ЦУА_ПРАКТИКУМ
.pdfACER: 013 ЦУА\ЦУА_ПРАКТИКУМ.docx
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра АТПП
ПРАКТИКУМ
по дисциплине
«ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА АВТОМАТИКИ»
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
Теория и примеры
Уфа 2013
1
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специ-
альности 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств
(по отраслям)» и слушателям бакалавриата по направлению подготовки 220200
для изучения разделов дисциплины «Цифровые устройства автоматики».
Составитель: Сафаров М.Р., доц., канд. тех. наук
Рецензент: Краснов А.Н.., доц., канд. тех. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2013
2
1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ (ПФ) В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА
1.1. Конституента единицы
Конституентой единицы называют ПФ n-аргументов, которая равна еди-
нице, только на одном наборе аргументов. Обычно конституенты единицы вы-
ражают через логическое произведение всех аргументов, каждый из которых входит в произведение со знаком отрицания или без него.
Пример 1.1. ПФ двух аргументов (их всего 16 (F0 F15), см. табл. 1) оп-
ределены на четырех наборах аргументов и, следовательно имеют четыре конституенты единицы: К0, К1, К2 и К3 (i=0 3). Конституента единицы ну-
левого набора К0= равна 1 только на нулевом наборе аргументов ( =1
только при ), а на остальных трех наборах (1-м, 2-м и 3-м) равна ну-
лю.
Уметь анализировать аналогичным образом поведение остальных трех конституент единицы (К1, К2 и К3).
Пример 1.2. Для ПФ четырех аргументов записать конституенту еди-
ницы десятого набора (К10).
Веса единиц аргументов……………8 4 2 1
Аргументы…………………… ……..a b c d
Десятый набор аргументов………..1 0 1 0
Конституента единицы К10… ……
В результате анализа решения примера 1.2, сформулировать правило за-
писи конституент единицы для остальных 15-и ПФ четырех аргументов.
Распространить полученную формулировку на ПФ с любым количеством аргументов.
3
1.2. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) ПФ
Дизъюнкция конституент единицы, равных единице на тех же наборах,
что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции (СДНФ ПФ).
Пример 1.3. ПФ двух аргументов F14 (см.табл.1) определена на 4-х набо-
рах и имеет 4-е конституенты единицы. На трех наборах (К0, К1 и К2) функ-
ция равна 1, поэтому в СДНФ F14 входят в виде логических слагаемых три конституенты единицы (см. табл.1, столбец 5, строка F14):
СДНФ F14 = К0+К1+К2 = .
На 3-м наборе функция равна нулю, поэтому конституента К3 не вклю-
чена в число слагаемых.
Пример 1.4. ПФ двух аргументов F1 (см.табл.1) определена на 4-х набо-
рах и имеет 4-е конституены единицы. На трех наборах (К0, К1 и К2) функция равна 0, поэтому в СДНФ F14 входит в виде логического слагаемого консти-
туента единицы К3 (см. табл.1, столбец 5, строка F1):
СДНФ F1 = К3 =
Пример 1.5. Найти выражения СДНФ ПФ остальных функций, приве-
денных в табл.1 и заполнить свободные строки в столбце 5.
Пять левых столбцов табл.1 являются одной из форм табличного задания ПФ. СДНФ ПФ (см. столбец 5 в табл.1), представляющую собой один из перво-
начальных видов записи ПФ в алгебраической форме, часто называют «запись ПФ по единицам».
Последующей формой табличного задания ПФ являются диаграммы Вейтча, показанные на рис.1, б,в, где, в качестве примера, приведены две ПФ
(F12 и F14) от двух аргументов.
4
1.3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) ПФ двух аргументов
Таблица 1
Ki |
|
|
|
|
Конституенты единицы четырех наборов |
|
|
|||
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
Номера наборов |
|
|
|
|
|
x |
0 |
0 |
1 |
1 |
СДНФ |
|
Минимальные формы от |
Условное |
Название функции Fn |
|
y |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
СДНФ |
Инверсии Fn |
обозначение |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
F0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
F1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Конъюнкция |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Исключающее«ИЛИ» |
F7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Дизъюнкция |
F8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция Пирса |
F9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Операция Шеффера |
F15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
2 |
1 |
Веса «единиц» двоичных разрядов |
|
|
5
1.4. Диаграммы Вейтча функций двух аргументов
ПФ 2-х аргументов определены на 4-х наборах аргументов (i=1 4), ка-
ждый из которых сопровождается своей конституентой единицы (Кi), что и
следует из рис.1,а. Значения функции (4 значения) заносятся, как это показа-
но на рис.1, в соответствующую клетку диаграммы. Процедура занесения значений упрощается при использовании эталонных диаграмм (см.рис.2).
Вес «1» |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
Кi |
Мi |
F14 |
F12 |
|
|
|
|
|
|
|
i(№наб.) |
x |
y |
|
|
|
|
(2) |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
(2) |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
СДНФ F12=K0+K1= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СДНФ F14=K0+K1+K2=
СКНФ F14=М3=
а) классическая табличная форма задания ПФ F12 и F14;
б) задание функции F14 на диаграмме Вейтча;
в) задание функции F12 на диаграмме Вейтча.
Рис.1. Табличные формы задания ПФ 2-х аргументов и их СНФ.
(2) |
|
|
(2) |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
б) |
Рис.2. Эталонные диаграммы Вейтча: а)с использованием конституент единицы; б)с указанием номеров наборов.
6
Из заполненной диаграммы Вейтча получают минимизированное (про-
стейшее) алгебраическое выражение ПФ. Простейшие приемы обработки диаграмм следует усвоить путем озакомления с решениями примеров, приве-
денными в [1], стр.26, 27, и далее закрепить решением задач по нахождению минимальных форм ПФ. Результатом последней процедуры является запол-
нение всех строк столбцов 6 и 7 табл.1.
Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 2-х аргументов Таблица 2
Число клеток |
Число аргументов-сомножителей, |
Число различных |
в контуре |
обозначающих контур |
контуров |
1 |
2 |
4 ( ; ; ; ) |
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
4 |
Константа 1 |
1 |
|
|
|
1.5. Правила минимизации СДНФ с помощью диаграмм Вейтча
1. Диаграмма Вейтча содержит число клеток i, равное числу наборов,
на которых определена функция n-переменных (i=2n).
2. Значение, принимаемое функцией на определенном наборе аргумен-
тов, заносится в клетку диаграммы, соответствующую этому набору.
3. В заполненной таблице все единицы накрываются прямоугольными контурами. Одни и те же клетки могут входить в несколько контуров. В кон-
туре только единицы, число клеток контура – целая степень числа 2 (2i = 1, 2,
4, 8, 16 …(i = 0, 1, 2, …)).
4. Каждый контур описывается (обозначается) произведением аргумен-
тов, число сомножителей уменьшается с увеличением числа клеток в конту-
ре.
7
5. Искомое минимизированное выражение представляет собой дизъ-
юнкцию (логическая сумма) обозначений контуров, накрывающих все еди-
ницы, следовательно, для получения простейшего выражения следует ис-
пользовать минимальное число контуров, каждый из которых накрывает мак-
симальное число единиц (из числа возможных).
|
|
|
|
1.6. Диаграммы Вейтча функций трех аргументов |
|||||
|
b(2) |
|
|
|
|
|
|
Число аргументов: n=3. |
|
a(4) |
6 |
|
7 |
|
5 |
4 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число наборов (конституент единицы) i=2 =8. |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
c(1) |
|
|
Число различных функций k=256. |
|||
|
|
|
|
|
|
Рис.3. Эталонная диаграмма Вейтча для ПФ трех аргументов
Пример 1.6. Для ПФ трех аргументов f(a,b,c) в клетках диаграммы Вейтча (см.рис.3) указаны номера наборов, в скобках, рядом с обозначениями аргументов, представлены веса их единиц. Указать номер набора для кото-
рого выражение является конституентой единицы.
Уметь находить выражение для конституенты единицы любого из семи остальных наборов. Уметь пояснять связь между номером набора и выражением конституенты единицы этого набора.
Пример 1.7. Для ПФ трех аргументов f(a,b,c) уметь находить:
-12 пар номеров наборов, входящих в контур из двух соседних клеток
(см.табл.3) и соответствующие им пары аргументов-сомножителей опи-
сывающих конкретный контур. Например, пара из наборов 4, 6 образует-
контур из двух клеток, обозначаемый произведением
-6 тетрад номеров наборов, образующих контур из 4-х клеток
(см.табл.3) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный
8
контур. Например, тетрада из наборов 0, 2, 4, 6 образует контур из 4-х
клеток, обозначаемый аргументом
Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 3-х аргументов
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
Число клеток |
Число аргументов-сомножителей, |
Число различных |
в контуре |
обозначающих контур |
контуров |
1 |
3 |
8 |
|
|
|
2 |
2 |
12 |
|
|
|
4 |
1 |
6 |
|
|
|
8 |
Константа 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1.7. Диаграммы Вейтча функций четырех аргументов |
|||||
|
b(4) |
|
|
|
|
|
Число аргументов: n=4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число наборов (конституент единицы) |
|
12 |
|
14 |
|
10 |
8 |
||
a(8) |
|
|
|
|
|
|
|
i=2n=16. |
13 |
|
15 |
|
11 |
9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
d(1) Число различных функций k=65536. |
|
5 |
|
7 |
|
3 |
1 |
||
|
4 |
|
6 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4. Эталонная диаграмма Вейтча для |
|
|
|
c(2) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПФ четырех аргументов |
Пример 1.8. Для ПФ четырех аргументов f(a,b,c,d) в клетках диаграммы Вейтча указаны номера наборов, в скобках, рядом с обозначениями аргумен-
тов, представлены веса их единиц. Для конституенты единицы ука-
зать номер набора.
Уметь находить выражение для конституенты единицы любого из
15-и остальных наборов. Уметь пояснять связь между номером набора и выражением конституенты единицы этого набора.
9
Пример 1.9. Для ПФ четырех аргументов f(a,b,c,d) уметь находить:
-32 пары номеров наборов, входящих в контур из двух соседних клеток
(см.табл.4) и соответствующие им пары аргументов-сомножителей опи-
сывающих конкретный контур. Например, пара из наборов 13, 15 образует-
контур из двух клеток, обозначаемый произведением
-24 тетрады номеров наборов, образующих контур из 4-х клеток
(см.табл.4) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный контур. Например, тетрада из наборов 0, 2, 4, 6 образует контур из 4-х
клеток, обозначаемый двумя аргументами-сомножителями
-8 восьмерок номеров наборов, образующих контур из 8-и клеток
(см.табл.4) и соответствующие им аргументы, описывающие конкретный контур. Например, восьмерка из наборов 0, 1, 9, 8, 4, 5, 13, 12 образует кон-
тур из 8-и клеток, обозначаемый аргументом
Характеристики контуров в диаграммах Вейтча ПФ 4-х аргументов Таблица 4
Число клеток |
Число аргументов-сомножителей, |
Число различных |
в контуре |
обозначающих контур |
контуров |
1 |
4 |
16 |
|
|
|
2 |
3 |
32 |
|
|
|
4 |
2 |
24 |
|
|
|
8 |
1 |
8 |
|
|
|
16 |
Константа 1 |
1 |
|
|
|
1.8. Конституента нуля
Конституентой нуля называют ПФ n-аргументов, которая равна нулю,
только на одном наборе аргументов. Выражается в виде дизъюнкции всех ар-
гументов, каждый из которых берется с отрицанием или без него.
10