27. Кольцо многочленов от n переменных

Пусть K[x1] - кольцо многочленов. Тогда, K[x1][x2] = K[x1, x2] - будет кольцом многочленов от двух переменных. Его элементы будут иметь вид:

Проделав данный алгоритм суммарно n раз, выходит K[x1, x2...xn], элементы которого имеют вид:

Выражения вида:

Называются мономами. Степень монома равна i1 + i2 + … + in

28. Симметрические многочлены

Симметричными многочленами называются такие, что при подстановке его переменных вместо друг друга, сам многочлен не изменится.

Иначе:

Существует три вида элементарных (или основные) многочленов:

S₁ = x + y + z

S₂ = xy + xz + yz

S₃ = xyz

P.S. Я понятия не имею, что по симметричным многочленам можно написать. Все, что идет дальше банальных определений, является темой отдельных билетов.

29. Основная теорема о симметрических многочленах

Любой симметрический многочлен от двух переменных можно представить в виде функции от двух основных симметрических многочленов.

u(x, y) = x + y

v(x, y) = xy

Другими словами, для любого симметрического многочлена f(x, y) существует такая функция двух переменных φ(u, y), что

f(x, y) = φ(u (x, y), v (x, y))

*Любой симметрический многочлен от трёх переменных можно представить в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:

u(x, y, z) = x + y + z

v(x, y, z) = xy + yz + zx

w(x, y, z) = xyz

Другими словами, для любого симметрического многочлена f(x, y) существует такая функция трёх переменных θ(u, v, w), что

f(x, y) – θ(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))

30. Неприводимые многочлены. Критерий Эйзенштейна неприводимости в q[X]

(Критерий Эйзенштейна).

Многочлен f(x) = a₀ + a₁x + … + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ с целыми коэффициентами неприводим над полем Q (кольцом Z), если существует такое простое число p, что выполняются условия:

1. коэффициенты a₀, a₁, … , a_n-1 делятся на p;

2. свободный член a₀ не делится на p²;

3. старший коэффициент a_n не делится на p.

Предположим противное:

Все условия теоремы 7 выполняются, но f(x) – приводим над полем Q, a следовательно, по теореме 5 и над кольцом Z.

Пусть f(x) = g(x)h(x) , где

· g(x) = b₀ + b₁x + … + b_rx^r

r + s = n

· h(x) = c₀ + c₁x + … + c_sx^s

b_i , c_i ∈ Z

Тогда

a₀ = b₀c₀

a₁ = b₀c₁ + b₁c₀ … a_k = b_kc₀ + b_k-1c₁ + b₀c_k … a_n = b_rc_s

Коэффициент a₀ = b₀c₀ делится на p, значит b₀ или c₀ делится на p.

Пусть b0 делится на p. Тогда c0 не делится на p, так как a0 не делится на p². Далее, не могут все коэффициенты многочлена g(x) делится на p, ибо тогда и все коэффициенты многочлена f(x) делились бы на p, а это противоречие условию 3.

-Пусть bk – первый коэффициент в g(x), который не делится на p. Ясно что k ≤ r < n.

-Левая часть равенства ak = bkc0 + bk-1c1 + … + b0ck, а также все слагаемые правой части начиная со второго, делятся на p.

-Значит и bkc0 \\ p , где c0 не делится на p. Следовательно, bk делится на p, что противоречит предположению.

-Значит f(x) неприводим над кольцом Z а, следовательно, и над полем Q.

31. Рациональные дроби

В отличие от целых выражений, выражения

содержат деление на выражение с переменной. Такие выражения называют дробными рациональными выражениями. 

Целые рациональные и дробные рациональные выражения называют рациональными выражениями.

Рациональные выражения — это математические выражения, содержащие действии сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с целым показателем.

Дробь называется несократимой, если её числитель взаимопрост со знаменателем.

Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.

Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Теорема: Всякая рациональная дробь представима, притом единственным образом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство:

Алгоритм деления с остатком, примененный к числителю и знаменателю дроби f/g, дает равенство:

Теперь

есть искомая запись, сравнение которой с любой другой записью того же типа

Приводит к соотношению

Так как

А

То это возможно в случае

Определение рациональной дроби

Рациональное выражение вида  , где   - выражения, содержащие числа или переменные, называют дробью. Выражение   - ее числитель, a   - знаменатель. Если   в дроби - многочлены, то дробь называют рациональной дробью.

*Целое рациональное выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как при нахождении его значения выполняют действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, что всегда выполнимо.

Областью определения рациональной дроби является множество всех значений входящих в нее переменных, кроме тех, которые обращают ее знаменатель в нуль.