

...

(x a )2

(x a

) r

x2 p x q

(x2 p x q )2

B 1 x C

...

B1x C1

B2 x C

...

(x2 p x q ) 1

x q

(x2

x q

B s

x C

(x2 p

x q

) s

Пример 1.7. Найти интеграл

7x2 x 1

dx .

1)(x

x 1)

7x2 x 1

Bx C

dx.

Решение.

(x 1)(x

x 1)

	7x2 x 1		A	Bx C
					;
	(x 1)(x2	x 1)	x 1	x2 x 1
A(x2 x 1) (Bx C)(x 1) 7x2 x 1.
x2 : A B 7;
x1 : A C B 1;		A 3; B 4; C 2.
x0 : A C 1;

Таким образом, интеграл примет вид:

7x2 x 1

4x 2

dx.

(x 1)(x

x 1)

x 1

R(x)

A A x A x2

... A xn

3) в случае, когда

многочлена

B x B x2

... B xm

степень числителя не меньше степени знаменателя (n m) дробь с помощью деления столбцом приводят к виду:

R(x)	A A x A x2			... A xn	Qn m (x)	C0	C1x C2 x2		... Cp x p
	0	1	2	n						,
	B	B x B x2		... B xm		B B x B x2			... B xm
	0	1	2	m	0		1	2	m

где Qn-m(x) многочлен степени n – m, а p < m. В этом случае

многочлен

Qn-m(x)

называется

целой,

дробь

C C x C x2

... C

x p

правильной частью R(x).

B B x B x2

... B xm

Пример 1.8. Выделить

целую и

правильную

части

дроби

x2 x 3

x2 3x

Решение.

x2 + x - 3

x2 + 3x

–2x – 3

В результате

x2 x 3

2x 3

x2 3x

Вычислить интегралы (дроби I типа).

x 8

2x3

6x2 x 3

dx .

60.

dx .

61.

x x 3

x 2 1 x

9x 24

2x2 10x 14

dx .

62.

dx .

63.

x2 7x 10

6x 8

dx .

64.

65.

x x 1 x 2

1 x 2

Вычислить интегралы (дроби I и II типов).

2x2 7x 7

66. x 1 2 x 2 dx .

5x2 4x 7

68. x3 x2 8x 12 dx .

x2 2

70. x 1 x 1 2 dx .

67. 3x2 7x3 2x 2 dx . x3 x4

69. x2 1 2 .

Вычислить интегралы (дроби I и III типов).

71. x2 1 x2 2 .

73. 1 x4 dx .

3x2 7x 5

75. x3 3x 2 4x 2 dx .

3x2 8x 23

77. x 1 x2 2x 10 dx .

72. x2 1 2 .

x5 1

74. x3 x2 x dx .

4x2 11x 14

76. x3 6x2 16x 16 dx .

Вычислить интегралы (дроби III и IV типов).

78.*			dx				79.*	dx
									.
	x	2		x	2	2 .		x4 1	.
	x		1	x

80.*

x3 x2 x 1

dx .

81.*

1 2 x

1 x2 4

ОТВЕТЫ

60. 2ln

x 2

3ln

x 1

c .

61. x2

2ln

x 3

c .

62.7ln x 5 2ln x 2 c .

63.2x ln x 2 3ln x 4 c .

64.12 ln x 12 ln x 2 ln x 1 c .

65.		x2		2x									1			ln						x 1										1			ln				x 1					16	ln	x 2	c .
		x2											1																			1												16

	2											6																2															3
		2
66.									ln	x 1								ln								x 2								c .
66.									ln	x 1								ln								x 2								c .
		x 1									1
67.	3ln						x								4ln											x 1								c .

											2
											x									1
68.	3ln				x 2																					2ln									x 3							c .


																x								2
																x								2
						x									1				ln						x 1						c .
						x									1										x 1
69.
69.		2 1 x2														4									x 1
	2											1																					3
	2											1																					3
70.																		ln					x 1														ln			x 1			c .
		3 x 1												4				ln					x 1										4
		3 x 1												4																			4
71.	arctg x											1								arctg										x					c .

															2
															2									2
		1 1 x 2																						1														2x 1					c .
72.			ln																										arctg
		6					1 x x2
		6					1 x x2																				3														3
73.		1	ln					1 x									1				ln				x 1											1		arctg x c .
		1															1																			1

	4														4																		2

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2015699.9 Кб26ПРАКТИКУМ тлп.doc
#
18.03.2015763.83 Кб121Практикум №1 по русскому языку.pdf
#
18.03.2015458.38 Кб62Практикум №2 по русскому языку.pdf
#
10.11.20191.85 Mб1Практикум_Демогр_2012.doc
#
06.03.20161.52 Mб16Практикум_Иннов мен в УП_2 сент 2015.pdf
#
18.03.20152.08 Mб1521Практикум_по_математике(2семестр).pdf
#
18.03.2015459.26 Кб8практикум_по_Электронике_и_МПТ_2_курс.doc
#
14.09.2019733.7 Кб3Практическая 3.doc
#
14.09.20191.36 Mб1Практическая 5.doc
#
19.11.2019302.08 Кб2Практическая грамматика .doc
#
24.11.2018116.32 Кб5практические задания 5,6.docx