Введение

Целью курсовой работы является практическое освоение современных методов количественного и качественного анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходных и установившемся режимах.

По сути, данная курсовая работа состоит из двух частей: определение характеристик электрической цепи (собственные частоты колебаний, передаточная функция, импульсная и переходная характеристики цепи) и анализ выходного сигнала, полученного исходя из характеристик цепи, при воздействии периодического и апериодического сигналов определённой формы. Передаточная функция определяется по схеме замещения (операторным методом) как: HU(s) = Uн(s) / U0(s) – необходима для определения амплитудного и фазового спектров входного сигнала, по виду функции определяется характер пропускания частотного спектра.

Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала строятся на основании определения:

где ω₁ = ^2𝜋

𝑇

Для определения приблизительной формы (аппроксимации отрезком ряда Фурье) выходного сигнала при периодическом воздействии можно рассчитать приближённо амплитуды A_kвых и фазы Ф_kвых :

и представить выходной сигнал в виде ряда Фурье:

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

1.1. Составление уравнений состояния цепи для t ≥ 0

Нормировка параметров цепи:

Пусть R_б = 10³ и С_б = 10^-8. Тогда L_б = С_б * R_б² = 10^-2, T­_б = С_б * R_б = 10^-5,

I_б = 10^-3, U_б = I_б * R_б = 1.

R_н* = R_н / R_б = 10³ / 10³ = 1;

R_1* = R₁ / R_б = 0.5 ‧ 10³ / 10³ = 0.5;

R_3* = R₃ / R_б = 2 ‧ 10³ /10³ = 2;

С_* = C / C_б = 0,033 ‧ 10^-6 /10^-8 = 3,3;

L_* = L / L_б = 0,03 / 10^-2 = 3;

U_0* = U₀ / U_б = 6 / 1 = 6;

t_и* = t_и / T_б = 6 ‧ 10^-5 / 10^-5 = 6;

T_* = T / T_б = 12 ‧ 10^-5 / 10^-5 = 12;

I_0* = I₀ / I_б = 4 ‧ 10^-3 / 10^-3 = 4;

U_m = 10;

В дальнейшем индекс «*» будет опущен.

Для цепи, изображенной на рис 1.1, нормированные параметры:

R₁ = 0.5; R₃ = 2, R_н = 1, L = 3, C = 3.3

Рис. 1.1

Для формирования уравнений состояния заменим все L-элементы источниками тока с токами I_L(t) и все С-элементы – источниками напряжения с напряжениями U_C (t). Воспользуемся методом контурных токов. Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2

U₄^У = 0; U₃^У = U_C(t)

МУН:

ЗТК и ЗНК:

1.2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния

ННУ: t < 0

Рис. 1.3

U_C (0-) = 0 = U_C (0+)

При 0+:

1.3. Нахождение решения уравнений состояния, используя метод Эйлера

;

Решение уравнение состояний методом Эйлера будет производится в вычислительной системе Mathcad:

Значения I_L, U_C, рассчитанные методом Эйлера и значения, рассчитанные аналитическим методом, представлены в таблицах 1.1 и 1.2 соответственно:

Таблица 1.1

t	IL (Эйлер)	IL (Аналит.)	Относ. погр.
0	2	2	0,00%
0.15	2,047	2,047	0,00%
0.3	2,093	2,093	0,00%
0.45	2,139	2,138	0,05%
0.6	2,184	2,182	0,09%
0.75	2,228	2,226	0,09%
0.9	2,271	2,269	0,09%
1.05	2,314	2,311	0,13%
1.2	2,355	2,352	0,13%
1.35	2,396	2,393	0,13%
1.5	2,437	2,433	0,16%
1.65	2,476	2,472	0,16%
1.8	2,515	2,511	0,16%
1.95	2,554	2,549	0,20%

Таблица 1.2

t	UC (Эйлер)	UC (Аналит.)	Относ. погр.
0	0	0	-
0.15	-0,018	-0,018	0,00%
0.3	-0,036	-0,036	0,00%
0.45	-0,054	-0,055	1,85%
0.6	-0,073	-0,074	1,37%
0.75	-0,092	-0,093	1,09%
0.9	-0,112	-0,113	0,89%
1.05	-0,132	-0,133	0,76%
1.2	-0,152	-0,154	1,32%
1.35	-0,173	-0,175	1,16%
1.5	-0,194	-0,196	1,03%
1.65	-0,216	-0,218	0,93%
1.8	-0,237	-0,24	1,27%
1.95	-0,259	-0,262	1,16%

Как видно из погрешностей, метод Эйлера довольно точно аппроксимирует аналитическое решение.

Графики численного и аналитического решений I_L и U_C представлены на рисунках 1.4 и 1.5 соответственно:

Рис. 1.4 – Численное (U_Cn) и аналитическое (U_c(t)) решения U_C

Рис. 1.5 - Численное (I_Ln) и аналитическое (I_l(t)) решения I_L