12. Колебания валов. Гироскопический эффект. Влияние различных факторов на критическую скорость

Колебаниями (колебательным движением) называют все виды движения (или изменения состояния), которые обладают какой-либо степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Колебания характеризуются несколькими параметрами, среди которых: период, частота, циклическая (круговая) частота.

При вращении валы совершают колебания, которые состоят из суммы двух колебаний – вынужденных, вызванных периодически изменяющейся центробежной силой , приложенной в центре масс „с” (рисунок 6), и свободных, которые возникают под влиянием импульса, сообщенного валу этой же силой.Причиной появления силыявляется остаточный дисбаланс (эксцентриситет) „е”, то есть смещение центра масс деталей (в данном случае в качестве детали выступает диск - это может быть, например, рабочее колесо центробежного насоса) от геометрической оси вращения вала, который существует всегда, как бы точно не изготавливались вращающиеся детали (валы, диски, роторы и так далее) и как бы тщательно они не были сбалансированы. Силууравновешивает противоположно направленная и приложенная к точке „0” крепления диска массой „m” к валу сила упругости. Из условия равновесия сил на ось у получим

, (1)

Подставив значение

, (2)

где – рабочая угловая скорость вращения вала;

y– динамический прогиб вала под массойm;

k– коэффициент жесткости вала, то есть сила, вызывающая прогиб, равный единице.

Из уравнения (2) находим величину динамического прогиба:

. (3)

Ранее было получено, что величина , где– угловая скорость собственных (свободных) колебаний невесомого вала с одной сосредоточенной массой (без учета сил трения), тогда:

. (4)

Анализ уравнения (4) показывает, что при увеличении рабочей скорости и приближении ее к частоте собственных колебаний вала, т.е. припрогиб вала (амплитуда) неограниченно возрастает и стремиться к бесконечности, т.е..

Случай совпадения частоты вынужденных колебаний с частотой свободных колебаний называется резонансом.

В действительных условиях при наличии трения амплитуды при резонансе остаются конечными, но достигают значительной величины. Резонанс представляет собой большую опасность для конструкции и его следует избегать.

Одна из основных задачрасчета конструкции на вибрацию состоит в определении собственных частот колебаний ивыявлении опасных резонансных частот.

Резонансы обычно устраняютизменением собственной частоты системы; в ряде случаев оказывается возможным изменить частоту возбуждающей силы.

Угловая скорость колебаний вала, при которой прогибы значительно возрастают и вращающиеся валы становятся динамически неустойчивыми, называется критической – .Из уравнения (4) видно, что для вала с одним диском равна угловой скорости собственных колебаний, то есть:

. (5)

Обычно формулу (5) приводят к более удобному для расчета виду:

, (6)

где – единичный прогиб или коэффициент влияния, то естьот единичной поперечной силы;

g– ускорение свободного падения;

– статический прогиб вала под массой;

G– вес вала.

Из сказанного очевидно, что вращение вала с рабочей скоростью, равной критической или близкой к ней, недопустимо. Рабочая скорость должна быть либо больше (для гибких валов), либо меньше (для жестких) критической угловой скорости.

Рекомендуется принимать

(7)

Условия (7) называются условиями виброустойчивостивалов.

Гироскопический эффект (греческое: gyros(круг, кольцо), skopeo – смотрю, наблюдаю).

Если размеры и момент инерции детали велики, то массу нельзя рассматривать как сосредоточенную в точке. И принятое допущение может дать заметную ошибку, поэтому в расчёте необходимо учитывать гироскопический эффект. Данный эффект аналогичен эффекту юлы, который принимается в волчках.. Волчок – прибор со свободной осью, вращающийся с большой скоростью; обладает устойчивостью при разных положениях. Применяется на самолётах и судах для придания устойчивости судну, вагонам, движущимся на одном рельсе и т.д.

Предположим, на вал консольного типа насоса посажено тяжёлое колесо большого размера (рисунок14)

При вращении вала центр тяжести колеса переместится из точки С в С₁ и колесо будет вращаться вокруг плоскоизогнутой оси вала. Сам же деформированный вал вращается вокруг своей первоначальной оси с той же скорость и в этом же направлении. В этом случае на колесо будут действовать центробежная силаи изгибающий момент M, стремящийся повернуть ось вала в исходное положение.

Рисунок 14 – Схема расположение тяжелого колеса на валу консольного типа

В результате возникает явление, аналогичное вращению волчка или гироскопа с осью вращения, отклонённой от вертикали. Причём волчок не только не падает, но и оказывает сопротивление усилию, стремящемуся увеличить наклон его оси, так как действует момент M, препятствующий увеличению прогиба, при этом уменьшается y, , то.

Влияние различных факторов на критическую скорость

Критическая скорость зависит от многих факторов, при этом влияние одних можно установить из анализа формул для расчета , а других – только на основе опытных данных

Фактор, влияющий на	Характер изменения
Подшипники скольжения	Несколько снижают
Подшипники качения	Приводят к появлению двух побочных критических скоростей вала и
Гироскопический эффект	Несколько повышает критическую скорость вала, если
Моменты, защемляющие вал	Повышает критическую скорость вала
Продольная сила	Растягивающая несколько повышает, а сжимающая – снижает
Крутящий момент	Незначительно снижает критическую скорость вала
Распределенная масса вала	Увеличивает по сравнению саналогичного одномассового вала
Присоединенная масса жидкости (при вращении ротора в воде)	Несколько снижает критическую скорость вала
Расчетная схема	Изменение расчетной схемы вала с однопролетного на консольный увеличивает критическую скорость вала
для однопролетного вала с одним грузом
Масса груза	Возрастание mуменьшает
Положение груза на валу	Смещение груза от середины вала к опорам увеличивает
Расстояние между опорами l	При увеличении lснижается
Длина опоры	При увеличении длины опоры возрастает. (Для вала в длинных опорахбольше, чем для вала в одной короткой опоре и одной длинной, для которогобольше, чемдля вала в коротких опорах)
Диаметр вала d	Повышение dувеличивает
для консольного вала с одним грузом
Длина консоли	Увеличение длины консоли ведет к увеличению прогиба вала на конце консоли и соответственно уменьшению
Расстояние между опорами l(длина средней части)	Возрастание lвызывает увеличение прогибов консоли и уменьшение
Диаметр средней части	Утолщение средней части вала уменьшает прогибы консоли и увеличивает критическую скорость вала

Установленные закономерности влияния различных факторов напозволяют при конструировании валов, в зависимости от поставленных задач, целенаправленно выбирать или изменять параметры колеблющейся системы для достижения определенного эффекта.

Оптимальное конструирование валов является очень сложной задачей, требующей анализа влияния различных факторов на прочность, жесткость, критическую частоту вращения валов и так далее. Однако, такой анализ необходим, так как, в конечном счете, от него зависит работоспособность, надежность и стоимость машины.

13. Устойчивость цилиндрических оболочек. Причина потери устойчивости. Различные формы потери устойчивости под действием осевой сжимающей силы. Формулы для расчета допускаемых нагрузок для каждой из этих форм (без вывода). Область применения каждой формулы.

Тонкостенные оболочки под действием определенных нагрузок (например, наружного давления) могут потерять устойчивость, причем можно рассматривать потерю устойчивости положения и потерю устойчивости формы.

Основанная причина потери устойчивости формы?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим колонный аппарат под действием равномерного давления.

Для цилиндра :

Растягивающие усилия:

Исходя из этого заключаем, что прочность обеспечена и существует большой запас напряжения.

Эквивалентные напряжения оказываются одинаковыми, если действуют внутренние и наружные давления равные по величине, то есть с точки зрения прочности 2 оболочки

Равнопрочные и имеют большой запас прочности.

В реальности часто оболочки хорошо спроектированы с точки зрения прочности и имеющие большой запас разрушаются, эти оболочки, которые работают под действием наружного давления.

Отличие напряженного состояния для этих 2х оболочек состоит в том, что под действием внутреннего давления напряжения растягивающие, что способствует сохранению устойчивости, а с точки зрения наружного давления напряжения сжимающие, которые приводят к потери устойчивости формы оболочки причем потери устойчивости могут происходить внезапно, резко

происходит быстрый рост деформаций, например вмятины на оболочке и могут появляться

трещины, которые очень быстро растут и приводят к разрушению.

Сжимающие напряжения могут появляться так же под действием осевой сжимающей силы и от изгибающего момента, от поперечной нагрузки.

Причина потери устойчивости формы появления сжимающихся напряжений под действием:

-наружного давления (вакуумная колонна, аппарат с рубашкой, трубопроводы под водой);

-осевая нагрузка;

-изгибающий момент. Понятия устойчивости очень много, теории устойчивости до конца не сформулированы.

Устойчивость– это свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях.

Потеря устойчивости– резкое качественное изменение характера деформаций и первоначальной геометрической формы.

Существует понятие критической нагрузки (наименьшие) нагрузки при которой происходит потеря устойчивости формы.

Задачи теории устойчивостиполучить формулы по которой мы можем определить наименьшие критические нагрузки.

При одновременном действии всех трех нагрузок условие устойчивости согласно ГОСТ 14249-94 имеет вид

P_н.р./ [P_н] + F /[F] + М/[М]  1

При отсутствии одной или двух из нагрузок: наружного давления, осевой сжимающей силы или изгибающего момента в выражении (1.1) принимают соответственно P_н.р.= 0, F= 0 или М= 0.

Значения [F], [М], [P_н] определяются по формулам

[P_н] = ,[F] = [М] =,

Значения допускаемых нагрузок из условия устойчивости, определяются по формулам

[P_н]_у=; [F]_у=; [М]_у=

Критерии устойчивости.

Неустойчива Устойчива Безразличное состояние

Определяем положение интуитивно.

В некоторых случаях интуитивно определить сложно

Неизвестно.

- энергетические

_{Под действием нагрузки определяется приращение потенциальной энергии V+Т}

_{Т-работа внешних сил, V-приращение внутренней энергии. Если П>0, т. е.V>Т}

_{то система устойчива; если П<0, т. е.V<Т, не устойчив.}

Система считается неустойчивой если полная потенциальная энергия имеет минимум.

-Динамический

-Статический

По статическому критерию положение равновесия считается неустойчивой, если при воздействии нагрузки появляются новые бесконечно близкие к исходной форме равновесия.

Для стержня появляются новые и новые формы равновесия.

Когда система переходит из устойчивой в неустойчивое положение равновесие - это явление называется потеря устойчивости.

Потеря устойчивости сопровождается внезапным ростом деформации, прогибы сопровождаются резким качественным изменением первоначальной формы.

Система может терять устойчивость: а) чрезмерные деформации (трещены)

б) систему можно эксплуатировать

Нагрузка при которой система теряет устойчивость называется критической.

Цель расчета ОпределениеFkp, Рkp, Мkp;Определение допускаемых нагрузок по формулам:

[P_н]_у=; [F]_у=[М]_у=;

Где Р_кр,F_кр, М_кр– соответственно критическое давление, осевая сжимающая сила и изгибающий момент, МПа, Н, Нм;

n_у- коэффициент запаса устойчивости, который равен: для рабочих условийn_у= 2,4; для условий испытаний и монтажаn_у= 1,8

Потеря устойчивости цилиндрических оболочек от действия осевой сжимающей силы может быть общей илиместнойв зависимости от соотношения расчетной длиныl_pк внутреннему диаметруD.

а) При l_p/D 10оболочка рассматривается какдлинныйстержень, происходитобщая потеря устойчивости.

Допускаемаяи критическая осевая сжимающая сила из условияобщейпотериустойчивости определяются по формуле

[F]_E2=, (3.1)

-формула Эйлера

где - гибкость оболочки;

Dcp=D+(S-C);

l_пр- приведенная расчетная длина центрально сжатой оболочки, определяемая в зависимости от способа закрепления, м;

Для рассматриваемой в лабораторной работе схемы приведенная длина равна l_пр= 2l, гдеl–длина оболочки.

б)При l_p/D< 10происходитместная потеря устойчивости

Обычно потеря устойчивости в этом случае происходит внезапно, хлопком, с образованием глубоких ромбических вмятин, обращенных к центру кривизны согласно. Вдоль образующей располагаются несколько поясов вмятин. Такую форму потери устойчивости называют несимметричной. Реже наблюдается осесимметричная форма с образованием в окружном направлении одной кольцевой вмятины, как на рисунке (обычно это происходит при одновременном действии осевой сжимающей силы и внутреннего давления).

Допускаемаяикритическая осевая сжимающая сила из условияместнойпотериустойчивости определяется по формуле

[F]_E1= ,

где Е- модуль упругости, МПа, для соответствующего расчетного условия (,);

q n_у– коэффициент запаса устойчивости.

Данный коэффициент имеет следующие значения: для рабочих условий n_у = 2,4; для условий испытаний и монтажа n_у = 1,8.

Затем определяется меньшее из двух, найденных по формулам значение допускаемой осевой сжимающей силы , т.е..

В случае, если , формула принимает вид

.

Разрушение сжимающего элемента может быть следствием: потери устойчивости; потери прочности; потери того и другого.

В этом случае значение допускаемой осевой сжимающей силы определяется по формуле

где - допускаемое осевое сжимающее усилие из условия прочности, Н, которое определяется по формуле:.

14. Устойчивость цилиндрических оболочек. Причина потери устойчивости. Различные формы потери устойчивости под действием наружного давления. Понятие расчетного давления и расчетной длины. Формулы для расчета допускаемых нагрузок для каждой из этих форм.Область применения каждой формулы.

Тонкостенные оболочки под действием определенных нагрузок (например, наружного давления) могут потерять устойчивость, причем можно рассматривать потерю устойчивости положения и потерю устойчивости формы.

Основанная причина потери устойчивости формы?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим колонный аппарат под действием равномерного давления.

Для цилиндра :

Растягивающие усилия:

Исходя из этого заключаем, что прочность обеспечена и существует большой запас напряжения.

Эквивалентные напряжения оказываются одинаковыми, если действуют внутренние и наружные давления равные по величине, то есть с точки зрения прочности 2 оболочки

Равнопрочные и имеют большой запас прочности.

В реальности часто оболочки хорошо спроектированы с точки зрения прочности и имеющие большой

запас разрушаются, эти оболочки, которые работают под действием наружного давления.

Отличие напряженного состояния для этих 2х оболочек состоит в том, что под действием внутреннего давления напряжения растягивающие, что способствует сохранению устойчивости, а с точки зрения наружного давления напряжения сжимающие, которые приводят к потери устойчивости формы оболочки причем потери устойчивости могут происходить внезапно, резко

происходит быстрый рост деформаций, например вмятины на оболочке и могут появляться

трещины, которые очень быстро растут и приводят к разрушению.

Сжимающие напряжения могут появляться так же под действием осевой сжимающей силы и от изгибающего момента, от поперечной нагрузки.

Причина потери устойчивости формы появления сжимающихся напряжений под действием:

-наружного давления (вакуумная колонна, аппарат с рубашкой, трубопроводы под водой);

-осевая нагрузка;

-изгибающий момент.

Понятия устойчивости очень много, теории устойчивости до конца не сформулированы.

Устойчивость– это свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях.

Потеря устойчивости– резкое качественное изменение характера деформаций и первоначальной геометрической формы.

Существует понятие критической нагрузки (наименьшие) нагрузки при которой происходит потеря устойчивости формы.

Задачи теории устойчивостиполучить формулы по которой мы можем определить наименьшие критические нагрузки.

При одновременном действии всех трех нагрузок условие устойчивости согласно ГОСТ 14249-94 имеет вид

P_н.р./ [P_н] + F /[F] + М/[М]  1

При отсутствии одной или двух из нагрузок: наружного давления, осевой сжимающей силы или изгибающего момента в выражении (1.1) принимают соответственно P_н.р.= 0, F= 0 или М= 0.

Значения [F], [М], [P_н] определяются по формулам

[P_н] = ,[F] = [М] =,

Значения допускаемых нагрузок из условия устойчивости, определяются по формулам

[P_н]_у=; [F]_у=; [М]_у=

Критерии устойчивости.

Неустойчива Устойчива Безразличное состояние

Определяем положение интуитивно.

В случаях ниже мы не можем сказать положение устойчиво или нет, это зависит от соот-

ношения нагрузки, жесткости пружины и длины стержня.

Неизвестно.

В этом случае применяют критерии устойчивости:

- Энергетические

_{Под действием нагрузки определяется приращение потенциальной энергии V+Т}

_{Т-работа внешних сил, V-приращение внутренней энергии. Если П>0, т. е.V>Т}

_{то система устойчива; если П<0, т. е.V<Т, не устойчив.}

Система считается неустойчивой если полная потенциальная энергия имеет минимум.

-Динамический

-Статический

По статическому критерию положение равновесия считается неустойчивой, если при воздействии нагрузки появляются новые бесконечно близкие к исходной форме равновесия.

Для стержня появляются новые и новые формы равновесия.

Когда система переходит из устойчивой в неустойчивое положение равновесие - это явление называется потеря устойчивости.

Потеря устойчивости сопровождается внезапным ростом деформации, прогибы сопровождаются резким качественным изменением первоначальной формы.

Система может терять устойчивость: а) чрезмерные деформации (трещены)

б) систему можно эксплуатировать

Нагрузка при которой система теряет устойчивость называется критической.

1. Расчетное давление:

- для аппаратов с рубашкой:

;

-для вакуумных колонн:

;

В качестве наружного давления могут выступать: давление рубашек, подводная лодка, трубопроводы под водой, под грунтом.

2. Расчетная длинна

Расчетная длина для сосудов и аппаратов с выпуклыми днищами определяется следующим образом:

l_p= l_{цилиндр}+ l_{прилегающего элемента}

l_p= l + h_o + ,

где l - длина обечайки, находящейся под действием наружного давления, м;

h₀ - высота цилиндрической части (отбортовки) днища, м;

Н – глубина днища, м.

Оболочки под действием наружного давления разделены на 2 типа, в зависимости от влияния условий закрепления по торцам на деформации от поперечного сечения оболочки.

Потеря устойчивости под действием наружного давления может происходить в зависимости от Lр – расчетной длины,L0 - длина разделяющая оболочки на длинные и короткие.

а) Lр/L0>0 длинная, б)-Lр/L0<0-короткая.

l_o= 9,45D,

Для длинных оболочекусловия закрепления мало влияют на деформации поперечного сечения, поэтому цилиндрические обечайки и трубы теряют устойчивость с образованиемдвух волнсмятия (n=2) рис.а

Короткиецилиндрические оболочки, закрепленные по торцам, теряют устойчивость с образованием трех(n=3), четырех(n=4) и более волн смятия рис. б в поперечном сечении

Рис. а.Рис.б.

Теоретический расчет для определения критического давленияи допускаемого наружного давления [р_н]_уиз условия устойчивости ведется по формулам в зависимости от длины оболочки:

а) для коротких обечаек l_pl₀

Если цилиндр короткий и на величину критического давления влияют условия на краях, то критическое давление зависит не только от значения S/D, но и от величины 1/Dи определяется по формуле Мизеса

, гдегдеn– число волн.

Как видно из формулы в упругой стадии Р_крзависит не от прочности материала, а только от модуля упругости и коэффициента Пуассона.

Ученые Саутуэлл и Папкович преобразовали и упростили данную формулу.

Из уравнения после преобразования получается зависимость

По ГОСТу данное уравнение преобразовано следующим образом вместо Sвводится (S-С), числитель и знаменатель умножают на 100.

Тогда формула имеет следующий вид;

б) для длинных обечаек l_p>l₀

В этом случае влиянием краевых условий можно пренебречь, а задача сводится к расчету кольца единичной длины, нагруженного равномерно распределенным наружным давлением.

Формула Бресса Грасгоффа:

По ГОСТУ данную формулу преобразуют следующим образом.

Вместо Sвводится (S-С), числитель и знаменатель умножают на 100, радиус оболочки заменяют

диаметром r=D/2. В результате таких преобразований получается следующая формула

.

где Е –модуль продольной упругости материала, МПа;

n_y- коэффициент запаса устойчивости .

Анализ данного уравнения показывает, что критическая нагрузка тем больше, чем больше толщина стенки и величина Е, которая характеризует свойства материала и обратно пропорциональна диаметру. Критическая нагрузка не зависит от длины оболочки.

Длинныецилиндрические обечайки и трубы теряют устойчивость с образованием двухволн смятия, т.е. они сплющиваются.

Получаем:

Для коротких Ркр=f(;

Для длинных: Ркр=f(;

Чтобы приложить большую нагрузку можно увеличить толщину стенки, или уменьшить расчетную длинну.

Далее определяется допускаемое наружное давление по формуле

где - допускаемое наружное давление из условия прочности, которое находится по формуле

При конструировании химической аппаратуры наиболее часто приходится выполнять расчеты на устойчивость колец жесткости, цилиндрических и конических обечаек, сферических и эллиптических днищ. Кольца жесткостиприменяются для повышения несущейспособности корпусов тонкостенных аппаратов, сжимаемых наружным давлением