![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§8. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме
- •1°. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.
- •2О. Прямая сумма подпространств
- •Обозначение. .
- •3°. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.
- •3°. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.
2О. Прямая сумма подпространств
Пусть
и
– два подпространства линейного
пространства
.
Определение
4. Будем
говорить, что векторное пространство
представляет собой прямую
сумму
подпространств
и
,
если
может быть единственным образом
представлен в виде суммы
,
где
,
.
Обозначение. .
В
этом случае говорят, что
разложимо в прямую сумму подпространств.
Обобщение.
Если
– подпространства
мжет быть единственным образом представлен
в виде
,
где
,
то сумма
называется прямой суммой и обозначается
.
Пример.
Пусть
–
–мерное
линейное пространство с базисом
.
Пусть
,
т.е.
– линейная оболочка, натянутая на вектор
:.Тогда
.
Возможность других представлений следует из
Теорема
1. Для того,
чтобы пространство
было прямой суммой своих подпространст
и
достаточно, чтобы
.
Доказательство.
Пусть
– базис
и
– базис в
и
.
Докажем, что
– базис в
.
Так как по условию
,
то достаточно показать, что
– линейно независимы. Рассмотрим
линейную комбинацию этих элементов и
приравняем её к нулю:
т.к.
слева
,
а справа
,
а
,
вектора
– линейно независимы.
Таким
образом,
может быть разложен по базису:
,
где
и
,
т.е.
.
Осталось
показать, что такое представление
единственно.
Пусть
и
т.к.
.
■
Замечание.
Если
,
но сумма не прямая, то представление
не единственно. Например,
и
– подпространства и
.
На
и
.
Иначе дело обстоит, если
– такое же, а
.
3°. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.
Пусть
– некоторое собственное значение
преобразования
.
В этом пункте мы покажем, что пространство
можно разложить в прямую сумму двух
инвариантных подпространств, в первом
из которых преобразование
имеет лишь одно собственное значение
,
а во втором у преобразования
уже нет собственного значения
.
Не
ограничивая общности, можно считать,
что
.
Действительно,
пусть
.
Рассмотрим преобразование
.
Оно уже имеет собственное значение,
равное нулю1.
Очевидно, что инвариантные подпространства
преобразований
и
совпадают.
Итак,
впредь мы считать, что преобразование
имеет собственное значение
.
Рассмотрим введенное в п. 1 инвариантное
подпространство
,
состоящее из всех собственных и
присоединенных векторов преобразования
,
отвечающих собственному значению
.
Как мы помним, оно является ядром
преобразования
,
т.е. состоит их всех векторов
,
для которых
.
В
качестве второго слагаемого прямой
суммы мы возьмем подпространство
–
образ пространства
при том же преобразовании
.
Легко
видеть, что
также инвариантно относительно
преобразования
.
Действительно, если
,
т.е.
,
то
,
т.е.
также принадлежит
.
Теорема
2. Пространство
можно разложить в прямую сумму инвариантных
подпространств
и
.
При этом подпространство
состоит только из собственных и
присоединенных векторов, отвечающих
собственному значению
,
а в подпространстве
преобразование
обратимо (т.е.
не является собственным значением
преобразования
в подпространстве
).
Доказательство.
Для доказательства первого утверждения
нам достаточно показать, что пересечение
подпространств
и
равно нулю. Допустим противное, т.е.
пусть существует такой вектор
такой, что
и
.
Так как
,
то
|
(6) |
Далее,
так как
,
то
|
(7) |
Но
из (6) и (7) следует, что существует такой
вектор
,
для которого
и в то же время
.
Это значит, что
есть присоединенный вектор преобразования
с собственным значением
,
не принадлежащий подпространству
,
что невозможно, так как
состоит из всех таких векторов.
Таким
образом, мы доказали, что пересечение
и
равно нулю. Так как сумма размерностей
этих подпространств равна
(это ядро и образ преобразования
),
то отсюда следует, что пространство
раскладывается в прямую сумму этих
подпространств:
|
(8) |
Докажем
теперь второе утверждение теоремы, т.е.
что в подпространстве
преобразование
не имеет нулевого собственного значения.
Действительно, если бы это было так, то
в
существовал бы вектор
такой, что
.
Но это равенство означает, что
,
т.е. является общим вектором
и
,
а мы доказали, что таким вектором может
быть только нуль. ■
Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.
Если
– некоторое собственное значение
преобразования
,
то пространство
можно разложить в прямую сумму инвариантных
подпространств
и
,
в первом из которых преобразование
имеет только собственное значение
,
а во втором все собственные значения
отличны от
.
Применяя
полученный результат к преобразованию
в пространстве
и к некоторому собственному значению
этого преобразования, мы «отщепим»
инвариантное подпространство, отвечающее
собственному значению
.
Продолжая этот процесс, пока не будут
исчерпаны все собственные значения
преобразования
,
мы получим доказательство следующей
теоремы:
Теорема
3. Пусть
преобразование
пространства
имеет
различных собственных значений
.
Тогда
можно разложить в прямую сумму
инвариантных подпространств
:
|
(9) |
Каждое
из подпространств
состоит только из собственных и
присоединенных векторов, отвечающих
собственному значению
.
Другими
словами, для каждого
существует такое число
,
что для всех
выполнено
.
У нас осталась еще одна, впрочем, не менее важна задача – выбрать в каждом подпространстве базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будет сделано в следующем пункте.