- •1.Предмет и задачи информатики
- •1) Теоретическая информатика:
- •2) Средства информатизации:
- •3) Информационные технологии
- •4) Социальная информатика:
- •2. Истоки и предпосылки информатики.
- •3. Структура современной информатики
- •4. Понятие информации. Носители информации. Сигналы
- •5. Количество информации. Измерение информации. Единицы измерения
- •6. Кодирование информации различных видов
- •7. Свойства информации
- •8. Устройство персонального компьютера
- •9. Основные принципы построения и работы компьютера
- •10. Понятие файла и файловой системы
- •11. Понятие информационной технологии
- •13. Основы интернета. Основные протоколы
- •14. Службы Интернета
- •15. Этапы решения задачи на эвм
- •16. Алгоритм. Свойства алгоритма
- •17. Методы проектирования алгоритмов
- •18. Способы описания алгоритмов. Основы графического способа.
- •19. Структуры алгоритмов. Основные виды вычислительных процессов. Примеры.
- •20. Алгоритмы вычисления суммы функционального ряда. Использование рекуррентных формул. Пример
- •Примеры
- •21. Поиск минимального и максимального элементов массива.
- •22. Сортировка одномерных массивов
- •23. Системы программирования и их состав.
- •24. Понятие о программировании
- •25. Понятие программного обеспечения. Классификация программного обеспечения.
- •26. Назначение операционной системы
- •27. Основные функции операционных систем
- •28. Прикладное по
- •29. Язык программирования Паскаль. Общая характеристика. Основные правила записи программ на языке Паскаль. Структура программы. Пример программы
- •6.Понятие типа данных в Турбо Паскаль
- •Простые типы данных
- •Численные (арифметические) выражения
- •Логические выражения
- •Символьные выражения
- •Составной оператор
- •30. Основные элементы языка Pascal
- •31. Понятие типа данных в Турбо Паскаль
- •Простые типы данных
- •Численные (арифметические) выражения
- •Логические выражения
- •Составной оператор
- •34. Ввод и вывод данных в Паскале.
- •Рассмотрим, для начала, Вывод данных в Паскале.
- •Рассмотрим, теперь, Ввод данных в Паскале.
- •35. Условные операторы Pascal-Паскаль
- •36. Оператор выбора Паскаля
- •37. Оператор безусловного перехода
- •38. Счетный оператор цикла или оператор цикла с параметром
- •39. Цикл с предпроверкой условия
- •40. Цикл с постпроверкой условия
- •42. Процедуры и функции
- •Описание и вызов процедур и функций
- •43. Процедуры.
- •44. Численное решение систем нелинейных уравнений
- •Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.2. Методы уточнения корней нелинейных уравнений
- •Тогда .
- •С погрешностью
- •Откуда при
- •Пусть тогда и
- •45. Метод половинного деления.
- •Тогда .
- •С погрешностью
- •46. Метод хорд
- •47. 52. Метод Ньютона (метод касательных)
- •48. Комбинированный метод хорд и касательных для уточнения корней нелинейных уравнений
- •49. 51. Метод простых итераций
- •50. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •53. Метод прямоугольников
- •Составные квадратурные формулы
- •Составные формулы для равномерных сеток
- •Погрешность метода
- •Пример реализации
- •54. Метод трапеций
- •Составная формула
- •59. Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа
- •Определение
- •Применения
- •Случай равномерного распределения узлов интерполяции
- •60. Разделё́нная ра́зность
- •Определение
- •Применение
- •История
Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений
3.1. Решение нелинейных уравнений
3.1.1. Отделение корней нелинейных уравнений
3.1.2. Методы уточнения корней нелинейных уравнений
Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
, (3.1)
где функция нелинейная:
– нелинейная алгебраическая функция вида
;
– трансцендентная функция (тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная или гиперболическая функция);
– функция, полученная комбинированием этих функций.
Решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка которая при подстановке в уравнение (3.1) обращает его в тождество. На практике не всегда удаётся подобрать такое решение точно. В этом случае решение уравнения (3.1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка , при подстановке которой в уравнение (3.1) последнее будет выполняться с определённой степенью точности, т. е.
,
где − малая величина.
Процесс решения нелинейных уравнений предполагает реализацию двух этапов:
1) отделения корней нелинейных уравнений;
2) уточнения корней нелинейных уравнений.
3.1.1. Отделение корней нелинейных уравнений
На этом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются у него корни или нет. Если корни есть, то необходимо уточнить, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень уравнения. Рассмотрим несколько способов отделения корней нелинейного уравнения. Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения (3.1), можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближённым значением корня. Если функция имеет сложный вид, то её можно представить в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , . Значение − приближённое значение корня (рис. 3.1) − является абсциссой точки пересечения двух графиков.
Пример. Рассмотрим нелинейное уравнение вида . Отделим его корни графически. Решение. Представим уравнение в виде , где , . Графики функций ; представлены на рис. 3.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .
Пример. Пусть задано нелинейное уравнение вида или . Построив два графика функций и , видим, что исходное уравнение не имеет корней (рис. 3.3). |
Пример. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований и построений получим, что исходное уравнение имеет несколько корней (рис. 3.4), а точнее, три корня. Второй способ отделения корней − табличный. При этом способе составляют таблицу значений функции на определённом промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов соответствующие значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения находится между ними.
Пример. Выясним, сколько корней имеет уравнение на отрезке |
Решение. Составим таблицу значений функции на промежутке с шагом изменения аргумента равным 1 (табл. 3.1).
Таблица 3.1
|
−3,0 |
−2,0 |
−1,0 |
0,0 |
1,0 |
|
−14,05 |
−4,14 |
1,63 |
3,00 |
−0,72 |
Как видно из табл. 3.1, корни уравнения существуют на отрезках и поскольку значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.
Следующий способ отделения корней – аналитический. В этом случае процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.
Теорема 3.1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак, т. е. , то на отрезке содержится хотя бы один корень уравнения
Теорема 3.2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная функции сохраняет знак на отрезке , то на отрезке содержится единственный корень уравнения
Теорема 3.3. Если функция является многочленом степени и на концах отрезка меняет знак, т. е. , то на отрезке имеется нечётное количество корней (если производная функции сохраняет знак на отрезке , то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, т. е. , то уравнение (3.1) либо не имеет корней на отрезке , либо имеет чётное количество корней.
При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого нужно определить критические точки , т. е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности функции . На каждом из них следует определить знак производной , где , а затем выделить те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.