- •§14. Линии второго порядка
- •1°. Определение эллипса, каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса.
- •2°. Определение гиперболы, каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы.
- •3°. Определение параболы, каноническое уравнение, исследование формы.
- •4°. Директрисы эллипса и гиперболы.
- •6°. Исследование общего уравнения второго порядка.
2°. Определение гиперболы, каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы.
Определение 3. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Пусть расстояние между фокусами равно . Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем ДПСК так же, как и для эллипса. Тогда фокус имеет координаты , а фокус – координаты .
Для произвольной точки плоскости определим её фокальные радиусы и по формулам: , . По определению, точка принадлежит гиперболе, если есть величина постоянная. Пусть . Это равенство является необходимым и достаточным условием расположения точки на данной гиперболе. Из этого равенства, используя выражения (1) для фокальных радиусов и , получаем уравнение
, (8)
являющиеся уравнением гиперболы в выбранной прямоугольной системе координат. Переписывая (8) в виде
и возведя обе части равенства в квадрат, получим
.
Отсюда упрощений имеем
.
Возведя обе части снова в квадрат, получим
,
откуда
.
Так как для гиперболы , то, положив , получим
. (9)
Мы показали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (9). Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение: любая точка с координатами , удовлетворяющими уравнению (9), есть точка гиперболы.
Из (9) находим . Тогда
.
Аналогично получим
.
Так как из равенства (13) следует, что и, по определению, , то для имеем
, , (10)
поэтому . Для получим
, . (11)
Следовательно, .
Таким образом, для рассматриваемой точки имеем , и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы. Так как в уравнение (9) входят только чётные степени координат, то, как и в случае эллипса, оси координат являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии. Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью, а точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы.
Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются вершинами. Полагая в уравнении (9), получаем – точка пересечения гиперболы с осью . Следовательно, точки , – вершины гиперболы. Положив , из (9) получим невозможное равенство , которое означает, что гипербола не пересекается с осью .
Величина и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.
Из уравнения (9) получаем
,
т.е. . В силу симметрии достаточно исследовать форму гиперболы в первой четверти, а в остальных четвертях построить гиперболу по симметрии. Из уравнения (9) для первой четверти получаем
. (12)
Функция в первой четверти монотонно возрастает и является выпуклой вверх, так как
,
.
Найдём наклонную асимптоту для графика функции (12) в первой четверти:
,
.
Следовательно, прямая – наклонная асимптота для гиперболы. В силу симметрии асимптотами гиперболы (9) являются прямые . Других асимптот нет.
Построим гиперболу (9). Сначала построим так называемый основной прямоугольник гиперболы со сторонами , . Очевидно, что асимптоты гиперболы являются прямыми, на которых расположены диагонали этого прямоугольника. Из приведённых выше рассуждений следует, что гипербола имеет вид, изображённый на рис. 3, и состоит из левой и правой ветвей.
Рассмотрим также уравнение
. (13)
Оно задаёт гиперболу, фокусы которой расположены на оси , а основной прямоугольник и асимптота те же, что у гиперболы (9) (рис. 4). Гиперболы (9) и (13) называются сопряжёнными друг с другом.
Рис. 3
Рис. 4
Определение 4. Эксцентриситетом гиперболы называется число
.
Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше , тем больше вытягивается основной прямоугольник (так как ), а вслед за ним и гипербола вдоль оси .
Фокальным параметром гиперболы называется длина отрезка перпендикуляра к оси , восстановленного в одном из фокусов до пересечения с гиперболой в точке , т.е. . Точка имеет координаты , следовательно,
, откуда .
Фокальные радиусы и произвольной точки гиперболы в силу соотношений (10) и (11) для правой ветви гиперболы задаются формулами
, , (14)
для левой –
. (15)