53. Фильтрация сигналов. Операторы фильтрации.

Оценка процессов (фильтрация).

Оценкой процессов называется выделение из смеси с шумом сигналов или сообщений, представляющих собой случай­ные ф-ции времени. В каждый данный мо­менттребуется обеспечить наилучшее воспроизведение значения колебания, т. н. простое воспроизве­дение в текущем времени.

Для фильтрации колебания, пред­ставляющего собой полезное сообщение, из аддитивной смеси с шумомиспользуется оптимальный линейный фильтр. Крите­рием оптимальности фильтра обычно явля­ется минимум среднего квадрата ошибки воспроизведения

(7-303)

где— колебание на выходе фильтра.

Радиосигнал обычно является лишь пе­реносчиком полезного сообщения, и колеба­ниесвязано с сообщениемфунк­циональной зависимостью. При необ­ходимости отфильтровать сообщение, представляющее собой случайный процесс и переносимое колебанием, применя­ются оптимальные нелинейные фильтры. То, что фильтр становится нелинейным, вытека­ет из нелинейной зависимости сигнала от передаваемого сообщения. Критерием опти­мальности фильтра при нелинейной фильт­рации обычно служит также минимум сред­него квадрата ошибки воспроизведения со­общения.

Стационарные оптимальные линейные фильтры

Предполагается, что на вход фильтра действует сумма сигналаи шума:

Сигнал и помеха представляют собой стационарные нормальные случайные про­цессы с нулевыми средними значениями, из­вестными корреляционными ф-циямиии соответствующими энергетическими спектрамии

Линейный стационарный фильтр полно­стью характеризуется импульсной, переход­ной ф-цией , связанной с частотно-пе­редаточной ф-циейпреобразованием Фурье:

В общем случае колебание на выходе фильтра определяется через входное колебаниесоотношением

Фильтр должен минимизировать вели­чину

При статистической независимостииимпульсная переходная характеристика оптимального фильтраявляется решением интегрального уравнения Вине­ра—Хопфа [7, 19]

(7-304)

Комплексная передаточная ф-ция опти­мального фильтра (без учета требований физической реализуемости, когда условие не принимается во внимание) опреде­ляется соотношением

, (7-305)

а средний квадрат значения ошибки вос­произведения равен:

(7-306)

Из ф-л (7-305) и (7-306) видно, что при указанных условиях, когда сигнал и шум представляют собой независимые стацио­нарные нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями, различие сигнала и шума заключено только в спект­ральных плотностях. При этом задача фильтрации состоит в том, чтобы по воз­можности полнее воспроизвести спектр сиг­нала и в максимальной степени подавить спектр помехи. Чем меньше перекрываются спектры сигнала и помехи, тем меньше ошибка воспроизведения. Если спектры не перекрываются совсем, то из (7-306) видно, что ошибка воспроизведения становится равной нулю. Фильтр, характеризуемый ф-лой (7-305), физически не реализуем. При вычислении комплексной передаточной ф-ции этого фильтра

(7-307)

интегрирование ведется в пределах отдо, и, следовательно, предполагается существование отличного от нуля отклика до момента появления сигналаТем не менее полученный результат представляет несомненный интерес, т. к. оп­ределяет потенциальную точность воспроиз­ведения процесса: ни один реальный фильтр не может дать меньшей ошибки. Одним из направлений развития теории оптимальной линейной фильтрации являет­ся т. н. «калмановская фильтрация», в рам­ках которой характеристики сигналов не­посредственно не задаются, а рассматривается дифференциальное уравнение системы, порождающей эти сигналы.

Оптимальная нелинейная фильтрация

Предполагается, что на входе приемни­ка имеется сумма помехи и сигнала. Поме­ха представляет собой нормальный белый шум с нулевым средним значением. Сигнал является высокочастотным колебанием, изменения одного из его параметров пред­ставляют собой полезное сообщение;является медленным нормальным случай­ным процессом, т. е. время корреляции со­общения много больше времени корреляции шума:. Оптимальный нели­нейный фильтр должен с наибольшей воз­можной точностью воспроизвести на выходе изменяющийся параметрНа рис. 7-79 приведен вариант струк­турной схемы оптимального нелинейного фильтра.

Рис. 7-79. Схема оптимального нелинейного фильтра.

Устройства подобного типа нахо­дят широкое практическое применение. На вход фильтра подается напряжение, а на выходе образуется из­меренное значение сообщения (его оценка). В дискриминаторе, являющемся в об­щем случае элементом нелинейным, радио­сигнал демодулируется, из него выделяется сопровождаемое шумом полезное сообще­ние. Напряжение, соответству­ющее величине, сравнивается с напряжением, подводимым к дискримина­тору с выхода фильтра по линии обратной связи. Физический смысл появления в схеме оптимального приемника обратной связи по воспроизводимому сообщению состоит в следующем. При малых значениях выходно­го напряжения характеристику дискримина­тора можно считать линейной (для воспро­изводимого сообщения). Поэтому для обес­печения неискаженного воспроизведения сообщения разностьнужно под­держивать достаточно малой. Эту задачу и помогает решить линия обратной связи. В результате на выходе дискриминатора образуется напряжение

. (7-308)

Имеющийся в схеме линейный фильтр предназначается для наилучшего отфильтровывания белого шума и минимизации среднего квадрата разности:

Так как постоянная составляющая по­лезного сообщения, являющаяся априорно известной, на выход фильтра не проходит, то ее восстанавливают с помощью схемы суммирования.

Фильтры.

В радиоэлектронных устройствах широкое при­менение находит такой вид линейных цепей (чаще их называют четырехпо­люсниками), как электрические фильтры, предназначенные для выделения (пропускания) или подавления (ослабления) сигналов с заданным спектром частот. Область частот, в которой фильтры обладают малым ослаблением (затуханием), называется полосой пропускания. Область частот, в которой фильтры существенно ослабляют сигнал, определяется как полоса задержи­вания (заграждения, подавления).

По характеру расположения полосы пропускания и полосы задержива­ния фильтры разделяются на четыре основных вида:

1. Фильтры нижних частот (ФНЧ), полоса пропускания кото­рых расположена в области частот отдо некоторой граничной верхней частоты(рис. 3.48,а).

2. Фильтры верхних частот (ФВЧ), полоса пропускания ко­торых простирается от некоторой граничной нижней частотыдо беско­нечности (рис. 3.48,б).

3. Полосовые фильтры (ПФ), имеющие полосу пропускания в области между граничной нижней частотойи граничной верхней часто­ той(рис. 3.48, в).

4. Режекторные, или заграждающие фильтры (РФ), полоса задерживания которых расположена в области частот от(рис. 3.48,г).

Рис. 3.48. Амплитудно-частотные характеристики фильтров: а — нижних частот, б—верхних частот; в — полосового; г—режекторного