![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Ргр «Математический анализ» з а д а ч а 1
- •Контрольные варианты к задаче 1
- •З а д а ч а 2
- •Контрольные варианты к задаче 2
- •З а д а ч а 3
- •Контрольные варианты к задаче 3
- •З а д а ч а 4
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •З а д а ч а 9
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •З а д а ч а 10
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •З а д а ч а 11
- •Контрольные варианты к задаче 11
- •З а д а ч а 12
- •З а д а ч а 15
- •Контрольные варианты задачи 15
- •З а д а ч а 16
- •Контрольные варианты задачи 16
- •Образец выполнения контрольной работы
- •Образец выполнения контрольной работы
- •«Графики функций»
- •Задача №27. Построить графики функций, заданных параметрически,
- •Указания к выполнению
- •Образец выполнения контрольной работы
Образец выполнения контрольной работы
“ Функции нескольких переменных ”
1)
Найти
и
функции
.
Решение
Считаем переменную “y”
постоянной величиной.
Считаем
переменную “х” постоянной величиной.
Ответ:
2)
Показать, что
при
.
Решение. Сначала найдем первые частные производные
Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.
Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.
3)
Вычислить приближенно с помощью
дифференциала
.
Решение.
Введем
функцию двух переменных
.
Так как 2,01=2+0,01,
.
Аналогично
,
т. к.
.
Воспользуемся тем, что
при малых
и
.
Так
как
,
отсюда
следует, что
.
Заменим
приращение функции
ее дифференциалом
,
где
.
Тогда
,
т.
е. в данном случае
.
Вычислим
.
Найдем
.
Для этого сначала найдем частную
производную
по
в произвольной точке.
.
Теперь найдем
;
.
Находим искомое значение корня
.
Если
найти
на калькуляторе, то получим
.
Различие только в четвертом знаке после
запятой.
Ответ:
.
4)
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:
Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.
.
Нашли
одну стационарную точку, в которой
,
это точка
.
Выясним
с помощью вторых производных, есть ли
в
экстремум, и, если есть, какой.
Составляем
определитель
.
Так
как
,
экстремум существует. Так как
,
в стационарной точке
функция имеет минимум. Найдем его.
.
Ответ:
.
5)
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
в треугольнике со сторонами
.
Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.
2
В
1
Д
А С
0 1 2 х
М0
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-uahSgp.png)
Точка
не принадлежит треугольнику
(рис. 7), поэтому значение функции в этой
точке не вычисляем. Переходим ко второму
действию. Треугольник
ограничивают три прямые. Будем
исследовать функцию на экстремум на
каждой из них. Сначала найдем значения
функции в вершинах треугольника.
Рисунок 7
Рассмотрим
границу
:
Подставляя
в выражение функции, получим
Получили
задачу на экстремум для функции одной
переменной. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
на отрезке
.
Находим
при
,
а это значение
не входит в рассматриваемый отрезок
.
На концах отрезка значения функции
уже подсчитаны, это
и
.
Переходим
к границе
:
.
Подставляя
в выражение функции, получим
.
Снова
решаем задачу для функции одной
переменной. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
на отрезке
.
Находим
при
.
Эта точка входит в отрезок
.
Поэтому вычислим значение функции в
этой точке.
.
На
концах отрезка значения функции
подсчитаны заранее, это
и
.
Рассматриваем
третью границу
:
.
Выразим
и подставим в выражение функции:
.
Ищем
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Находим
при
,
а это значение
не входит в
.
Теперь выбираем из найденных значений
функции
наибольшее. Это значение равно 6 в точке
.
А наименьшее значение принимается в
двух точках:
и
.
Ответ:
,
.
6)
Найти производную функции
в точке
в направлении от этой точки к точке
.
Решение.
Напишем
формулу производной функции по
направлению вектора
.
,
где
– орт направления вектора
.
Сначала
найдем вектор
,
в направлении которого будем искать
производную.
.
Найдем длину
.
.
Направляющие косинусы вектора
совпадают с координатами орта
,
поэтому
.
Теперь
найдем частные производные функции
.
Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению:
Вывод.
Функция
убывает по направлению вектора
,
так как полученная производная меньше
нуля.
Ответ: