![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева Метод простых итераций
- •Метод Чебышева
- •Лабораторная работа № 2. Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 5. Метод простых итераций решения уравнения
- •0,271828Е 00
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 6. Приближённое решение уравнения методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 7. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 8. Приближённое решение задачи Коши методом Эйлера
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 9. Приближённое решение задачи Коши методом РунгеКутта
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 10. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева
- •Лабораторная работа № 11. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом скорейшего спуска
- •1. Постановка задачи
- •2. Теоретическая часть
- •3. Алгоритм
- •2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
- •3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона
- •5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона
- •2) Прогонка в направлении оси
- •Прямой ход прогонки
- •Обратный ход прогонки
- •Прямой ход прогонки
- •3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле
- •4. Алгоритм решения задачи Дирихле
- •Прямой ход прогонки
3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле
Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов
,
(8)
,
(9)
.
В разностной схеме
(8), (9) шаг
по времени делится на два полушага.
Разностное уравнение (8) отвечает первому
полушагу, в нём величины
и
считаются уже известными (в частности,
),
а неизвестные имеют верхний индекс
.
Правая часть задана. Перепишем разностное
уравнение (8), предварительно умножив
его на
,
следующим образом:
(10)
где
известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия
(11)
в соответствии с условием (5).
Разностная задача
(10), (11) распадается на
независимых трёхточечных разностных
краевых задач, отвечающих каждому
фиксированному значению
,
.
Разностная краевая задача (10), (11) решается
методом прогонки при каждом
отдельно. Прогонка осуществляется по
индексу
,
то есть в направлении оси
.
После того как
найдены все неизвестные
на промежуточном слое с номером
,
переносим их в разностном уравнении
(9), соответствующем второму полушагу,
вправо. Это разностное уравнение
переписываем в виде
,
(12),
где
известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5), краевые условия
.
(13)
Задача (12), (13) тоже
распадается на
независимых трёхточечных разностных
краевых задач, отвечающих каждому
фиксированному
,
.
Каждая такая задача решается методом
прогонки. Прогонка осуществляется
теперь уже по индексу
,
то есть в направлении оси
.
4. Алгоритм решения задачи Дирихле
Как уже было
замечено выше, будем искать решение
задачи Дирихле для эллиптического
уравнения с переменными коэффициентами
в области
Начальные условия
–натуральное
число,
шаг по
и по
.
– начальное
приближение. Полагаем
Прогонка в направлении оси
Решим методом
прогонки при каждом фиксированном
систему уравнений (10)
,
где
известно. Обозначим
,
тогда уравнение (10) можно записать в виде:
,
(10*)
где
,
Прогонка
осуществляется при каждом фиксированном
.
Прямой ход прогонки
Вычислим коэффициенты
Так
как
,
то получаем
После того, как
будут вычислены коэффициенты
вычислим
Так как
,
то получаем
.
При
получаем
Обратный ход прогонки
После того как
будут найдены все
найдём все неизвестные
по формуле
Таким образом
вычисляются
в силу граничных условий.
Прогонка в направлении оси
Решим методом
прогонки при каждом фиксированном
систему уравнений (12)
,
где
известно из предыдущих вычислений.
Обозначим
и перепишем систему уравнений (12) в виде:
,
(12*),
где
.
Прогонка
осуществляется при каждом фиксированном
.
Прямой ход прогонки
Вычислим коэффициенты
.
Так как
,
то получаем
После того, как
будут вычислены коэффициенты
вычислим
Так как
,
то получаем
.
При
получаем
Обратный ход прогонки
После того как
будут найдены все
найдём все неизвестные
по формуле
Таким образом
вычисляются
известно из начальных условий.
Оформление результатов работы
Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значений точного решения на сетке.
Лабораторная работа № 14
Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона
Постановка задачи
Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:
(1)
(2)
(3)
Пусть
,
где
(n-
номер
варианта). Найти
при которых
является точным решением задачи (1) –
(3). При найденных
и
найти приближенное решение задачи (1) –
(3), используя схему Кранка-Николсона и
перечисленные выше методы решения
стационарных задач.
Теоретическая часть
Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.
,
(4)
,
(5)
,
(6)
где
Из (4) получим, что
обозначая
получим операторное уравнение
где
Таким образом, решение задачи (4) – (6)
сводится к последовательному решению
операторных уравнений
(7)
на временной сетке
(по временным слоям). Для собственных
значений оператор
получаем
оценки
(8)
Решение уравнения
(7) при фиксированном
(на
временном слое
)
будем искать итерационными методами
(9)
полагая
где
– последняя итерация
на предыдущем временном слое.
Алгоритм метода простых итераций
В итерационном
процессе (9) полагаем
.
Учитывая (8), получаем
.
(10)
Итерационный процесс (9) принимает вид:
(11)
Полагая
получим
.
Алгоритм метода Чебышева
В итерационном
процессе (9)
вычисляется по формуле
(12)
где
вычисляется по формуле (10), а
(13)
Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=5. По формуле
(14)
и находим
Далее повторяем итерационный процесс
(14), полагая
.
Процесс продолжаем до совпадения первых
четырех знаков в последних итерациях.
Алгоритм метода скорейшего спуска
Итерационный
процесс осуществляется по формуле
(14), где параметры
вычисляются
по формуле
В новых обозначениях (14) можно записать в виде:
(15)
Оформление результатов работы
Найти приближенное
решение задачи (1) - (3) указанными выше
методами при
,
полагая
Результаты вычислений по каждому методу
представить в виде трех таблиц: две
последовательные итерации
с совпадением первых четырех знаков и
значение точного решения
на сетке при
Учебное издание
Голичев Иосиф Иосифович
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Подписано в печать 04.09.2006. Формат 60х84 1/16.
Печать плоская. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Усл.печ.л. 3,2. Усл. кр.-отт. 3,2. Уч. Изд.л.3,1.
Тираж 100 экз. Заказ №
ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет
Редакционно-издательский комплекс УГАТУ
450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12