58. Спектральная плотность случайных колебаний. “Белый шум” и его свойства.

Энергетический спектр

Комплексная спект­ральная плотностьможет быть спект­ральной характеристикой некоторой реали­зации, имеющей длительностьТ, но не стационарного случайного сигнала. В качестве характеристики такого сигнала принимают спектральную плотность мощ­ности (энергетическую спект­ральную плотность)

, (7-77)

где—спектральная ф-ция реализации сигнала на участке- Т, +Т.

Теорема Винера — Хинчина утверждает, что спектральная плотность мощности и автокорреляционная ф-циясвязаны преобразованиями Фурье:

; (7-78) (7-79)

В процессе передачи полезные сигналы всегда подвергаются искажению которые называются шумами.

Источники шумов могут быть различными. В зоне от источника шумы делят на исскуственные и естественные. Искусственные создаются системой машина-человек, естественные природой. В основном встречаются шумы дробовой и тепловой.

Дробовой шум присутствует в эл. приборах и возникает в следствии случайного характера эмиссии электронов; случайных диффузий носителей. Спектральная плотность мощности такого шума можно считать постоянной, до частот порядка 100 МГц.

Тепловой шум возникает в следствии случайного движения электронов в проводящей среде (резистор). Спектр плотности мощности S(ω)= 2kTGα / (α²+ ω²). k – постоянная Больцмана; Т – температура окружающей среды; G – проводимость среды; α – среднее число столкновений электронов в секунду.

Белый шум. Для анализа радиотехнических цепей и сигналов большой практический интерес представляет специфический случайный процесс, теоретически имеющий равномерный спектр мощности во всей полосе частот:

(2.121)

Такой идеализированный случайный процесс получил название белый шум по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части практически равномерный сплошной спектр.

Определим функцию корреляции белого шума. Используя формулы (2.117) и (2.121), запишем

(2.122)

Итак, мгновенные значения напряжения (или мощности) белого шума в любые два сколь угодно близкие моменты времени некоррелированны, и поэтому интервал корреляции= 0. Поэтому белый шум часто называютдельта-коррелированным.

Проведем аналитическое толкование понятия «белого шума». Если по равенству Парсеваля определить дисперсию такого шума, то получим значе­ние что представляется абсурдным с физической точки зрения. Этот результат является следствием абстрактного представления о бесконечной протяженности спектра мощности по оси частот. Однако использование по­нятия «белого шума» оказывается очень удобным для анализа характеристик случайного процесса на выходе радиотехнических устройств, когда полоса про­пускания радиотехнической цепи сравнима с шириной спектра реального шума.

При обработке в приемнике оптимальным фильтром ширина спектра белого шума ограничивается. Вследствие этого шум на выходе оптимально­го фильтра становится уже коррелированным. Принцип оптимальной обра­ботки сигнала, находящегося в шумах, будет рассмотрен ниже.

59. Случайные колебания и корреляционные функции.

Случайные колебания – это колебания, мгновенные значения которых в любые моменты времени неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице. Практически все реальные случайные колебания или большинство из них есть хаотическая функция времени. Именно случайные колебания лежат в основе информации. Случайным сигналом является напряжение электрического тока, полученное в результате преобразования речи, музыки и т.д. Кроме информационных сигналов в пространстве происходят электромагнитные процессы – помехи. Борьба с помехами – одна из главных проблем радиотехники. Возможны два сочетания полезного сигнала и помехи: 1. аддитивная смесь сигнала и помехи, когда они линейно суммируются; 2. мультипликативная смесь, когда сигнал перемножается с помехой. Помехи, как правило, переносят дезинформацию. Для анализа случайных сигналов используют методы статистической радиотехники, которая базируется на теории вероятностей и теории случайных процессов. Самое многое, что можно знать заранее о случайном сигнале – это вероятность, с которой она в будущем может принять тот или иной вид из множества возможных. Случайные сигналы можно описать также совокупностью неслучайных численных характеристик, постоянных или меняющихся во времени (среднее значение случайной функции, среднеквадратическое отклонение, дисперсия; корреляционная функция, которая выражает статистическую связь между мгновенными значениями колебания, взятыми в 2 произвольных момента времени).

Корреляционные функции. Математическое ожидание и дисперсия – важные характеристики случайных функций. Но для описания некоторых особенностей случайных функций этих характеристик недостаточно. Рассмотрим 2 случайные функции X₁(t) и X₂(t) в моменты времени t₁ – t₂.

Функции имеют почти одинаковые математические ожидания и дисперсии, но характер этих случайных величин отличен. Для 1-ой характерно плавное изменение и если она в точке t₁ приняла значение меньше среднего, то вероятно, что и в точке t₂ она примет значение меньше среднего. Напротив, для случайной функции X₂(t) характерно быстрое затухание зависимости M₂[X₂(t)] её значениями, по мере увеличения интервала t₁ – t₂. Это говорит о том, что внутренняя структура этих процессов различна, но эти различия не обнаруживаются ни математическим ожиданием, ни дисперсией. Для её описания вводят специальную характеристику – корреляционная функция. Она характеризует степень зависимости между сечениями случайных функций относящимся к различным моментам времени. Автокорреляционной функцией случайного эргодического процесса называется среднее по времени от произведения по X:

X(t)*X(t+τ),

где τ – промежуток между соседними аргументами случайной функции.

Для стационарного процесса вид автокорреляционной функции не зависит от участка функции X(t) выбранного для нахождения корреляционной функции:

R_x(τ) = lim

Корреляционная функция – это чётная функция от τ, поэтому на границах она симметрична относительно оси ординат. Корреляционная функция – убывающая и чем слабее связь между предыдущими и последующими значениями, тем быстрее убывает корреляционная функция. Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями называют чистым случайным процессом или белым шумом.