- •§14. Линии второго порядка
- •1°. Определение эллипса, каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса.
- •2°. Определение гиперболы, каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы.
- •3°. Определение параболы, каноническое уравнение, исследование формы.
- •4°. Директрисы эллипса и гиперболы.
- •6°. Исследование общего уравнения второго порядка.
6°. Исследование общего уравнения второго порядка.
Пусть на плоскости задана прямоугольная определяемая репером . Рассмотрим уравнение
, (22)
в котором коэффициенты и не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют (22), не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол старые координаты точки будут связаны с её новыми координатами формулами
, .
В новых координатах уравнение (22) имеет вид
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением в преобразованном уравнении. Коэффициент при равен
.
Если , то поворачивать систему координат не будем. Если же , то выберем угол так, чтобы обратилось в нуль.
Это требование приведёт к уравнению
. (23)
Если , то , и можно положить . Если же , то выбираем . После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
. (24)
Выражения для коэффициентов уравнения (24) через коэффициенты (22) легко вычисляется.
Утверждение 1. Если в уравнение (24) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.
В самом деле, пусть, например, . Перепишем (3) в виде
.
Если сделать перенос начала координат, определяемый формулами , , то уравнение приведётся к виду
,
как и требовалось.
А. Далее перечислим возможные случаи уравнения (24). , т.е. оба коэффициента отличны от нуля, то согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведётся к виду
.
Возможные следующие подслучаи.
А1. (коэффициенты и имеют один знак). Для имеются следующие три возможности:
А1а. Знак противоположен знаку и . Тогда перенесём в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид
,
, .
т.е. в этом случае линия является эллипсом.
А1б. Знак совпадает с общим знаком и . Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду
.
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Такое уравнение называется уравнением мнимого эллипса.
А1в. . Уравнение имеет вид
.
Ему удовлетворяет только одна точка , . Уравнение называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.
А2. – коэффициенты и имеют разные знаки. Относительно имеются следующие две возможности.
А2а. . В этом случае уравнение приводится к виду
,
полученная линия – гипербола.
А2б. . Уравнение имеет вид
.
Его левая часть разлагается на множители и и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из множителей. Поэтому эта линия состоит из двух прямых, которые пересекаются в начале координат.
Б. Если , то, один из коэффициентов и равен нулю. Пусть и , (иначе порядок уравнения был бы равен 1, а не 2). Используя утверждение 1, риведём уравнение к виду
.
Б1. Пусть . Сгруппируем члены следующим образом:
.
Перенесём начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода , . Тогда уравнение примет вид
,
или
,
где . Таким образом получили параболу.
Б2. Допустим, что . Тогда уравнение имеет вид . Относительно есть следующие три возможности:
Б2а. , т.е. знаки и противоположны. Разделив на , приведём уравнение к виду
.
Левая часть уравнения разлагается на множители и . Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.
Б2б. , т.е. знаки и совпадают. Разделив на , приведём уравнение к виду
.
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к такому каноническому виду, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Б2в. . После деления на уравнение принимает вид
.
Это уравнение эквивалентно уравнению , и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к этому виду, называется уравнением пары совпавших прямых.
Соберём вместе полученные результаты.
Теорема 3. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (24).
Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) .
В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы; 2) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 3) гиперболы; 4) пары пересекающихся прямых; 5) параболы; 6) пары параллельных прямых; 7) прямые (пары совпавши прямых).
Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.
Пример 1.
Решение. Так как , то и формулы (4.31) имеют вид
.
Тогда , т.е. – равносторонняя гипербола. Её асимптотами являются оси , .
Пример 2. .
Решение. Имеем
; ;
; .
Выберем . Тогда , , т.е. формулы преобразования координат имеют вид
, .
Подставив формулы преобразования координат в исходное уравнение, получим
.
Рис. 10.
Выделим полные квадраты: . Осуществив параллельный сдвиг координатных осей
Получим каноническое уравнение эллипса в декартово прямоугольной системе координат, определяемой репером (рис. 10):
.