![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Ргр «Математический анализ» з а д а ч а 1
- •Контрольные варианты к задаче 1
- •З а д а ч а 2
- •Контрольные варианты к задаче 2
- •З а д а ч а 3
- •Контрольные варианты к задаче 3
- •З а д а ч а 4
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •З а д а ч а 9
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •З а д а ч а 10
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •З а д а ч а 11
- •Контрольные варианты к задаче 11
- •З а д а ч а 12
- •З а д а ч а 15
- •Контрольные варианты задачи 15
- •З а д а ч а 16
- •Контрольные варианты задачи 16
- •Образец выполнения контрольной работы
- •Образец выполнения контрольной работы
- •«Графики функций»
- •Задача №27. Построить графики функций, заданных параметрически,
- •Указания к выполнению
- •Образец выполнения контрольной работы
Образец выполнения контрольной работы
“Приложение ПРОИЗВОДНОЙ”
1)
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение.Найдем точки, подозрительные
на экстремум. Для этого возьмем производнуюи приравняем ее нулю.
при
.
– + – +
х
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-qV61FX.png)
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-tMwQqk.png)
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-HZaBkR.png)
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-UV19jL.png)
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-GPOjZo.png)
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-gf_8MV.png)
Рисунок 1
На
тех интервалах, где
,
функция убывает; где
,
функция возрастает. Поэтому интервалы
возрастания функции
и
,
интервалы убывания функции:
и
.
По
рисунку 1 видно, что в точках
и
функция принимает свои минимальные
значения, а при
– максимальное. Найдем эти значения:
Ответ:
.
2)
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке
.
Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения:
при
,
,
Найдем
значение функции только при
.
Так как
,
то
.
Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел – это 10. Теперь наименьшее – это 3.
Ответ:
3)
Найти точки перегиба функции
.
Решение.
Так как
точками перегиба являются те точки из
области допустимых значений, где вторая
производная
меняет знак, сначала найдем
,
затем
и приравняем
к нулю:
при
,
т. к.
для всех
.
+
2
Рисунок 2
Так
как в точке
изменила знак, то функция
изменила выпуклость на вогнутость,
т.
е.
– точка перегиба функции (рис. 2).
Ответ:
– точка перегиба.
4)
Найти асимптоты графика
.
Так
как вертикальную асимптоту имеет функция
с разрывом 2-го рода в точке
,
сначала найдем точки разрыва и исследуем
поведение функции в их окрестностях.
О.Д.З.
Значит,
– точка разрыва, так как функция в этой
точке не определена. Найдем предел слева
и предел справа функции
при подходе к точке
.
Выясним, разрыв какого рода терпит
данная функция в этой точке.
.
Предел слева равен
.
.
Предел слева равен
.
Так
как односторонние пределы бесконечны,
то в точке
разрыв 2-го рода, поэтому уравнением
вертикальной асимптоты будет
.
Функция
также может иметь или не иметь наклонные
асимптоты. Если они есть, то их уравнение
запишем в виде
,
где
.
Найдем
правую наклонную асимптоту при
.
Применяем правило Лопиталя:
Применяем
правило Лопиталя:
у
Подставляем
в уравнение асимптоты
и получаем уравнение правой асимптоты
Найдем
левую асимптоту при
.
Повторяя все предыдущие действия, как
и для
,
получаем уравнение левой асимптоты:
(рис. 3)
Ответ:
Вертикальная асимптота
.
Наклонная асимптота
.
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-Auwf7q.png)
-2
-2 -1 1 х
-2 -
Рисунок 3
5)
Исследовать функцию
и построить ее график.
Исследование функции будем проводить по плану.
1.
Найдем О.Д.З. и, если есть асимптоты
О.Д.З. ,
– любое. Следовательно, нет точек
разрыва, поэтому вертикальных асимптот
нет.
2. Найдем точки пересечения графика
функции с осями координат, исследуем
функцию на четность, тригонометрические
функции – на периодичность. Пусть
,
тогда
.
Проверим четность функции:
.
Значит, данная функция нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат.
3.
Исследуем монотонность функции с помощью
.
.
при
![](/html/2706/288/html_pSJeK9dAea.WlFr/img-hKNxP9.png)
Получаем,
что функция
всюду возрастающая, не имеющая точек
экстремума, так как нет ни одной точки,
в которой
равен нулю или бесконечности (рис. 4).
+ +
0
х
Рисунок 4
4.
С помощью
находим точки перегиба.
при
и
.
+ +
0
Рисунок
5
Все
точки, в которых
,
являются точками перегиба, так как в
них
меняет знак на противоположный (рис.
5).
Найдем значения функции в этих точках:
.
5. Найдем
наклонные асимптоты, если они есть:
.
Сначала
,
тогда
По
правилу Лопиталя:
Теперь
найдем
Получаем
– уравнение правой асимптоты. Повторяя
прежние рассуждения уже при
,
получим уравнение левой асимптоты:
.
6. Строим график функции, начертив сначала все асимптоты, отметив точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (рис. 6).
у
1
-3
-1 0 1
3 4 х
-1
Рисунок 6