3°. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.

В случае если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае, чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем строить цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование .

Определение 5. Векторы из пространства называются линейно независимыми относительно подпространства , если их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит .

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из линейно зависимы относительно любого подпространства.

Определение 5. Базисом пространства относительно подпространства называется такая система линейно независимых векторов из , которая после пополнения каким-нибудь базисом из образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в , дополнить его до базиса во всём пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из . Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему линейно независимых векторов относительно можно дополнить до базиса относительно . Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой–нибудь базис подпространства . Получится некоторая система векторов из , которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить базис относительно , нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве , а затем отбросить базис подпространства .

Итак, пусть преобразование в пространстве имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю.

Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п.1:

,

где подпространство есть ядро преобразования . Так как преобразование в пространстве не имеет отличных то нуля собственных значений, то, очевидно, совпадает при этом со всем пространством .

Выберем в максимальном из этих подпространств базис относительно содержащегося в нем подпространства . Пусть векторы этого базиса будут

.

(10)

Очевидно, что это будут присоединенные векторы –го порядка. Мы уже видели (см. упражнение на стр.211), что . Поэтому векторы

лежат в . Покажем, что эти векторы линейно независимы в относительно лежащего в нем подпространства . Действительно, пусть не все и

.

(11)

Тогда вектор , а это противоречит предположению, что векторы линейно независимы над .

Дополним векторы до базиса в относительно . Мы получим тогда векторов , , которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка .

Снова применим к этим векторам преобразование и полученную систему векторов из дополним, как и выше, до базиса в относительно . Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.

Расположим полученные векторы в следующую таблицу

.

(12)

Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве . Векторы двух нижних строчек образуют базис в , так как это есть базис относительно в соединении с базисом . Векторы трех нижних строчек образуют базис в и т.д. Наконец, все векторы таблицы образуют базис в , т.е. во всем пространстве .

Покажем, что в этом базисе матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы (12), например, для определенности первый.

Обозначим для удобства через – через и т.д. и рассмотрим действие преобразования на каждый из этих векторов. Так как – собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, то .

Дальше, по определению,

и аналогично

.

Таким образом, преобразование переводит векторы первого столбца снова в себя, т.е. подпространство , натянутое на эти векторы, инвариантно относительно . Матрица преобразования в подпространстве в базисе имеет вид

.

(13)

Матрица (13) есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению . Обозначается . Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы (12), и размерность каждого такого подпространства равна числу векторов в соответствующем столбце. Так как матрица преобразования в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (12), имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространстве в базисе, состоящем из всех векторов таблицы (12), состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца.

Если вместо преобразования рассмотреть преобразование , то, так как матрица преобразования диагональна, мы получим тот же результат для преобразования пространства , имеющего только одно собственное значение, равное произвольному числу . Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования будут иметь вид:

.

(14)

Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования мы можем разложить пространство в сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование имеет только одно собственное значение (см. формулу (11)), мы получаем отсюда полное доказательство теоремы.

Теорема 4. Пусть задано произвольное линейное преобразование в комплексном пространстве измерений. Предположим, что у имеется линейно независимых собственных векторов

,

соответствующих собственным значениям . Тогда существует базис, состоящий из групп векторов *):

,

(1)

В котором преобразование имеет следующий вид:

,

(2)

5^o. Примеры.

Найти жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жордановому базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей

а) .

Характеристический многочлен – собственное значение. ~ единственный собственный вектор .

=.

.

=~.

.

;

;

.

.

.

.

б) .

~~2 собственных вектора, .

=~ ~.

=.

.

.

– собственный вектор.

Другой собственный вектор: .

. || = .

.

=

===.

1 В самом деле, если - собственное значение преобразования , т.е. , то , т.е. - собственный вектор , отвечающий собственному значению .