Примеры решения задач

Пример 1.Определить молярную массу М смеси кислорода массойг и азота массойг.

Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смесиmк количеству вещества смеси:

. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

.

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

.

Подставив в формулу (1) выражения и, получим

. (2)

Найдем молярные массы кислорода и азота:

кг/моль;кг/моль.

Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:

кг/моль =

=кг/моль.

Пример 2.Найти среднюю кинетическую энергиювращательного движения одной молекулы кислорода при температуреК, а также кинетическую энергиювращательного движения всех молекул кислорода массойг.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия, гдеk – постоянная Больцмана;T –термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

. (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

. (2)

Число всех молекул газа

, (3)

где – постоянная Авогадро;– количество вещества.

Если учесть, что количество вещества , гдеm – масса газа;М– молярная масса газа, то формула (3) примет вид

.

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода кг/моль:

ДжДж;

ДжДж.

Пример 3. Вычислить удельные теплоемкостиисмеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляюти. Значения удельных теплоемкостей газов взять из справочника.

Решение.Удельную теплоемкостьсмеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на, выразим двумя способами:

, (1)

, (2)

где – удельная теплоемкость неона;– удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на , получим. Отсюда

,

или

,

где и.

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

.

Произведем вычисления:

=

;

=

.

Пример 4.Кислород массойкг занимает объеми находится под давлениемМПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объемам³, а затем при постоянном объеме до давленияМПа. Найти изменениевнутренней энергии газа, совершенную им работуАи теплотуQ, переданную газу. Построить график процесса.

Решение.Изменение внутренней энергии газа

, (1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислородаi=5);– разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона , откуда

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергиии работыA:

.

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода

кг/моль:

K=

= 385 K;

K=

= 1155 K;

K =

= 2887 K;

Дж Дж МДж;

Дж = 3,24 МДж

МДжМДж.

Пример 5.В цилиндре под поршнем находится водород массойкг при температуреК. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем враз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился враз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение.Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

, или,

где – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

.

Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

,

где – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работагаза при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или,

где .

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа ,икг/моль:

КК.

Так как (находится логарифмированием), то

КК;

ДжкДж;

ДжкДж.

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.

График процесса приведен на рис. 5.

Пример 6.Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчикаК. Определить термический КПДцикла и температурутеплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работуДж.

Решение.Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

.

где – теплота, полученная от теплоотдатчика;А– работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле определить температуру охладителя:

.

Произведем вычисления:

;КК.

Пример 7.Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметромсм. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение.Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

,

где r– радиус пузыря. Так как, то

.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на , выражается формулой

, или.

В данном случае S– общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря;– общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая, получаем

.

Произведем вычисления:

ПаПа;

ДжДжмДж.

Таблица вариантов для задания № 2

Вариант	Номера задач
0	210	220	230	240	250	260	270	280
1	201	211	221	231	241	251	261	271
2	202	212	222	232	242	252	262	272
3	203	213	223	233	243	253	263	273
4	204	214	224	234	244	254	264	274
5	205	215	225	235	245	255	265	275
6	206	216	226	236	246	256	266	276
7	207	217	227	237	247	257	267	277
8	208	218	228	238	248	258	268	278
9	209	219	229	239	249	259	269	279

201.Определить количество веществаи числоN молекул кислорода массойm=0,5 кг.

202.Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества=0,2 моль; 2) массойm= 1 г?

203.Вода при температуреt=4°С занимает объемV= 1 см³. Определить количество веществаи числоN молекул воды.

204.Найти молярную массуМи массу от„ одной молекулы поваренной соли.

205.Определить массут_модной молекулы углекислого газа.

206.Определить концентрациюпмолекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостьюV=2л.Количество веществакислорода равно 0,2 моль.

207.Определить количество веществаводорода, заполняющего сосуд объемомV=3 л, если концентрация молекул газа в сосудеn=210¹⁸м^-3.

208.В баллоне вместимостьюV=3л содержится кислород массойт=10 г. Определить концентрациюп молекул газа.

209.Определить относительную молекулярную массуM_r:1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.

210.Определить количество веществаи числоN молекул азота массойm=0,2кг.

211. В цилиндр длинойl=1,6м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлениир₀ ,начали медленно вдвигать поршень площадью основанияS= 200 см². Определить силуF,действующую на поршень, если его остановить на расстоянииl₁=10см от дна цилиндра.

212. В баллоне находится газ при температуреТ₁=400 К. До какой температурыT₂надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

213.Баллон вместимостьюV=20лзаполнен азотом при температуреT=400K. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на=200кПа. Определить массуmизрасходованного газа. Процесс считать изотермическим.

214.В баллоне вместимостьюV=15л находится аргон под давлением р₁=600кПа и при температуреT₁ =300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р₂=400кПа, а температура установиласьT₂=260K. Определить массуmаргона, взятого из баллона.

215.Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁=2МПа и температуреT₁=800К, в другом р₂=2,5МПа,T₂=200К. Сосуд соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температурыT=200К. Определить установившееся в сосудах давлениер.

216.Вычислить плотностьазота, находящегося в баллоне под давлением р=2МПа и имеющего темпера­туруT=400 К.

217.Определить относительную молекулярную массуM_r газа, если при температуреT=154К и давлении р=2,8МПа он имеет плотность=6,1 кг/м³.

218.Найти плотностьазота при температуреT=400 К и давлении р=2 МПа.

219.В сосуде вместимостьюV=40л находится кислород при температуреT=300К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось нар=100кПа. Определить массуmизрасходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

220.Определить плотностьводяного пара, находящегося под давлением р=2,5кПа и имеющего темпера­туруT=250 К.

221.Определить внутреннюю энергиюUводорода, а также среднюю кинетическую энергиюмолекулы этого газа при температуреT=300К, если количество веществаэтого газа равно 0,5 моль.

222.Определить суммарную кинетическую энергиюЕкпоступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостьюV=3л под давлением р=540 кПа.

223.Количество вещества гелия=1,5 моль, температураТ =120 К. Определить суммарную кинетическую энергиюЕкпоступательного движения всех молекул этого газа.

224.Молярная внутренняя энергияU_mнекоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию_врвращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

225.Определить среднюю кинетическую энергиюодной молекулы водяного пара при температуреT=500 К.

226.Определить среднюю квадратичную скорость_квмолекулы газа, заключенного в сосуд вместимостьюV=2лпод давлением р=200кПа. Масса газаm=0,3 г.

227.Водород находится при температуреT=300К. Найти среднюю кинетическую энергию_врвращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергиюЕ_kвсех молекул этого газа; количество водорода=0,5 моль.

228.При какой температуре средняя кинетическая энергия_ппоступательного движения молекулы газа равна 4,1410^-21Дж?

229.В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 610^-10г. Газ находится при температуреT=400 К. Определить средние квадратичные скорости_кв, а также средние кинетические энергии_ппоступательного движения молекулы азота и пылинки.

230.Определить среднюю кинетическую энергию_ппоступательного движения и_врвращательного движения молекулы азота при температуреT=1 кК. Определить также полную кинетическую энергиюЕкмолекулы при тех же условиях.

231.Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разностьc_p—c_vудельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кгК).

232.Найти удельныеc_p иc_v,а также молярные Ср иСvтеплоемкости углекислого газа.

233.Определить показатель адиабатыидеального газа, который при температуре Т=350 К и давлении р=0,4МПа занимает объемV=300 л и имеет теплоемкостьCv=857Дж/К.

234.В сосуде вместимостьюV=6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкостьСvэтого газа при постоянном объеме.

235.Определить относительную молекулярную массуMrи молярную массуМгаза, если разность его удельных теплоемкостейc_p—c_v=2,08кДж/(кгК).

236.Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкостиc_v==10,4 кДж/(кгК) и Ср= 14,6 кДж/(кгК).

237.Найти удельныеc_p иc_vи молярные СvиСр теплоемкости азота и гелия.

238.Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная массаМ=410^-3кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/Сv==1,67.

239.Трехатомный газ под давлением р=240кПа и температуреt=20°С занимает объемV=10л. Определить теплоемкость Сpэтого газа при постоянном давлении.

240.Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объемV=5л. Вычислить теплоемкостьСv этого газа при постоянном объеме.

241.Найти среднее число (z) столкновений за времяt=1с и длину свободного пробега (l) молекулы гелия, если газ находится под давлением р=2кПа при темпе­ратуреT=200 К.

242.Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы азота в сосуде вместимостьюV=5л. Масса газа m=0,5 г.

243.Водород находится под давлением р=20мкПа и имеет температуруT=300 К. Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы такого газа.

244.При нормальных условиях длина свободного пробега (l) молекулы водорода равна 0,160 мкм. Определить диаметрdмолекулы водорода.

245.Какова средняя арифметическая скорость () молекул кислорода при нормальных условиях, если известно, что средняя длина свободного пробега(l) молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?

246.Кислород находится под давлением р=133 нПа при температуреT=200К. Вычислить среднее число (z) столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время=1 с.

247.При каком давлениирсредняя длина свободного пробега (l) молекул азота равна 1 м, если температура газаt=10°С?

248. Всосуде вместимостьюV=5 л находится водо­род массойm=0,5 г. Определить среднюю длину свобод­ного пробега (l) молекулы водорода в этом сосуде.

249.Средняя длина свободного пробега (l) молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотностьводорода при этих условиях.

250.В сферической колбе вместимостьюV=3л, содержащей азот, создан вакуум с давлением р=80 мкПа. Температура газаT=250 К. Можно ли считать вакуум в колбе высоким?

Примечание.Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул в нем много больше линейных размеров сосуда.

251.Определить количество теплотыQ, которое надо сообщить кислороду объемомV=50 лпри его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на=0,5 МПа.

252.При изотермическом расширении азота при температуреT=280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа рабо­туА; 2)изменениеUвнутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азотаm=0,2 кг.

253.При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р₁=50кПа до р₂=0,5МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р₃газа в конце процесса.

254.Кислород массойm=200г занимает объемV₁=100 л и находится под давлением р₁=200кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объемаV₂=300 л, а затем его давление возросло до р₃==500кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергииUгаза, совершенную газом работуAи теплотуQ, переданную газу. Построить график процесса.

255.Объем водорода при изотермическом расширении при температуреT=300К увеличился вn=3 раза. Определить работуА,совершенную газом, и теплотуQ, полученную при этом. Массатводорода равна 200 г.

256.Азот массойm=0,1 кг был изобарно нагрет от температурыT₁=200 К до температурыT₂=400 К. Определить работуА,совершенную газом, полученную им теплоту Q и изменениеUвнутренней энергии азота.

257.Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества=0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплотыQ=800Дж? Температура водородаТ=300 К.

258.Какая работаАсовершается при изотермическом расширении водорода массойm=5г, взятого при температуреT=290К, если объем газа увеличивается в три раза?

259.Какая доля₁количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличениеUвнутренней энергии газа и какая доля₂ —на работуАрасширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

260.Определить работуA, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплотыQ=21 кДж. Найти также изменениеUвнутренней энергии газа.

261.Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах теплоприемникаT₂=290К и теплоотдатчикаT₁=400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия цикла, если температура теплоотдатчика возрастет доT₁=600 К?

262.Идеальный газ совершает цикл Карно. ТемператураТ₁теплоотдатчика в четыре раза (n=4) больше температуры теплоприемника. Какую долюколичества теплоты, полученного за один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?

263.Определить работуА₂изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого=0,4, если работа изотермического расширения равнаA₁=8Дж.

264.Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику теплотуQ₂= 14 кДж. Определить температуруТ₁ теплоотдатчика, если при температуре теплоприемникаT₂=280 К работа циклаA=6кДж.

265.Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от теплоотдатчика теплотуQ₁=4,38кДж и совершил работуA=2,4кДж. Определить температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемникаT₂=273 К.

266.Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуруТ₂теплоприемника, если температура теплоотдатчикаT₁= 430 К.

267.Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия цикла Карно при повышении температуры теплоотдатчика отT₁=380 К доT₁=560 К? Температура теплоприемникаT₂=280 К.

268.Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура теплоотдатчикаТ₁= 500 К, температура теплоприемникаT₂=250 К. Определить термически КПД цикла, а также работуA₁рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работаA₂=70 Дж.

269.Газ, совершающий цикл Карно, получает теплотуQ₁=84кДж. Определить работуAгаза, если температураТ₁теплоотдатчика в три раза выше температурыТ₂ теплоприемника.

270.В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика теплотуQ₁=500Дж и совершил работуA=100Дж. Температура теплоотдатчикаT₁=400 К. Определить температуруТ₂теплоприемника.

271.Найти массуmводы, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром каналаd=0,8мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание полным.

272.Какую работуAнадо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем отV₁ = 8 см³доV₂ = 16см³? Считать процесс изотермическим.

273.Какая энергияЕвыделится при слиянии двух капель ртути диаметромd₁=0,8мм иd₂=1,2 мм в одну каплю?

274.Определить давлениервнутри воздушного пузырька диаметромd=4 мм, находящегося в воде у самой ее поверхности. Считать атмосферное давление нормальным.

275.Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинками с площадью поверхностиS=100 см²каждая, расположенными на расстоянииl=20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силуF,прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметромd,равным расстоянию между пластинками.

276.Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром каналаd=1 мм на высотуh=20 мм. Определить поверхностное натяжениеглицерина. Считать смачивание полным.

277.В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром каналаd=1 мм. Определить массутводы, вошедшей в трубку.

278. На сколько давлениервоздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р₀, если диаметр пузыряd=5мм?

279.Воздушный пузырек диаметромd=2,2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотностьвоздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

280.Две капли ртути радиусомr= 1,2 мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергиюЕ, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.